直線與方程知識點總結(jié)與例題

直線與方程知識點總結(jié)

1、直線的斜率與傾斜角

⑴斜率

①兩點的斜率公式：P（X］，X）,Q（X2，）2），則kpQ=—~—（%,豐%）

x2-xx

②斜率的范圍：kGR

（2）直線的傾斜角范圍：［0,n）

（3）斜率與傾斜角的關(guān)系：Z:=tana（aH90'）

注：（1）每條直線都有傾斜角，但不是每條直線都有斜率；

（2）特別地，傾斜角為0"的直線斜率為0；傾斜角為90,的宜線斜率不存在。

例題1：設(shè)直線1過坐標(biāo)原點,它的傾斜角為a,如果將直線L繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到直線L1,求直線

L1的傾斜角

解：（1）當(dāng)0Wa<135°時,L1的傾斜角為a+45°

（2）135Wa<180°,則a+45°N180°,此時傾斜角為a+45°-180°=a-135°

2、直線方程

（1）點斜式：y-y0=k（x-x0）-,適用于斜率存在的直線

（2）斜截式：y=kx+b-,適用于斜率存在的直線

注：人為直線在y軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零

（3）兩點式：上』=2』（西工馬，/力為）；適用于斜率存在且不為零的直線

々一%%—X

（4）截距式：-+^=1；適用于斜率存在，且不為零且不過原點的直線

ab

（5）一般式：Ax+B），+C=0（A,8不同時為0）

（6）特殊直線方程

①斜率不存在的直線（與y軸垂直）：x=x°；特別地，y軸：x=0

②斜率為0的直線（與x軸垂直）：y=%；特別地，x軸：y=0

③在兩軸上截距相等的直線：（I）y=—x+b；（IDy=kx

在兩軸上截距相反的直線：（I）y=x+8：（II）y=kx

在兩軸上截距的絕對值相等的直線：（I）y=—x+/?；（IDy=x+b-,（III）y=kx

例題2：過點（1,2）的直線1與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，0為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿?/p>

積最小時，直線1的方程是

設(shè)直淺的斜率為k,且由直線I與xtt的正半軸,y軸的正半軸分別交于A、B兩點得到k<0,

所的成為：y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0,令x=0,得到y(tǒng)=2-k,所以B(0r2-k);令y=0

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得到x=l，，所以A(l，,0)

kk

由k<0,貝!I三角形AOB的面積為S=±I(2-k)(1-2-)=1-(44---k)>1i[4+2(--4)?(-k)]=4,

2k2k21k

4

當(dāng)且僅當(dāng)二=*即1<=±2,因為k<0,所以k=-2,

k

所以直線方程為2x+y-4=0

解：故答案為2x+y-4=0

3、平面上兩直線的位置關(guān)系及判斷方法

(1)/,:y=ktx+bt;l2:y-k2x+b2

①平行：匕=右且白力優(yōu)(注意驗證乙*仇)

②重合：q=&且4=b2

③相交：k苫k2

特別地，垂直：左他=-1

(2)/,:4%++G=0;/2:A^x+B2y+C2=0

①平行：4與=4用且4c2(驗證)

②重合：4為=42瓦且4c2=4G

③相交：^生力劣與

特別地，垂直：4人+片%=0

(3)與直線井+8y+C=0平行的直線可設(shè)為：Ax+By+m^0

與直線Ax+8y+C=0垂直的直線可設(shè)為：Bx-Ay+n^Q)

例題3：若兩條直線朋=品於-n與睇=蝙卡啜密-劍川1互相平行，則說等于_______.

玨*=娥帶袈Z

,?「=僦=一」

解：...兩直線互相平行，工孝一*書：】

4、其他公式

(1)平面上兩點間的距離公式：4對,),8(工2，%)，則■=依-々)2+(%-%)2

（2）線段中點坐標(biāo)公式：4%,凹）,3（々,％），則AB中點的坐標(biāo)為（"X"衛(wèi)）

（3）三角形重心坐標(biāo)公式：4（4必）,3（々,>2），。（七，%），則三角形ABC的重心坐標(biāo)公式為：

x+w+wy+%+%)

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（4）點尸（%,穌）到直線/：Ax+By+C=O的距離公式：4=出。+孫）+一

VA2+B2

（5）兩平行線4：Ar+By+G=O；/2：玉+為+。2=0（。產(chǎn)G）間的距離：d=忙0（用此公式前要將兩

VA2+52

直線中的系數(shù)統(tǒng)一）

例題4：直線平朗一裳歲普-=頓與直線酶?圖度*唐的距離為

甯_Iq―，I

解：由兩平行直線痣*邈■北■=〔尊■題■，%量如片“=砥的距離公式可得疹奇（注意兩直線的系數(shù)必須化為

4

相同），出不

（6）點A關(guān)于點P的對稱點8的求法：點尸為中點

（7）點A關(guān)于直線/的對稱點6的求法：利用直線A8與直線/垂直以及AB的中點在直線/上，列出方程組，求

出點8的坐標(biāo)。

例題5：已知點P（3,2）與點Q（l,4）關(guān)于直線1對稱，則直線1的方程為

解：因為點P（3,2）與點Q（l,4）關(guān)于直線1對稱，所以直線1是線段PQ的垂直平分線；由線段PQ的中點坐標(biāo)為（2,

硼一誓

3）,*嬲一耳￥一北一微一：由直線方程的點斜式得：￥-冬=富-逐即竄-/4=頤

例題6：已知直線如續(xù)-髯股+痣'=盹和兩點她醺，境:一露f,若直線看上存在點裁使得「型#1用I最小，則點尸

的坐標(biāo)為.

解：如圖，作應(yīng)關(guān)于直線雷一鄧科離=颯的對稱點或，連結(jié)副廨交直線需‘一琳’科朋=物于隼，則點即為使

[Hi7=b7

II至一薯吧%姓觸母=盥

|陶A|礴|最小的死設(shè)您篇1威，則1^即娥-娥，

A

(二)、圓

1、圓的方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a/)為圓心，r為半徑

nF

(2)圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),其中圓心為(―彳,一一)，半徑為

^D2+E2-4F(只有當(dāng)%2,丁的系數(shù)化為1時才能用上述公式)

注意：已知圓上兩點求圓方程時，注意運用圓心在這兩點的垂直平分線上這個條件可簡化計算。

2、直線與圓的位置關(guān)系

⑴直線l:Ax+By+C^Q,圓C:(x—a)2+(y-b)2=r2,記圓心C[a,b)到直線/的距離d=叫+劭

A/A2+B2

①直線與圓相交，則OWd<r或方程組的△>0

②直線與圓相切，則4=「或方程組的A=0

③直線與圓相離，則d〉r或方程組的A<0

(2)直線與圓相交時，半徑r,圓心到弦的距離d,弦長/,滿足：/=2,戶一與2

(3)直線與圓相切時，

①切線的求法：

(I)已知切點(圓上的點)求切線，有且只有一條切線，切點與圓心的連線與切線垂直；

(II)已知切線斜率求切線，有兩條互相平行的切線，設(shè)切線方程為丁=依+8，利用圓心到切線的距離等于半徑

列出方程求出b的值；

(III)已知過圓外的點P(%,〉o)求圓。：。一。)2+('-勿2=，2的切線，有兩條切線，若切線的斜率存在，設(shè)切線

方程為：y-y0=k(x-x0),利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求出左的值；若切線的斜率不存在，則切線

方程為X=X。，驗證圓心到切線距離是否等于半徑。

②由圓外點P(x0,y0)向圓C:(x—a)2+。一切2=/引切線，記P,C兩點的距離為d,則切線長/=二7

(4)直線與圓相離時，圓心到直線距離記為d,則圓上點到直線的最近距離為d-廠，最遠(yuǎn)距離為d+r

3、兩圓的位置關(guān)系

圓&：(X-4)2+(y-4)2=(2,圓：(無一出尸+(y-仇)2=&2,兩圓圓心距離J=J(q一/+(4-41

(1)兩圓相離，則△>/+弓

(2)兩圓相外切，則4=八+G

(3)兩圓相交，則

注：圓￡：尤2+,2+￡）］%+&），+6=0,圓G：/+y2+。2彳+七2，+6=0相交，則兩圓相交弦方程為：

（9一。2）+（男一馬）"3-6）=0

（4）兩圓相內(nèi)切，則d=|弓一回

（5）兩圓內(nèi)含，則044＜卜一寸

特別地，當(dāng)d=0時，兩圓為同心圓