專題09 集合的概念（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題09集合的概念【知識點梳理】知識點1：集合的概念(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等．【知識點撥】集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．知識點2：元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【知識點撥】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．知識點3：集合的表示法(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實數(shù)組成的集合．(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數(shù)集的表示：名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．(4)描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【題型歸納目錄】題型1：集合與元素的含義題型2：元素與集合的關(guān)系題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用題型4：列舉法表示集合題型5：描述法表示集合題型6：集合表示的綜合問題【典例例題】題型1：集合與元素的含義例1．(2023·高一課時練習(xí))下列語句中，正確的個數(shù)是(

)(1)；(2)；(3)由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個元素；(4)數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點集是有限集；(5)方程的解能構(gòu)成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然數(shù)，故，(1)正確；是無理數(shù)，故，(2)錯誤；由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合為有4個元素，故(3)錯誤；數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點集是無限集，(4)錯誤；方程的解為，可以構(gòu)成集合，(5)正確；故選：A例2．(2023·高一課時練習(xí))下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有(

)(1)正方形的全體；(2)高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；(3)平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；(4)某校高一年級學(xué)生身高在1.7米的學(xué)生；(5)平面內(nèi)到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】(1)(3)(4)(5)中的對象是確定的，可以組成集合，(2)中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.例3．(2023·廣東揭陽·高一惠來縣第一中學(xué)?？计谥?下列四組對象中能構(gòu)成集合的是()A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生B．在數(shù)軸上與原點非常近的點C．很小的實數(shù)D．倒數(shù)等于本身的數(shù)【答案】D【解析】A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因為學(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，故A錯誤；B：在數(shù)軸上與原點非常近的點，因為非常近的點不確定，所以不滿足集合的確定性，故B錯誤；C：很小的實數(shù)，因為很小的實數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故C錯誤；D：倒數(shù)等于它自身的實數(shù)為1與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．故選：D．變式1．(2023·高一課時練習(xí))下列各組對象不能構(gòu)成集合的是(

)A．上課遲到的學(xué)生 B．年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【答案】B【解析】根據(jù)集合中元素的三要素判斷．上課遲到的學(xué)生屬于確定的互異的對象，所以能構(gòu)成集合；年高考數(shù)學(xué)難題界定不明確，所以不能構(gòu)成集合；任意給一個數(shù)都能判斷是否為有理數(shù)，所以能構(gòu)成集合；小于的正整數(shù)分別為，所以能夠組成集合.故選：題型2：元素與集合的關(guān)系例4．(2023·全國·高一專題練習(xí))給出下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是有理數(shù)，是無理數(shù)，均為實數(shù)，①正確，②錯誤；，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.故選：C.例5．(2023·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知集合,那么(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知集合，故，故A正確，D錯誤，，故B錯誤，，故C錯誤，故選：A例6．(2023·全國·高三專題練習(xí))已知，若，則實數(shù)構(gòu)成的集合的元素個數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】讓集合中每個元素等于1，求得，檢驗符號集合中元素的互異性，得的值，從而可得結(jié)論．①，∴，，則，不可以，②，∴，，則，可以，或，∴，，則，不可以，③，，，則，不可以，或，∴，，則，不可以，∴，故選：B．變式2．(2023·高一課時練習(xí))設(shè)有下列關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】D【解析】表示實數(shù)集

，則①正確表示有理數(shù)集

，則②正確表示自然數(shù)集

，則③正確是集合的一個元素

，則④正確本題正確選項：變式3．(2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試)若不等式3-2x<0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是

()A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M【答案】B【解析】當(dāng)x=0時,3-2x=3>0,所以0不屬于M,即0?M;當(dāng)x=2時,3-2x=-1<0,所以2屬于M,即2∈M.選B變式4．(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)集合，若，則的值為(

)．A．，2 B． C．，，2 D．，2【答案】D【解析】由集合中元素的確定性知或．當(dāng)時，或；當(dāng)時，．當(dāng)時，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求；當(dāng)時，滿足集合中元素的互異性，故滿足要求．綜上，或．故選：D．題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用例7．(2023·全國·高三專題練習(xí))集合中實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】.【解析】由集合，根據(jù)集合元素的互異性，可得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例8．(2023·上海閔行·高三閔行中學(xué)校考開學(xué)考試)已知集合與相等，則實數(shù)__________．【答案】2【解析】因為集合與相等，則，解得．故答案為：2.例9．(2023·全國·高三專題練習(xí))含有三個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則______________.【答案】【解析】要使得有意義，則，由集合，故可得，此時，故只需或，若，則集合不滿足互異性，故舍去.則只能為.則.故答案為：.變式5．(2023·高一課時練習(xí))由構(gòu)成的集合中，元素個數(shù)最多是______.【答案】2【解析】當(dāng)時，，此時元素個數(shù)為1；當(dāng)時，，所以一定與或中的一個一致，此時元素個數(shù)為2.所以由構(gòu)成的集合中，元素個數(shù)最多是2個.故答案為:2.變式6．(2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試)設(shè)集合，，，則中的元素個數(shù)為______．【答案】4【解析】因為集合中的元素，，，所以當(dāng)時，，2，3，此時，6，7．當(dāng)時，，2，3，此時，7，8．根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個元素．故答案為：4．變式7．(2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)“notebooks”中的字母構(gòu)成一個集合，該集合中的元素個數(shù)是______________【答案】7【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個，故該集合中的元素個數(shù)是7；故答案為：7.題型4：列舉法表示集合例10．(2023·全國·高三專題練習(xí))用列舉法寫出集合＝__________.【答案】【解析】由且，得或或或或或或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.故.故答案為：例11．(2023·高一課時練習(xí))設(shè)a，b是非零實數(shù)，那么可能取的所有值組成集合是______.【答案】【解析】a，b是非零實數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所求集合是.故答案為：例12．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知集合，用列舉法表示M＝______．【答案】【解析】根據(jù)題意，應(yīng)該為6的因數(shù)，故可能取值為1，2，3，6，其對應(yīng)的值分別為：4，3，2，.又，所以的值分別為：4，3，2.故集合.故答案為：變式8．(2023·上海徐匯·高一上海市西南位育中學(xué)?？计谀?用列舉法表示_________．【答案】【解析】.故答案為：變式9．(2023·高一課時練習(xí))已知集合為小于6的正整數(shù)}，為小于10的素數(shù)}，集合為24和36的正公因數(shù)}．(1)試用列舉法表示集合且；(2)試用列舉法表示集合且．【解析】由題意，，.(1).(2).且變式10．(2023·高一課時練習(xí))用列舉法表示下列集合(1)以內(nèi)非負(fù)偶數(shù)的集合；(2)方程的所有實數(shù)根組成的集合；(3)一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合．【解析】(1)以內(nèi)的非負(fù)偶數(shù)有，所以構(gòu)成的集合為，(2)的根為，所以所有實數(shù)根組成的集合為，(3)聯(lián)立和，解得，所以兩個函數(shù)圖象的交點為，構(gòu)成的集合為題型5：描述法表示集合例13．(2023·上海崇明·高一統(tǒng)考期末)直角坐標(biāo)平面上由第二象限所有點組成的集合用描述法可以表示為_____________．【答案】【解析】依題意，第二象限所有點組成的集合是.故答案為：例14．(2023·高一課時練習(xí))用描述法表示所有奇數(shù)組成的集合________．【答案】【解析】根據(jù)奇數(shù)可寫成的形式即可得出.所有奇數(shù)可寫成的形式，所以所有奇數(shù)組成的集合為.故答案為：.例15．(2023·高一課時練習(xí))用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整數(shù)的集合．(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點的集合．(3)大于4的所有偶數(shù)．【解析】(1)因為集合中的元素除以3余數(shù)為1，所以集合表示為：；(2)第一象限內(nèi)的點，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于0，所以集合表示為：；(3)大于4的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：．變式11．(2023·高一課時練習(xí))試用集合表示圖中陰影部分(含邊界)的點.【解析】由題意可得，所以圖中陰影部分(含邊界)的點組成的集合為.變式12．(2023·河南周口·高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí))用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有實數(shù)解組成的集合；(4)拋物線上所有點組成的集合；(5)集合.【解析】(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：(2)不等式的解集，用描述法可表示為：.(3)方程的所有實數(shù)解組成的集合，用描述法可表示為：.(4)拋物線上所有點組成的集合，用描述法可表示為：.(5)集合，用描述法可表示為：且.題型6：集合表示的綜合問題例16．(2023·全國·高三對口高考)設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果，，那么稱是的一個“孤立元”.給定，由的個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______個.【答案】【解析】由題意可知，不含“孤立元”的個元素的集合中，集合中的個元素一定是連續(xù)的個自然數(shù)，列舉出符合條件的集合，即可得出結(jié)果.由題意可知，由的個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”時，這三個元素一定是連續(xù)的三個自然數(shù)，故這樣的集合有：、、、、、，共個.故答案為：.例17．(2023·全國·高三專題練習(xí))已知集合中的所有元素之和為1，則實數(shù)的取值集合為_____．【答案】【解析】集合中的所有元素之和為1，則：①當(dāng)時，集合只有0和1兩個元素，故滿足所有的元素和為1．②當(dāng)沒有實根時,，即，解得：.綜合①②得:.故答案為.例18．(2023·全國·高三專題練習(xí))已知集合.(1)若中有兩個元素，求實數(shù)的取值范圍；(2)若中至多有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由于中有兩個元素，∴關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，∴，且，即，且.故實數(shù)的取值范圍是且(2)當(dāng)時，方程為，，集合只有一個元素；當(dāng)時，若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則中只有一個元素，即，，若關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，則中沒有元素，即，.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是或變式13．(2023·高一課時練習(xí))已知集合，其中.(1)1是中的一個元素，用列舉法表示A；(2)若中至多有一個元素，試求a的取值范圍.【解析】(1)因為，所以，得，所以.(2)當(dāng)中只有一個元素時，只有一個解，所以或，所以或，當(dāng)中沒有元素時，無解，所以，解得，綜上所述：或.變式14．(2023·高一課時練習(xí))集合M滿足：若，則(且)已知，試求集合M中一定含有的元素.【解析】，，，，，∴在M中還有元素，，.故集合M一定含有的元素有.變式15．(2023·高一課時練習(xí))集合A中的元素是實數(shù)，且滿足條件①若，則，②，求：(1)A中至少有幾個元素？(2)若條件②換成，A中至少含有的元素是什么？(3)請你設(shè)計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【解析】(1)因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少有3個元素.(2)因為，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的元素是.(3)令，由①知，，而，則，而，則，所以集合A中至少含有的其它元素是.【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·陜西榆林·高一校考階段練習(xí))下列各組對象不能構(gòu)成集合的是(

)A．上課遲到的學(xué)生B．2022年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù)D．小于x的正整數(shù)【答案】B【解析】對于B中難題沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn)，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故2022年高考數(shù)學(xué)難題不能構(gòu)成集合，組成它的元素是不確定的.其它選項的對象都可以構(gòu)成集合.故選：B2．(2023·高一課時練習(xí))由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數(shù)不是2，則實數(shù)a的取值可以是(

)A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數(shù)不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數(shù)為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D3．(2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)集合，則(

)A．當(dāng)時， B．對任意實數(shù)，C．當(dāng)時， D．對任意實數(shù)，【答案】C【解析】當(dāng)時，，將代入A得：成立，故，即A錯誤；若時，此時將代入不成立，即B錯誤；當(dāng)時，此時將代入不成立，即C正確；若時，此時將代入A得成立，即D錯誤；故選：C.4．(2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合，，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，即集合B的可能元素，則有：由，則，可得；由，且，可得，且；由，且，可得，且；由，且，可得；綜上所述：.故選：D.5．(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意，都有(除數(shù))，則稱是一個數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是(

)A．N B．Z C．Q D．【答案】C【解析】，，故N不是數(shù)域，A選項錯誤，同理B選項錯誤；任意，都有(除數(shù))，故Q是一個數(shù)域，C選項正確；對于集合，，，故不是數(shù)域，D選項錯誤.故選：C6．(2023·高一課時練習(xí))方程組的解集可表示為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，將代入得，所以，故選：D7．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為()A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】集合A滿足，，，故，，，，故，則集合A所有元素之和為：故選：C8．(2023·全國·高三專題練習(xí))已知集合A＝，則集合A中的元素個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】，的取值有、、、，又，值分別為、、、，故集合中的元素個數(shù)為，故選C.考點：數(shù)的整除性二、多選題9．(2023·河南周口·高一周口恒大中學(xué)校考期末)下列說法中不正確的是(

)A．與表示同一個集合B．集合＝與＝表示同一個集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合不能用列舉法表示【答案】ABC【解析】對于A中，是一個元素(數(shù))，而是一個集合，可得，所以A不正確；對于B中，集合＝表示數(shù)構(gòu)成的集合，集合＝表示點集，所以B不正確；對于C中，方程＝的所有解的集合可表示為，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程＝的所有解的集合可表示為，所以C不正確；對于D中，集合含有無窮個元素，不能用列舉法表示，所以D正確.故選：ABC.10．(2023·廣東佛山·高一佛山市榮山中學(xué)?？计谥?已知集合，則下列屬于集合A的元素有(

)A． B．3 C．4 D．6【答案】CD【解析】依題意，是的約數(shù)，而的約數(shù)有，即，則，因為，因此所以CD正確，AB錯誤.故選：CD11．(2023·江蘇鹽城·高一江蘇省射陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試)(多選)給出下列關(guān)系中正確的有()A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，，，，所以AD正確.故選：AD.12．(2023·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知集合，若，則的值可能為(

)A． B．2 C． D．12【答案】ABD【解析】因為，所以或.①當(dāng)時，，，所以或，得或4.當(dāng)時，不合題設(shè)，舍去.當(dāng)時，，，此時.②當(dāng)時，，，所以或，解得：或或當(dāng)時，不合題設(shè)，舍去.當(dāng)時，，此時.當(dāng)時，，此時.故選：ABD三、填空題13．(2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？既?已知，則__________.【答案】3【解析】因為，所以二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則①，且方程的根為1，所以②，聯(lián)立①②解得：所以故答案為：.14．(2023·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測)已知集合中的最大元素為，則實數(shù)________.【答案】1【解析】因為，所以，所以，解得或，顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗符合題意．故答案為：15．(2023·高一課時練習(xí))已知為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是，則_____.【答案】【解析】當(dāng)都為正數(shù)時，可得；當(dāng)都為負(fù)數(shù)時，可得；當(dāng)兩正一負(fù)時，可得；當(dāng)一正兩負(fù)時，可得，所以集合.故答案為：.16．(2023·江蘇·高一專題練習(xí))已知集合，若集合A中只有一個元素，則實數(shù)a的取值的集合是______．【答案】【解析】當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，只有1個元素，則二次方程判別式，解得.故或故答案為：四、解答題17．(2023·全國·高一專題練習(xí))選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有實數(shù)根組成的集合；(2)大于2且小于6的有理數(shù)；(3)由直線y＝－x＋4上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點組成的集合．【解析】(1)方程的實數(shù)根為－1，0，3，所以方程的實數(shù)根組成的集合可以表示為{－1，0，3}；(2)由于大于2且小于6的有理數(shù)有無數(shù)個，可以用描述法表示該集合為{x∈Q|2<x<6}；(3)用描述法表示該集合為M＝{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}.18．(2023·貴州安順·高一校考階段練習(xí))已知集合，，若.(1)求實數(shù)的值；(2)如果集合是集合的列舉表示法，求實數(shù)的值.【解析】(1)∵，∴或者得或，驗證當(dāng)時，集合，集合內(nèi)兩個元素相同，故舍去∴(2)由上得，故集合中，方程的兩根為1、-3.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得.19．(2023·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市南崗中學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知集合，若，求實數(shù)a的取值集合．【解析】因為，所