《數(shù)字信號處理》課件1第6章

第6章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計6.1線性相位FIR濾波器

6.2用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器

6.3頻率采樣設(shè)計法

6.4

FIR濾波器的最優(yōu)化設(shè)計6.5

FIR與IIR對比習(xí)題

6.1線性相位FIR濾波器

6.1.1線性相位的條件

對于長度為N的h(n)，其頻率響應(yīng)為

討論頻率響應(yīng)時常用式(6.1.2)表示，|H(ejω)|表示的是幅頻特性的模值，因此永遠取正值。實際上幅度值是有正有負的，在不關(guān)心相頻特性時，可以通過相頻特性加(或減)π來補償。但線性相位濾波器強調(diào)相位的線性，不允許隨意增減相位，因此需引入幅度特性和相位特性的概念，即定義頻率響應(yīng)為(6.1.2)(6.1.1) H(ejω)=Hg(ω)ejθ(ω)

(6.1.3)

式中，Hg(ω)稱為幅度特性。注意，這里Hg(ω)不同于|H(ejω)|，Hg(ω)為ω的實函數(shù)，可能取負值。θ(ω)稱為相位特性，如果θ(ω)滿足第一類線性相位，即

θ(ω)=－αω

(6.1.4)

將式(6.1.4)帶入式(6.1.3)得

H(ejω)=Hg(ω)e－jαω

(6.1.5)

由式(6.1.5)和式(6.1.1)可知，兩式的實部與虛部應(yīng)各自相等，同樣實部與虛部的比值也應(yīng)相等，從而得到

將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系，得(6.1.6)(6.1.7)式中，sin［(α－n)ω］關(guān)于n=ω為奇對稱。在0≤n≤N－1區(qū)間內(nèi)，選擇序列中點為α，即 。這樣，sin［(α－n)ω］關(guān)于 為奇對稱，要保證和式為零，h(n)必須關(guān)于 點偶對稱。也就是說應(yīng)滿足(6.1.8)h(n)=h(N－1－n)，0≤n≤N－1(6.1.9)式(6.1.8)為FIR濾波器具有第一類線性相位的充要條件。也就是說，第一類線性相位FIR濾波器要求h(n)必須關(guān)于 處為偶對稱，此時信號通過濾波器所產(chǎn)生的延時為 個采樣周期。其相位特性如圖6.1.1(a)所示。圖6.1.1

FIR濾波器的線性相位特性如果式(6.1.3)中的θ(ω)滿足第二類線性相位，即

θ(ω)=－αω+β

(6.1.10)

作如上類似推導(dǎo)后，可得

要使式(6.1.11)成立，應(yīng)滿足下列關(guān)系：(6.1.11)h(n)=－h(huán)(N－1－n)，0≤n≤N－1(6.1.12)(6.1.13)式(6.1.12)為FIR濾波器具有第二類線性相位的充要條件。也就是說，第二類線性相位FIR濾波器要求h(n)必須關(guān)于 處為奇對稱，此時信號通過濾波器所產(chǎn)生的延時為 個采樣周期。與第一類線性相位FIR濾波器的區(qū)別是，此時不僅產(chǎn)生相位延時，還有的固定相移。圖6.1.1(b)畫出了 時的相位特性。6.1.2幅度特性

由于h(n)的點數(shù)N又可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，因此共有四種線性相位的FIR濾波器。為了在設(shè)計FIR濾波器時選用合適的線性相位條件，下面給出四種線性相位FIR濾波器的幅度特性。

1.Ⅰ型線性相位濾波器

一個Ⅰ型線性相位濾波器，如圖6.1.2(a)所示，h(n)是關(guān)于 偶對稱的實序列，且N為奇數(shù)，其幅度特性可表示為(6.1.14)經(jīng)整理得

如圖6.1.2(b)所示，由于cosωn關(guān)于ω=0，π，2π這些點都是偶對稱的，則Hg(ω)也關(guān)于ω=0，π，2π這些點偶對稱，因此Ⅰ型線性相位濾波器可以實現(xiàn)各種(低通、高通、帶通、帶阻)濾波特性。(6.1.15)圖6.1.2

Ⅰ型線性相位濾波器特性

2.Ⅱ型線性相位濾波器

一個Ⅱ型線性相位濾波器，如圖6.1.3(a)所示，h(n)是關(guān)于 偶對稱的實序列，且N為偶數(shù)，其幅度特性可表示為

經(jīng)整理得(6.1.17)(6.1.16)如圖6.1.3(b)所示， 關(guān)于ω=0，2π是偶對稱的，則Hg(ω)也關(guān)于ω=0，2π呈偶對稱；當(dāng)ω=π時 ，而且 關(guān)于ω=π呈奇對稱，Hg(π)=0，即H(z)在z=－1處必有一個零點，而且Hg(ω)也關(guān)于ω=π呈奇對稱。因此，Ⅱ型線性相位濾波器不能實現(xiàn)高通和帶阻濾波特性。圖6.1.3

Ⅱ型線性相位濾波器特性

3.Ⅲ型線性相位濾波器

一個Ⅲ型線性相位濾波器，如圖6.1.4(a)所示，h(n)是關(guān)于 奇對稱的實序列，且N為奇數(shù)，其幅度特性可表示為

經(jīng)整理得(6.1.18)(6.1.19)如圖6.1.4(b)所示，由于sinωn在ω=0，π，2π處都為零，且關(guān)于這些點呈奇對稱，則Hg(ω)在ω=0，π，2π處也都為零，并關(guān)于這些點呈奇對稱。因此Ⅲ型線性相位濾波器只能實現(xiàn)帶通濾波特性。圖6.1.4

Ⅲ型線性相位濾波器特性

4.Ⅳ型線性相位濾波器

一個Ⅳ型線性相位濾波器如圖6.1.5(a)所示，h(n)是關(guān)于 呈奇對稱的實序列，且N為偶數(shù)，其幅度特性可表示為

經(jīng)整理得(6.1.20)(6.1.21)如圖6.1.5(b)所示，由于 在ω=0，2π處為零，且呈奇對稱；則Hg(ω)在ω=0，2π處也為零，即H(z)在z=1處有零點，并對ω=0，2π呈奇對稱；

關(guān)于ω=π呈偶對稱，因此Hg(ω)也關(guān)于ω=π呈偶對稱；因此Ⅳ型線性相位濾波器不能實現(xiàn)低通和帶阻濾波特性。圖6.1.5

Ⅳ型線性相位濾波器特性四種類型FIR線性相位濾波器的特性如表6.1.1所示。由于Ⅲ和Ⅳ型線性相位濾波器實現(xiàn)的是第二類線性相位，有π/2的附加時延，因此通過該濾波器的所有頻率成分將產(chǎn)生90°的相移。這相當(dāng)于將該信號先通過一個90°的相移器，然后再濾波。因此，當(dāng)我們設(shè)計一般用途的濾波器時，多采用Ⅰ型線性相位濾波器，即h(n)=h(N－n－1)，且N取奇數(shù)。表6.1.1線性相位FIR濾波器的類型6.1.3零點特性

由于線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)具有對稱性，即

h(n)=±h(N－n－1)

(6.1.22)

則

將m=N－1－n代入上式，可得(6.1.23)(6.1.24)因此，其系統(tǒng)函數(shù)具有以下特點：

H(z)=±z－(N－1)H(z－1)

(6.1.25)

上式表明，若z=zi是H(z)的零點，則其倒數(shù)

必然是H(z)的零點；又因為h(n)是實序列，H(z)的零點必定共軛成對，因此

和(z－1)*也是H(z)的零點。這樣，線性相位FIR濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，確定其中一個，另外三個零點也就確定了。當(dāng)然，也有一些特殊情況，對照圖6.1.6，一般情況是圖中z1、

、、情況。如果零點是實數(shù)，則只有兩個零點，即圖中z2和情況。如果零點是純虛數(shù)且在單位圓上，則是圖中z3、情況。如果零點在單位圓上且是實數(shù)，則只有一個零點，即圖中z4情況。圖6.1.6線性相位FIR濾波器零點分布

6.2用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器

在第3章分析時域截斷效應(yīng)時，已提到窗函數(shù)和加窗操作的概念。窗函數(shù)法作為FIR濾波器設(shè)計的基本方法，本節(jié)將進行詳細討論。首先介紹窗函數(shù)法的基本設(shè)計思想，然后以矩形窗為例分析窗函數(shù)法的性能，并給出典型的窗函數(shù)，最后介紹窗函數(shù)法的設(shè)計步驟和實例。6.2.1窗函數(shù)法基本設(shè)計思想

一般設(shè)計過程總是先給定希望的理想濾波器頻率響應(yīng)Hd(ejω)，然后設(shè)計一個FIR濾波器，它的頻率響應(yīng) ，用它來逼近理想的Hd(ejω)。這種逼近中最直接的方法是在時域中用FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)去逼近理想的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。因而，先由Hd(ejω)導(dǎo)出hd(n)有(6.2.1)由于Hd(ejω)是矩形頻率特性，故hd(n)一定是無限長的序列，且是非因果的。然而FIR濾波器是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)。最有效的方法是截斷hd(n)，或者說用一個有限長度的窗函數(shù)w(n)來截取hd(n)，即

h(n)=hd(n)w(n)

(6.2.2)

窗函數(shù)的形狀及寬度的選擇是一關(guān)鍵問題。

這里以設(shè)計一個線性相位理想低通濾波器為例，其中截止頻率為ωc，線性相位常系數(shù)為α，即(6.2.3)則相應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為

它是中心點為α的偶對稱序列，且是無限長非因果的，如圖6.2.1(a)所示。為了滿足線性相位的設(shè)計要求，就以α為對稱中心截取一段長度為N的序列，為了保證h(n)是因果序列，選擇(6.2.5)(6.2.4)這種直接截取好比是用一個長度為N的矩形窗與hd(n)相乘，即

式中

wR(n)=RN(n)

(6.2.7)

根據(jù)h(n)可求得H(ejω)，圖6.2.1(c)中畫出了H(ejω)的示意圖。

由圖中可見，H(ejω)與Hd(ejω)之間存在誤差。H(ejω)與Hd(ejω)的誤差有多大，誤差與哪些因素有關(guān)？這些問題直接關(guān)系到所設(shè)計的濾波器能否滿足設(shè)計指標(biāo)，下面分析窗函數(shù)法的設(shè)計性能。(6.2.6)圖6.2.1理想低通的單脈沖響應(yīng)及矩形窗6.2.2窗函數(shù)法設(shè)計性能分析

由式(6.2.6)可知，逼近誤差是加窗的影響，與窗函數(shù)w(n)性能相關(guān)。

因為

h(n)=hd(n)wR(n)

所以(6.2.8)(6.2.9)式中

WRg(ω)為矩形窗的幅度特性函數(shù)，如圖6.2.2(b)所示。我們將ω=0左右兩個零點之間的部分稱為主瓣，主瓣寬度為，其余振蕩部分稱為旁瓣，每個旁瓣寬度均為。將Hd(ejω)也寫成幅度函數(shù)與相位因子的乘積，有(6.2.10)(6.2.11)將式(6.2.9)和式(6.2.11)代入式(6.2.8)，得(6.2.12)

以上推導(dǎo)結(jié)果說明，濾波器的幅度特性Hg(ω)等于希望逼近的理想濾波器的幅度特性Hdg(ω)與矩形窗幅度特性WRg(ω)的卷積，而相位特性保持嚴格線性相位。所以，只需分析幅度逼近誤差就可以了。當(dāng)Hd(ejω)為理想低通濾波器時，Hdg(ω)、WRg(ω)和Hg(ω)以及卷積過程的波形如圖6.2.2所示。(6.2.13)圖6.2.2矩形窗對理想低通幅度特性的影響下面從幾個特殊的頻率點入手，討論Hg(ω)的波形特點：

(1)ω=0時，Hg(0)等于Hdg(θ)與WRg(－θ)乘積的積分，相當(dāng)于對WRg(ω)在±ωc之間一段波形的積分。由于一般條件下都滿足 的條件，所以Hg(0)可近似為θ在±π之間的WRg(ω)的全部積分面積，將Hg(0)值歸一化到1。

(2)ω=ωc時，此時情況如圖6.2.2(c)所示，Hdg(θ)正好與WRg(ω－θ)的一半重疊，積分近似為WRg(θ)一半波形的積分， ，對Hg(0)歸一化后的值為0.5。

(3) 時，此時情況如圖6.2.2(d)所示，WRg(ω－θ)主瓣完全在區(qū)間±ωc之間，而最大的一個負峰移到區(qū)間［－ωc，ωc］之外。因此，Hg(ω)在該點有一個最大的正峰。

(4) 時，此時情況如圖6.2.2(e)所示，與 時正好相反，WRg(ω－θ)主瓣完全移到積分區(qū)間外邊，因為最大的一個負峰完全在區(qū)間［－ωc，ωc］中，因此Hg(ω)在該點形成最大的負峰。Hg(ω)最大的正峰與最大的負峰對應(yīng)的頻率相距。

(5) 時，隨著ω的增加，WRg(ω－θ)左邊旁瓣的起伏部分將掃過通帶，卷積值也將隨WRg(ω－θ)的旁瓣在通帶內(nèi)面積的變化而變化，故Hg(ω)將圍繞著零值而波動。

(6) 時，ω由 向通帶內(nèi)減小，WRg(ω－θ)右邊旁瓣將進入通帶，右旁瓣的起伏造成Hg(ω)將圍繞著Hg(0)上下波動。綜上所述，理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)經(jīng)加窗處理后，對幅度特性產(chǎn)生的主要影響有：

(1)在理想特性不連續(xù)點ω=ωc附近形成過渡帶。過渡帶的寬度近似等于WRg(ω)主瓣寬度，即 。注意，我們這里所說的過渡帶，指兩個肩峰之間的寬度，與濾波器指標(biāo)中的過渡帶還有些區(qū)別。

(2)在截止頻率ωc的兩側(cè) 處，Hg(ω)出現(xiàn)最大的肩峰值，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度。

(3)增加截取長度N，在主瓣附近的窗的頻率響應(yīng)為

式中， 。(6.2.14)由此可見，改變N，只能改變窗譜的主瓣寬度，改變ω坐標(biāo)的比例以及改變WRg(ω)的絕對值大小，但不能改變主瓣與旁瓣的相對比例(當(dāng)然N太小也會影響旁瓣的相對值)，這個相對比例是由 決定的，或者說只由窗函數(shù)的形狀來決定。因而，當(dāng)截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬 ，而不會改變肩峰的相對值。例如，在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，N增大時，減小，故起伏振蕩變密，最大肩峰則總是8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯(Gibbs)效應(yīng)。6.2.3典型窗函數(shù)

用矩形窗函數(shù)設(shè)計的FIRDF的阻帶最小衰減為20lg(8.95%)=－21dB，這個衰減量在工程上常常是不夠的。為了加大阻帶衰減，只能改善窗函數(shù)的形狀。因此，研究各種典型的窗函數(shù)是窗函數(shù)設(shè)計法的重要內(nèi)容。

從以上討論中看到，一般希望窗函數(shù)滿足兩項要求：

(1)主瓣寬度要盡可能地小，以獲得較陡的過渡帶。

(2)盡量減少最大旁瓣的相對幅度，也就是能量盡量集中于主瓣，以減小帶內(nèi)、帶外波動的最大振幅，增大阻帶衰減。一般來說，以上兩點很難同時滿足。當(dāng)選取主瓣寬度很窄時，旁瓣的分量勢必增加，從而帶內(nèi)、帶外的波動也增加了；當(dāng)選取最小的旁瓣幅度時，降低了帶內(nèi)、帶外的波動，但過渡帶的陡度減小。所以，實際采用的窗函數(shù)其特性往往是它們的折中，在保證主瓣寬度達到一定要求的前提下，適當(dāng)犧牲主瓣寬度來換取旁瓣波動的減小。

下面討論幾種常用的窗函數(shù)，并比較它們的性能。

1.矩形窗(RectangleWindow)

矩形窗函數(shù)為

wR(n)=RN(n)

(6.2.15)幅度函數(shù)為

其主瓣寬度為 。矩形窗的特性如圖6.2.3所示。

為了描述方便，定義如下幾個窗函數(shù)的參數(shù)：

旁瓣峰值αn——窗函數(shù)的幅頻函數(shù)|Wg(ω)|的最大旁瓣最大值相對主瓣最大值的衰減(dB)；

過渡帶寬度Δω——用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的過渡帶寬度；(6.2.16)圖6.2.3矩形窗特性阻帶最小衰減αs——用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的阻帶最小衰減。

圖6.2.3所示矩形窗的參數(shù)為

當(dāng)N=21，31，63時，矩形窗函數(shù)的損耗函數(shù)曲線分別如圖6.2.4(a)、(b)和(c)所示。由該圖可以看出，主瓣寬度與N成反比，即濾波器過渡帶寬度與N成反比(后面將看到不同類型的窗函數(shù)比例常數(shù)不同)，但是旁瓣峰值并不隨N增大而變化，所以要改善阻帶衰減特性，必須選擇其它類型(形狀)的窗函數(shù)。這就是我們選擇窗函數(shù)類型和長度的依據(jù)，而且這一結(jié)論對各種窗函數(shù)都成立。圖6.2.4窗函數(shù)長度N對幅度特性主瓣寬度的影響

2.三角窗(BartlettWindow)

三角窗函數(shù)為

幅度函數(shù)為(6.2.17)(6.2.18)

其主瓣寬度為 。

三角窗的特性如圖6.2.5所示，其參數(shù)為圖6.2.5三角窗特性

3.漢寧(Hanning)窗——升余弦窗

漢寧窗函數(shù)為

幅度函數(shù)為(6.2.20)(6.2.19)漢寧窗的幅度函數(shù)WHn(ω)由三部分相加，使旁瓣抵消，能量更集中在主瓣中，如圖6.2.6所示，但代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加了1倍，即為 。

漢寧窗的特性如圖6.2.7所示，其參數(shù)為圖6.2.6漢寧窗的幅頻特性圖6.2.7漢寧窗特性

4.哈明(Hamming)窗——改進的升余弦窗

哈明窗函數(shù)為

幅度函數(shù)為(6.2.22)(6.2.21)這種改進的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量約占99.96％，第一旁瓣的峰值比主瓣小40dB，但主瓣寬度和漢寧窗相同，仍為8π/N，所以一般都選擇哈明窗。哈明窗的特性如圖6.2.8所示，其參數(shù)為

MATLAB的窗函數(shù)法設(shè)計函數(shù)fir1就默認使用哈明窗。圖6.2.8哈明窗特性

5.布萊克曼(Blackman)窗

布萊克曼窗函數(shù)為

幅度函數(shù)為(6.2.24)(6.2.23)其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同且幅度也不同的WRg(ω)函數(shù)，使旁瓣再進一步抵消，阻帶衰減進一步增加，但主瓣寬度為12π/N，是矩形窗主瓣寬度的3倍。

布萊克曼窗的四種波形如圖6.2.9所示，其參數(shù)為圖6.2.9布萊克曼窗特性

6.凱塞(Kaiser)窗

凱塞窗是一種使用最廣泛的窗函數(shù)，與前幾種窗函數(shù)不同的是，凱塞窗是可變窗，其窗函數(shù)為

其中，I0(·)是第一類變形零階貝塞爾函數(shù)；β是一個可自由選擇的形狀參數(shù)，它可以同時調(diào)整主瓣寬度與旁瓣峰值，β越大，則wK(n)窗越窄，而頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應(yīng)增加。凱澤窗特性如圖6.2.10所示。(6.2.25)圖6.2.10凱塞窗特性(β＝7.865)一般選擇4<β<9，這相當(dāng)于旁瓣峰值由－30dB到－67dB。凱澤窗在不同β值下的性能歸納在表6.2.1中。表6.2.1凱塞窗控制參數(shù)對濾波器性能的影響凱塞窗設(shè)計時有經(jīng)驗公式可供使用，給定過渡帶寬Δω和阻帶最小衰減αs，則可求得凱塞窗FIR濾波器的階數(shù)N和形狀參數(shù)β，即

表6.2.2歸納了以上提到的幾種窗的主要性能，供設(shè)計FIR濾波器時參考。(6.2.27)(6.2.26)表6.2.2六種窗函數(shù)基本參數(shù)6.2.4窗函數(shù)法設(shè)計步驟

綜上所述，可以歸納出用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟：

(1)確定窗函數(shù)w(n)。首先根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)類型，再根據(jù)過渡帶寬確定窗函數(shù)的長度N，最后寫出窗函數(shù)w(n)的表達式。

(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。根據(jù)設(shè)計需要，一般選擇相應(yīng)的線性相位理想濾波器(理想低通、理想高通、理想帶通，理想帶阻)。應(yīng)當(dāng)注意，理想濾波器的截止頻率ωc(對低通濾波器Hg(ωc)≈Hg(0)/2)近似為最終設(shè)計濾波器的－6dB頻率。

(3)求理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)：

(4)求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)：

h(n)=hd(n)w(n)

(5)求設(shè)計出的FIR濾波器的H(ejω)，檢驗其是否滿足技術(shù)指標(biāo)，如不滿足，則需重新設(shè)計。

例6.2.1用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR低通數(shù)字濾波器，實現(xiàn)對模擬信號采樣后進行數(shù)字濾波，對模擬信號的濾波要求如下：

通帶截止頻率fp=2kHz，阻帶截止頻率fs=3kHz；

阻帶最小衰減αs=40dB，采樣頻率Fs=10kHz。

解

(1)根據(jù)本題所給的濾波要求，確定窗函數(shù)w(n)。

數(shù)字濾波器的指標(biāo)為

通帶截止頻率：

阻帶截止頻率：

阻帶最小衰減：αs=40dB

過渡帶寬：Δω=ωs－ωp=0.2π

由于αs=40dB，查表6.2.2可知應(yīng)選漢寧窗，其阻帶最小衰減－44dB滿足要求。

又因為漢寧窗的過渡帶寬滿足 ，所以漢寧窗表達式

(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。

其中應(yīng)當(dāng)注意，由于ωc為兩個肩峰值頻率的中點，而ωp到ωs之間的過渡帶寬并非兩個肩峰值間的頻率差，因而以上求出的ωc有一定的近似。

(3)求理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

(4)求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。

(5)H(ejω)的幅頻特性曲線如圖6.2.11所示。從圖中可看出，該濾波器滿足設(shè)計要求。圖6.2.11例6.2.1低通FIR濾波器特性

例6.2.2用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR高通數(shù)字濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：

通帶截止頻率ωp=π/2，阻帶截止頻率ωs=π/3；

通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=50dB。

解

(1)根據(jù)本題所給的技術(shù)指標(biāo)，確定窗函數(shù)w(n)。

由于αs=50dB，查表6.2.2可知應(yīng)選哈明窗，其阻帶最小衰減－53dB滿足要求。所要求的過渡帶寬為

由于哈明窗的過渡帶寬滿足 ，所以

對于高通濾波器，N必須取奇數(shù)，所以N＝41。哈明窗表達式為

(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。

其中，

(3)求理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。其中，第一項為全通濾波器，第二項為低通濾波器，二者差是高通濾波器，這是求理想高通濾波器單位脈沖響應(yīng)的計算公式。

(4)求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。

(5)H(ejω)的幅頻特性曲線如圖6.2.12所示。從圖中可看出，該濾波器滿足設(shè)計要求。圖6.2.12例6.2.2高通FIR濾波器特性

例6.2.3用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR帶通數(shù)字濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：

通帶下截止頻率ωpl=0.35π，阻帶下截止頻率ωsl=0.2π；

通帶上截止頻率ωpu=0.65π，阻帶上截止頻率ωsu=0.8π；

通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=60dB。

解

(1)根據(jù)本題所給的技術(shù)指標(biāo)，確定窗函數(shù)w(n)。

由于αs=60dB，查表6.2.2知可選布萊克曼窗或凱塞窗。這里選凱塞窗，則

β=0.1102(αs－8.7)=5.65所要求的過渡帶寬

凱塞窗表達式為，取N＝49

(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。

其中，

(3)求理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

(4)求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。

(5)H(ejω)的幅頻特性曲線如圖6.2.13所示。從圖中可看出，該濾波器滿足設(shè)計要求。圖6.2.13例6.2.3帶通FIR濾波器特性

例6.2.4用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR帶阻數(shù)字濾波器，技術(shù)指標(biāo)如下：

阻帶下截止頻率ωpl=0.35π，通帶下截止頻率ωsl=0.2π；

阻帶上截止頻率ωpu=0.65π，通帶上截止頻率ωsu=0.8π；

通帶最大衰減αp=1dB，阻帶最小衰減αs=70dB。

解

(1)根據(jù)本題所給的技術(shù)指標(biāo)，確定窗函數(shù)w(n)。

由于αs=70dB，查表6.2.2可知可選布萊克曼窗或凱塞窗，這里選布萊克曼窗，則所要求的過渡帶寬為

Δω=ωsl－ωpl=0.15π由于布萊克曼窗的過渡帶寬滿足 ，所以

對于帶阻濾波器，N必須取奇數(shù)，所以N＝75。

布萊克曼窗表達式為

(2)構(gòu)造希望逼近的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ejω)。

其中，

(3)求理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。

(4)求得所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。

(5)H(ejω)的幅頻特性曲線如圖6.2.14所示。從圖中可看出，該濾波器滿足設(shè)計要求。圖6.2.14例6.2.4帶阻FIR濾波器特性窗函數(shù)法的優(yōu)點是簡單且實用，其缺點是通帶和阻帶的截止頻率不易控制。同時，窗函數(shù)法是從時域出發(fā)的一種設(shè)計法，但一般技術(shù)指標(biāo)是在頻域給出的，當(dāng)Hd(ejω)公式較復(fù)雜，或Hd(ejω)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時，很難用窗函數(shù)法來完成濾波器的設(shè)計。當(dāng)難以用解析方法或表達式來描述濾波器特性時，采用頻率采樣設(shè)計法將更為方便、有效。

6.3頻率采樣設(shè)計法

6.3.1頻率采樣法基本原理

由頻率采樣定理可知，對一個有限長序列，可以利用其頻譜的等間隔采樣值，準(zhǔn)確地恢復(fù)原有的序列。頻率采樣法就是從頻域出發(fā)，對待設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejω)，在ω=0到2π之間等間隔采樣N點，得到Hd(k)，即，k=0,1,2,…,N－1(6.3.1)再對N點Hd(k)進行IDFT，得到h(n)，即

式中，h(n)作為所設(shè)計的濾波器的單位取樣響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為(6.3.3)，

n=0,1,2,…,N－1

(6.3.2)將式(6.3.2)帶入式(6.3.3)可得內(nèi)插公式：

此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。

根據(jù)頻率采樣定理，用有限個頻率樣點代替理想濾波器頻率特性Hd(ejω)，在時域上會產(chǎn)生混疊，所以所求的實際濾波器頻率特性H(ejω)與理想特性Hd(ejω)之間存在誤差，如圖6.3.1所示。(6.3.4)圖6.3.1頻率采樣原理6.3.2線性相位實現(xiàn)條件

設(shè)FIR濾波器滿足第一類線性相位條件，h(n)是實序列，且滿足h(n)=h(N－n－1)，在此基礎(chǔ)上，我們已推導(dǎo)出其頻率響應(yīng)應(yīng)滿足的條件是：(6.3.5)在ω=0～2π之間等間隔采樣N點，

將ω=ωk代入式(6.3.5)中，并寫成k的函數(shù)：(6.3.7)(6.3.6)式(6.3.7)就是頻率采樣值滿足第一類線性相位的條件，從式中可知，N為奇數(shù)時Hg(k)對N/2偶對稱；N為偶數(shù)時，Hg(k)對N/2奇對稱，且Hg(N/2)=0。

設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計的濾波器，截止頻率為ωc，采樣點數(shù)為N，Hg(k)和θ(k)用下面公式計算(見圖6.3.2)：

N=奇數(shù)時，(6.3.8)

N=偶數(shù)時，

上面公式中的kc是小于等于 的最大整數(shù)，過渡帶 。另外，對于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。(6.3.9)圖6.3.2用頻率采樣法設(shè)計線性相位濾波器時的幅度要求6.3.3設(shè)計實例分析

現(xiàn)在可以歸納出用頻率采樣法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的步驟如下：

(1)根據(jù)所要求設(shè)計的濾波器的通帶和阻帶指標(biāo)，確定截止頻率ωc以及對應(yīng)的kc。

(2)根據(jù)N為奇數(shù)還是偶數(shù)，按式(6.3.8)、式(6.3.9)確定Hg(k)和θ(k)。

(3)根據(jù)式(6.3.7)確定Hd(k)。

(4)由指定的Hd(k)構(gòu)成所設(shè)計的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

例6.3.1利用頻率采樣法設(shè)計線性相位低通濾波器，要求截止頻率 ，采樣點數(shù)N=33，利用h(n)=h(N－1－n)情況。

解

用理想低通作為逼近濾波器。N=33，按照式(6.3.8)，得

將采樣得到的Hd(k)=Hg(k)ejθ(k)進行IDFT，得到h(n)，計算其頻率響應(yīng)，其幅度特性曲線如圖6.3.3(a)和(b)所示。該圖表明，從到 之間為過渡帶，過渡帶寬為 ，阻帶最小衰減略小于20dB。

為加大阻帶衰減，增加一個過渡點Hg(9)=Hg(24)=0.5，結(jié)果得到的濾波器幅度特性如圖6.3.3(c)和(d)所示，過渡帶加寬了1倍，過渡帶寬為 ，但阻帶最小衰減加大到30dB。因此，這種用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。圖6.3.3例6.3.1的幅度特性如果改變Hg(9)=Hg(24)=0.3904，其幅度特性曲線如圖6.3.3(e)和(f)所示。過渡帶寬仍然為 ，但阻帶最小衰減可達40dB。此例說明過渡點取值不同也會影響阻帶衰減，可以借助于計算機進行過渡帶優(yōu)化設(shè)計，通過過渡點取值的改變達到最小阻帶衰減最大。

如果將該例中的N加大到N=65，采用兩個過渡點可保持過渡帶和原例的過渡帶相同，但兩個過渡點的取值通過過渡帶優(yōu)化設(shè)計為：H1=0.5886，H2=0.1065。此時，得到的濾波器幅度特性如圖6.3.4所示。該圖表明阻帶最小衰減超過60dB，過渡帶寬為 ，雖然此例中過渡帶基本沒有增加，但階次N增加了近1倍，運算量加大了。圖6.3.4例6.3.1中有兩個過渡點時的幅度特性(N＝65)頻率采樣法設(shè)計濾波器最大的優(yōu)點是直接從頻率域進行設(shè)計，比較直觀，也適合于設(shè)計具有任意幅度特性的濾波器。但邊界頻率不易控制，如果增加采樣點數(shù)N，對確定邊界頻率有好處，但N加大會增加濾波器的成本。因此，它適合于窄帶濾波器的設(shè)計。

6.4

FIR濾波器的最優(yōu)化設(shè)計

FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計方法是基于均方誤差最小準(zhǔn)則或最大誤差最小化準(zhǔn)則的頻域逼近方法，使設(shè)計濾波器與理想濾波器之間在通帶和阻帶區(qū)域的頻響差異在一定的準(zhǔn)則下能夠?qū)崿F(xiàn)最小化。

6.4.1均方誤差最小化優(yōu)化設(shè)計

設(shè)理想濾波器的頻率響應(yīng)和設(shè)計濾波器的頻率響應(yīng)分別為Hd(ejω)和H(ejω)，則頻域設(shè)計誤差為(6.4.1)均方誤差為

根據(jù)帕斯維爾(Parseval)定理和式(6.4.2)，得

顯然，使上式最小的h(n)應(yīng)該滿足如下條件：(6.4.4)(6.4.3)(6.4.2)此式恰好是矩形窗的設(shè)計結(jié)果，即矩形窗設(shè)計法是滿足均方誤差最小化準(zhǔn)則的。但e2在全頻帶上積分最小，卻無法保證某點幅度誤差最小。此誤差是在全頻帶上分布的，在過渡帶附近，由于吉布斯效應(yīng)，會產(chǎn)生較大的峰值，誤差也較大；在遠離過渡帶的地方頻率響應(yīng)比較平穩(wěn)，誤差越來越小。雖然改變窗函數(shù)可減小峰值，但又無法保證均方誤差最小。設(shè)想如果將誤差能均勻分布在整個頻帶，就可能在同等指標(biāo)下獲得一個更低階的濾波器。6.4.2等波紋逼近優(yōu)化設(shè)計

線性相位FIR濾波器的等波紋逼近優(yōu)化設(shè)計方法也稱為切比雪夫(Chebyshev)等波紋逼近法，其基本思想就是設(shè)計一個通帶和阻帶都具有等波紋特征的濾波器，這樣整個頻帶內(nèi)與理想濾波器之間的誤差就可保證為均勻分布，在同樣階數(shù)情況下這種設(shè)計方法的最大誤差最小。

以低通濾波器為例，設(shè)理想的FIR濾波器通帶和阻帶頻率分別為ωp和ωs，通帶和阻帶誤差分別是δ1和δ2，則該理想低通濾波器的頻率響應(yīng)曲線Hd(ejω)和等波紋逼近頻率響應(yīng)曲線H(ejω)如圖6.4.1所示。圖6.4.1低通濾波器的等波紋逼近設(shè)線性相位濾波器的單位脈沖響應(yīng)是零相位濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)右移M點形成的，其中－M≤n≤M。因此，可以通過零相位濾波器的逼近問題來分析等波紋逼近優(yōu)化設(shè)計方法。通過傅里葉變換可得到零相位濾波器的頻率響應(yīng)如式(6.4.5)所示，可以看到它是一個實數(shù)，即沒有相位。

定義逼近誤差為

E(ω)=W(ω)［Hd(ejω)－H(ejω)］

(6.4.6)(6.4.5)其中，W(ω)是加權(quán)函數(shù)，定義如下：

其作用是描述通帶和阻帶誤差的關(guān)系。這樣，優(yōu)化設(shè)計時誤差E(ω)的最小化問題就轉(zhuǎn)化成使δ1和δ2最小化的問題。(6.4.7)帕克斯(Parks)和麥克萊倫(McClellan)于1972年針對FIR濾波器設(shè)計問題提出了如下交錯定理：設(shè)F是閉區(qū)間0≤ω≤π的任一個閉子集，使H(ejω)在F上成為Hd(ejω)唯一最好逼近的必要充分條件是誤差函數(shù)E(ω)在F上至少呈現(xiàn)M+2個“交錯”，使

E(ωi)=－E(ωi+1)=±m(xù)ax|E(ω)|

其中，ω0≤ω1≤ω2≤…≤ωM+1且ωi∈F，i。

顯然，由于理想濾波器是逐段恒定的，因此，對于式(6.4.6)那樣的正弦疊加信號不僅能夠作到等波紋方式逼近，而且能夠找到滿足交錯定理的M＋2個頻率值。依據(jù)交錯定理的等波紋逼近設(shè)計中，首先計算誤差函數(shù)E(ω)在通帶和阻帶內(nèi)達到極值的M+2個頻率ωi，0≤i≤M+1，并且ω0=0，ωM+1=π，通帶和阻帶邊界頻率ωp和ωs也是其中的兩個頻率。然后，根據(jù)誤差極值和式(6.4.7)可列出M+2個方程：(6.4.8)這里，δ2是阻帶誤差極值。根據(jù)以上方程組就可以計算出濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)，將h(n)右移M個點就得到了線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)。關(guān)于濾波器的系數(shù)個數(shù)N，凱塞(Kaiser)給出了相應(yīng)的經(jīng)驗公式，其改進的計算公式為

實際應(yīng)用中，可以采用基于雷米茲(Remez)交替算法的程序計算式(6.4.8)方程組，得到濾波器系數(shù)。(6.4.98)

6.5

FIR與IIR對比

前面我們討論了IIR和FIR兩種濾波器的設(shè)計方法。這兩種濾波器究竟各有什么特點？在實際運用時應(yīng)該怎樣去選擇它們呢？下面我們對這兩種濾波器作一簡單的比較，并回答這些問題。

(1)從幅頻特性來說，IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點可以位于單位圓內(nèi)的任何地方，因此可用較低的階數(shù)獲得好的選擇性，所用的存儲單元少，運算量小，較為經(jīng)濟高效。FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點固定在原點，所以只能用較高的階數(shù)達到高的選擇性。對于同樣的濾波器幅頻響應(yīng)指標(biāo)，F(xiàn)IR濾波器所要求的階數(shù)可以比IIR濾波器高5～10倍，成本較高，運算量大，信號延時也較大。

(2)從相位特性來說，F(xiàn)IR濾波器可得到嚴格的線性相位，而IIR濾波器則做不到這一點，IIR濾波器的頻率選擇性越好，則相位的非線性越嚴重。IIR濾波器加全通網(wǎng)絡(luò)補償才能得到線性相位，這同樣要大大增加濾波器的階數(shù)和復(fù)雜性。

(3)從系統(tǒng)穩(wěn)定性來說，IIR濾波器采用的是遞歸結(jié)構(gòu)，極點必須在單位圓內(nèi)，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。這種結(jié)構(gòu)的有限字長影響大，在運算過程中的運算誤差有時會引起振蕩，導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定問題。相反，F(xiàn)IR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，不論在理論上還是在實際的有限精度運算中都不存在穩(wěn)定性問題。

(4)從實現(xiàn)結(jié)構(gòu)來說，F(xiàn)IR濾波器可以用快速傅里葉變換(FFT)算法減少運算量，在相同階數(shù)的條件下，運算速度可以大大提高。IIR濾波器則不可能這樣計算。

(5)從設(shè)計工具來說，IIR濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都提供有效的封閉形式的設(shè)計公式進行準(zhǔn)確計算，計算工作量比較小，對計算工具的要求不高。FIR濾波器設(shè)計則一般沒有封閉形式的設(shè)計公式。窗口法雖然可以對窗函數(shù)給出計算公式，但計算通帶、阻帶衰減等仍無顯式表達式。一般FIR濾波器的設(shè)計只有計算程序可循，因此對計算工具要求較高。當(dāng)然，現(xiàn)在計算機已非常普及，而且已經(jīng)開發(fā)出各種濾波器的設(shè)計程序，所以工程上的設(shè)計計算都非常簡單。

(6)從應(yīng)用范圍來說，IIR濾波器雖然設(shè)計簡單，但主要用于設(shè)計具有片段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻濾波器等，往往脫離不了模擬濾波器的局限性。而FIR濾波器設(shè)計則靈活得多，尤其能適應(yīng)某些特殊的應(yīng)用，如構(gòu)成微分器或積分器，或用于巴特沃思、切比雪夫等逼近不可能達到預(yù)定指標(biāo)的情況，例如，由于某些原因要求三角形幅頻響應(yīng)或一些更復(fù)雜的幅頻響應(yīng)。因而FIR濾波器有更大的適應(yīng)性和更廣闊的應(yīng)用天地。從上面的比較可以看到，IIR與FIR濾波器各有所長，所以在實際應(yīng)用時應(yīng)該全面考慮來選擇。例如，從使用要求上來看，在對相位要求不敏感的場合，如語言通信等，選用IIR濾波器較為合適，這樣可以充分發(fā)揮其經(jīng)濟高效的特點；而對于圖像信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則對線性相位要求較高，采用FIR濾波器較好。

濾波及濾波器設(shè)計始終是信號處理中的重要內(nèi)容。除了本書所討論的內(nèi)容外，還有廣泛應(yīng)用于多抽樣率信號處理中的濾波器組、基于某種統(tǒng)計意義上最優(yōu)的現(xiàn)代濾波器(維納濾波器、自適應(yīng)濾波器等)等各種各樣的濾波器的理論與設(shè)計方法，新的理論也在不斷提出。讀者學(xué)習(xí)本書第5和第6章后，就為掌握新的內(nèi)容打好了基礎(chǔ)。

習(xí)題

6.1已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：