向量數(shù)量積的概念高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊(cè)

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8.1.1向量的數(shù)量積的概念向量的數(shù)量積問題θsF一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？其中力F

和位移s是向量，是F

與s

的夾角，而功是數(shù)量.同時(shí)就是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量。向量的數(shù)量積向量的夾角兩個(gè)非零向量a和b，作，，則

叫做向量a

和b

的夾角，記作<a,b>．OABabOABba若，a

與b

同向OABba若，a

與b

反向OABab若，a

與b

垂直，記作向量的數(shù)量積物理上力所做的功實(shí)際上是將力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF，過點(diǎn)B作垂直于直線OA，垂足為，則|b|cosθOABabOABab，|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0BOAab向量的數(shù)量積例題講解例1．已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角，求a在b上的正投影及b在a上的正投影.解：a在b上的正投影為|a|cosθ

b在a上的正投影為|b|cosθ向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b

，即規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0．（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)（正負(fù)）由夾角決定。

（2）

a·b不能寫成a×b，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算．向量的數(shù)量積例題講解例2．已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角，求a·b.解：a·b=|a||b|cosθ向量的數(shù)量積討論總結(jié)性質(zhì)：（1）a⊥ba·b=0

(判斷兩向量垂直的依據(jù))

（2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a|·|b|，

當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a|·|b|

．（4）（5）|a·b|≤|a|·|b|

（3）

常用此性質(zhì)進(jìn)行實(shí)數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化。向量的數(shù)量積例題講解例3．已知|a|=5，|b|=4，|a+b|=6，求a與b夾角的余弦值.解：|a+b|=6充要向量

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