統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習選修4-5不等式選講第二節(jié)不等式的證明學生用書

其次節(jié)不等式的證明·最新考綱·通過一些簡潔問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法．·考向預料·考情分析：綜合法、分析法、比較法證明不等式是高考考查的熱點，題型仍將以解答題為主．學科素養(yǎng)：通過不等式的證明考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端一、必記2個學問點1．比較法比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種．名稱作差比較法作商比較法理論依據(jù)a>b?a－b>0a<b?a－b<0a＝b?a－b＝0b>0，ab>1?a>b<0，ab>1?a<適用類型適用于具有多項式特征的不等式證明主要適用于積、商、冪、對數(shù)、根式形式的不等式證明證明步驟作差→變形→推斷符號→得出結論作商→變形→推斷與1的大小關系→得出結論2.綜合法和分析法(1)綜合法一般地，從已知條件動身，利用定義、公理、定理、性質等，經過一系列的推理，論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法．綜合法又叫順推證法或由因導果法．(2)分析法證明命題時，從要證的結論動身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思索和證明方法．二、必明3個常用結論1．作差比較法的實質是把兩個數(shù)或式子的大小推斷問題轉化為一個數(shù)(或式子)與0的大小關系．2．用分析法證明數(shù)學問題時，要留意書寫格式的規(guī)范性，經常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等．3．幾個重要不等式(1)ba+ab≥2((2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一綜合法、分析法證明不等式[基礎性、應用性][例1]已知a，b，c為正數(shù)，且滿意abc＝1.證明：(1)1a+1b+1c≤a2(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.聽課筆記：反思感悟用綜合法證明不等式是“由因導果”，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡潔、條理清晰，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉化，相互滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以增加解題思路，開闊視野．【對點訓練】設不等式||x＋1|－|x－1||＜2的解集為A.(1)求集合A；(2)若a，b，c∈A，求證：1-abcab-c考點二反證法證明不等式[基礎性、應用性][例2]若x，y都是正實數(shù)，且x＋y＞2，求證：1+xy＜2和1+y聽課筆記：反思感悟利用反證法證明問題的一般步驟(1)否定原結論；(2)從假設動身，導出沖突；(3)證明原命題正確．【對點訓練】已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a，b，c＞0.考點三放縮法證明不等式[基礎性、應用性][例3]若a，b∈R，求證：a+b1+聽課筆記：反思感悟在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧，常見的放縮變換有：(1)變換分式的分子和分母，如1k2＜1kk-1，1k2＞1kk+1，1(2)利用函數(shù)的單調性．(3)真分數(shù)性質“若0＜a＜b，m＞0，則ab＜a+m[提示]在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度．【對點訓練】設n是正整數(shù)，求證：12≤1其次節(jié)不等式的證明提升關鍵實力考點一例1解析：(1)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab+bc+caabc＝1當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立．所以1a+1b+1c≤a2(2)因為a，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.對點訓練解析：(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝2，x≥1由|f(x)|＜2得－1＜x＜1，即A＝{x|－1＜x＜1}．(2)要證1-abcab-c＞1，只需證|1－abc|＞|ab－c只需證1＋a2b2c2＞a2b2＋c2，只需證1－a2b2＞c2(1－a2b2)，只需證(1－a2b2)(1－c2)＞0，由a，b，c∈A，得－1＜ab＜1，c2＜1，所以(1－a2b2)(1－c2)＞0恒成立，綜上，1-abcab-c考點二例2證明：假設1+xy＜2和1+y則有1+xy≥2和1+y因為x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x.兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.這與已知條件x＋y＞2沖突，因此1+xy＜2和1+y對點訓練證明：(1)設a＜0，因為abc＞0，所以bc＜0.又由a＋b＋c＞0，則b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，與題設沖突．(2)若a＝0，則與abc＞0沖突，所以必有a＞0.同理可證：b＞0，c＞0.綜上可證a，b，c＞0.考點三例3證明：當|a＋b|＝0時，不等式明顯成立．當|a＋b|≠0時，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|?