2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時精講第10章　§10.1　計數(shù)原理與排列組合（原卷版）

第第頁§10.1計數(shù)原理與排列組合課標(biāo)要求1.理解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念.3.能利用計數(shù)原理、排列組合解決簡單的實際問題．知識梳理1．兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．2．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．4．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)0！＝1；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(0,n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)常用結(jié)論1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()(3)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．()(4)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()2．(多選)下列結(jié)論正確的是()A．3×4×5＝Aeq\o\al(3,5)B．Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝Ceq\o\al(2,6)C．若Ceq\o\al(x,10)＝Ceq\o\al(2x－2,10)，則x＝3D．Ceq\o\al(0,7)＋Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(6,7)＝643．書架的第1層放有4本不同的語文書，第2層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，第3層放有6本不同的體育書．從書架上任取1本書，不同的取法種數(shù)為________，從第1,2,3層各取1本書，不同的取法種數(shù)為________．4．將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每個地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有________種．題型一計數(shù)原理例1(1)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60B．48C．36D．24(2)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個B．120個C．96個D．72個(3)如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成)，給△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是()A．48B．54C．72D．108跟蹤訓(xùn)練1(1)某生產(chǎn)過程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A．24種B．36種C．48種D．72種(2)用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成________個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)．(3)某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域花卉顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．(用數(shù)字作答)題型二排列組合問題例2(1)為了強化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強學(xué)生之間的溝通，凝聚班級集體的力量，激發(fā)學(xué)生對體育的熱情，某中學(xué)舉辦田徑運動會．某班從甲、乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級參加學(xué)校4×100米接力賽，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數(shù)為()A．48B．36C．24D．12(2)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．跟蹤訓(xùn)練2(1)學(xué)校高三大理班周三上午四節(jié)、下午三節(jié)有六門科目可供安排，其中語文和數(shù)學(xué)各自都必須上兩節(jié)而且兩節(jié)連上，而英語、物理、化學(xué)、生物最多上一節(jié)，則不同的課程安排有________種情況．(2)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人，組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，則共有________種不同的選法(用數(shù)字作答)．題型三排列組合的綜合應(yīng)用命題點1相鄰、相間問題例3甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A．12種B．24種C．36種D．48種命題點2定序問題例4花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色．如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數(shù)為________．命題點3分組、分配問題例5某高校計劃在今年暑假安排編號為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6名教師，到4個不同的學(xué)校進行宣講，每個學(xué)校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個學(xué)校．則不同的安排方法共有()A．96種 B．144種C．240種 D．384種跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有()A．若A，B不相鄰，則共有72種不同排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，則共有72種不同排法C．若A在B右邊，則共有60種不同排法D．若A，B兩人站在一起，則共有48種不同排法(2)某綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求每位學(xué)生從大一到大三的三個學(xué)年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，若同一學(xué)年內(nèi)選修的課程不分前后順序，則每位學(xué)生共有________種不同的選修方式(用數(shù)字作答)．課時精練一、單項選擇題1．從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個數(shù)是()A．30B．42C．36D．352．為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學(xué)生到3個學(xué)校進行支教活動，每個學(xué)校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大學(xué)生，則不同的安排方法共有()A．50種B．60種C．80種D．100種3．如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有中間一列兩個數(shù)字之和為5”的不同的排法有()A.96種B．64種C．32種D．16種4．在數(shù)學(xué)中，有一個被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)e≈2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼時，打算將自然常數(shù)e的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進行某種排列得到密碼．如果排列時要求兩個2不相鄰，兩個8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為()A．36B．48C．72D．1205．一輛七座(含司機)旅游客車載著6名游客前往某地游覽，6名游客返程時恰有2名游客坐的是出發(fā)時的座位的方法數(shù)為()A．135B．150C．165D．1806.在如圖所示的5個區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是()A．1440 B．720C．1920 D．9607．在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有A，B，C，D，E，F(xiàn)共6項成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A，C，D成果按先后順序匯報(不一定相鄰)，那么不同的匯報安排種數(shù)為()A．100B．120C．300D．600二、多項選擇題8．現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機就座，則下列說法中正確的是()A．4個空位全都相鄰的坐法有1