8.1 二分法與求方程近似解（十二大題型）-蘇教版高一《數(shù)學》同步學與練

第第頁8．1二分法與求方程近似解課程標準學習目標（1）通過本節(jié)內容的學習，讓學生結合實例，運用圖形判定零點，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).（2）運用零點判定定理確定零點范圍，提升邏輯推理素養(yǎng).（3）運用二分法求具體方程的近似解，提升直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng).（1）了解函數(shù)的零點、方程的根與圖象交點三者之間的聯(lián)系.（2）會借助零點存在性定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.（3）了解二分法的原理及其適用條件.（4）掌握二分法的實施步驟.知識點01函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.知識點詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內有零點，但不能確定有幾個．若函數(shù)在區(qū)間內單調，則只有一個；若不單調，則個數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內也可能有零點，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內有零點，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內也可能是有零點，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點時，先考慮解方程，方程無實根則函數(shù)無零點，方程有實根則函數(shù)有零點．（3）利用數(shù)形結合法函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點的橫坐標．【即學即練1】（2023·北京·高一北京市十一學校?？计谀┖瘮?shù)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】函數(shù)的零點，即方程的實數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：D.知識點02二分法1、二分法對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐漸逼近零點，進而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點，則此中點對應的坐標為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點，則此中點對應的坐標為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當和按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止．這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度．知識點詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長度盡量小；②、的值比較容易計算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程的根的關系，求函數(shù)的零點和求相應方程的根式等價的．對于求方程的根，可以構造函數(shù)，函數(shù)的零點即為方程的根．3、關于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達到某個確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達到某個規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當區(qū)間的長度小于時停止二分；此時除可用區(qū)間的端點代替近似值外，還可選用該區(qū)間內的任意一個數(shù)值作零點近似值．【即學即練2】（2023·全國·高一課堂例題）在在上恰有一個零點．試用二分法來計算這個零點的更精確的近似值（誤差不超過0.001）．【解析】已經(jīng)知道，，這是出發(fā)點；然后一次次縮小零點所在區(qū)間：第一次，取]的中點，用計算器或計算機求出，由于，可知零點在上；第二次，取的中點，求出，由于，可知零點在上；第三次，取的中點，求出，由于，可知零點在上．為了表述清楚，記零點所在區(qū)間為，其中點．繼續(xù)計算列出表格：次數(shù)，+，-的近似值區(qū)間長1010.50.38120.510.750.530.50.750.6250.070.2540.6250.750.68750.12550.6250.68750.656250.062560.6250.656250.6406250.0320.0312570.6406250.656250.64843750.010.01562580.64843750.656250.652343750.000950.007812590.652343750.656250.6542968750.00390625100.652343750.6542968750.65332031250.001953125從表中計算數(shù)據(jù)看出，計算到第10次，包含零點的區(qū)間長度小于0.002．取此區(qū)間中點與零點的距離不超過區(qū)間長度之半即0.001．于是可取0.653作為零點的近似值．題型一：求函數(shù)的零點例1．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的零點是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點為.故選：.例2．（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學?？茧A段練習）設是函數(shù)的兩個零點，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因為是函數(shù)的根，由題意，，，故選：D.例3．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學校考模擬預測）函數(shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】令，得，則．故選：A變式1．（2023·江蘇南京·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】在上單調遞增，又，故函數(shù)的零點為.故選：A變式2．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學?？茧A段練習）函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點為、.故選：C.【方法技巧與總結】求函數(shù)的零點就是求相應方程的實數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點.題型二：根據(jù)零點求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）關于的函數(shù)的兩個零點為，且，則＝（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意得是方程的兩不等實根，所以，，，所以，即，又，所以.故選：A例5．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【解析】因為，令，得到，當時，，得到，滿足題意，當時，因為函數(shù)有且只有一個零點，故，得到，綜上，或.故選：C.例6．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)只有一個零點，不等式的解集為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】函數(shù)只有一個零點，則，不等式的解集為，即的解集為.設方程的兩根為，則，且，∴，則，整理得，.故選：C.變式3．（2023·高一課時練習）若函數(shù)的零點為2，則函數(shù)的零點是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因為函數(shù)的零點為2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故選：A.變式4．（2023·四川達州·高一統(tǒng)考期末）已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】因為2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點，所以，得，所以，因為，所以，得，故選：C變式5．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)有唯一的零點，則實數(shù)a的值為（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【答案】B【解析】函數(shù)定義域為R，函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，，因函數(shù)有唯一的零點，于是得，解得，所以實數(shù)a的值為.故選：B題型三：零點存在性定理的應用例7．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，又，.故選：B例8．（2023·甘肅·高一統(tǒng)考期中）的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為在上單調遞增，且，所以函數(shù)零點所在區(qū)間為.故選：C例9．（2023·高一單元測試）在區(qū)間上有零點的一個函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A中，由函數(shù)，可得，則；對于B中，由函數(shù)，可得，則；對于C中，由函數(shù)，可得則；對于D中，由函數(shù)，可得則，所以只有C項，符合函數(shù)零點的存在性定理，所以在內存在零點.故選：C.變式6．（2023·全國·高一課堂例題）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構造函數(shù)，因為和在上單調遞減，所以函數(shù)在上單調遞減，且函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，因為，，，由的單調性可知，，則，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，即方程的根屬于區(qū)間．故選：C變式7．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對應值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點至少有（

）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2個 B．3個C．4個 D．5個【答案】B【解析】由數(shù)表可知，.則，，，又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由零點存在性定理可知，函數(shù)分別在上至少各一個零點，因此在區(qū)間上的零點至少有3個．故選：B.變式8．（2023·湖南·高一南縣第一中學校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上單調遞增，在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞增，∵，，，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為.故選：C變式9．（2023·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）若是函數(shù)的零點，則屬于區(qū)間（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質，可得，所以，即.又為上的減函數(shù)，由零點存在定理，可得函數(shù)有且只有一個零點且零點.故選：B．【方法技巧與總結】解決這類判斷函數(shù)零點的大致區(qū)間的題目，只需用函數(shù)零點的存在性定理依次檢驗所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．（2023·江蘇南京·高一南京市第九中學校考階段練習）函數(shù)只有一個零點，則的取值集合為【答案】【解析】（1）若，即時，①當時，此時，此時沒有零點，②當時，此時，令，解得，符合題意，（2）當時，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.例11．（2023·高一課時練習）若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若函數(shù)在區(qū)間內恰有一個零點，則方程在區(qū)間內恰有一個根，若，則方程可化為：，得，不成立；若時，設方程的兩根為，且，得，且，當時，有故，，不符合題意；若時，則函數(shù)圖象開口向上，又，若函數(shù)在上恰有一個零點，則，所以.綜上：.故答案為：例12．（2023·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有7個零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如下圖所示：令，函數(shù)可化為，函數(shù)有7個零點，等價于方程有7個不相等的實根，當時，可有三個不相等的實根，當時，可有四個不相等的實根，當時，可有三個不相等的實根，設的兩根為，且，若，方程無零根，不符合題意，若，，由題意可知：，若，則有，此時，這時，顯然不滿足，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是，故答案為：變式10．（2023·四川遂寧·高一射洪中學校考期中）函數(shù)有零點時，的范圍是.【答案】【解析】有零點，等價于有解，令，得，；當，即時，；當，即時，；若，則，當且僅當時取等號，所以；若，則，當且僅當時取等號，所以，即；綜上可得.所以的范圍是.故答案為：題型五：根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍例13．（2023·高一課時練習）函數(shù)有兩個不同零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知，方程有兩個不同解，故，即.故答案為：.例14．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)，，若存在3個零點，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】.【解析】由存在3個零點，即方程有3個實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有3個不同的交點，因為函數(shù)，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，結合圖象，將點代入，可得，此時，要使得函數(shù)和的圖象有3個不同的交點，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例15．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上恰有2個零點，則的取值范圍為．【答案】【解析】由且，得，若在上無零點，則在上恰有2個零點，則，無解；若在上恰有1個零點，則在上恰有1個零點，則，解得；若在上恰有2個零點，則在上無零點，則，無解，所以的取值范圍為.故答案為：變式11．（2023·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若方程有五個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】方程化為：，則或，由，得或，解得或，由方程有五個不同的實數(shù)根，得方程有三個不同的實數(shù)根，因此直線與函數(shù)的圖象有3個交點，在直角坐標系中作出的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線與函數(shù)的圖象有3個交點，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：變式12．（2023·寧夏銀川·高三?？茧A段練習）設，若方程有三個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為由三個不同的實數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，結合圖象，可得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【方法技巧與總結】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉化，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的應用，它對于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例16．（2023·高一課時練習）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內存在一個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】當a＝0時，f（x）＝1與x軸無交點，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內是單調函數(shù)，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.例17．（2023·高一單元測試）已知且在內存在零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，故即.而且在內存在零點，故即，解得，故選：C.例18．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二?？茧A段練習）當時，函數(shù)的值有正也有負，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，結合函數(shù)零點存在定理進行求解即可..當時，，函數(shù)值恒為正，不符合題意；當時，要想函數(shù)的值有正也有負，只需，即.綜上所述：.故選：C變式13．（2023·全國·高三專題練習）“a>3”是“函數(shù)f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零點”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于“函數(shù)f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零點”?f(－1)f(2)<0?(－a＋3)(2a＋3)<0?a<－或a>3，則“a>3”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零點”的充分不必要條件．變式14．（2023·海南省直轄縣級單位·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是分段函數(shù)，它有個零點，則函數(shù)必有一個零點，所以，函數(shù)必有個零點，即方程有兩個不等的負根（顯然不是它的根），因此，解得．綜上可得的范圍是．故選：B．題型七：二次函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例19．（2023·浙江臺州·高一臺州一中?？奸_學考試）已知點的坐標分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】或【解析】①當二次函數(shù)與軸有兩個交點時，如圖1，因為二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個公共點，的坐標分別為，，所以，解得.由，得，此時，符合題意.由，得，此時，不符合題意.所以.②當二次函數(shù)與軸僅有一個交點時，如圖2，令，由得，當時，，不合題意；當時，，符合題意.綜上，的取值范圍是或.故答案為：或.例20．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y＝x2＋x＋m的兩個零點都是負數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】【解析】因為函數(shù)y＝x2＋x＋m的兩個零點都是負數(shù)，所以可轉化為的兩個根均為負數(shù)，則，解得m的取值范圍為，故答案為：例21．（2023·山西大同·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在內有且只有一個零點，則的取值集合是.【答案】【解析】由已知得，，.由二次函數(shù)圖象及函數(shù)零點存在定理可知，該函數(shù)在內只有一個零點，只需，解得.故答案為：.變式15．（2023·高一課時練習）若方程的兩根分別在區(qū)間和內，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】令，因為方程的兩根分別在區(qū)間和內，所以，解得，故答案為：變式16．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)有兩個零點，一個大于1，一個小于1，那么實數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知函數(shù)有兩個零點，所以，若，則為開口向上的二次函數(shù)，要有兩個零點且一個大于1一個小于1，則，得，故；若，則為開口向下的二次函數(shù)，要有兩個零點且一個大于1一個小于1，則，得，故；綜上可知：或，故答案為：變式17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的兩個零點一個大于2，一個小于2，且，則的取值范圍為【答案】【解析】由的兩個零點一個大于2，一個小于2可得，即，又，設，則，解得，即，且，故3b－8a的取值范圍為.故答案為：.變式18．（2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？计谀┟}“對任意的，總存在唯一的，使得”成立的充要條件是.【答案】【解析】由得：；當時，，則，解得：,∵，，滿足題意；當時，；若存在唯一的，使得成立，則與有且僅有一個交點，在平面直角坐標系中作出在上的圖象如下圖所示，由圖象可知：當時，與有且僅有一個交點，∴，解得：，則；當時，,結合圖象可得：，解得：，則；綜上所述：原命題成立的充要條件為，故答案為：-1<a<1.變式19．（2023·北京·高一?？奸_學考試）若方程的一個根小于1，另一個根大于1，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】∵方程的一個根小于1，另一個根大于1，令，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.題型八：指對冪函數(shù)零點分布求參數(shù)范圍例22．（2023·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關于x的方程有六個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則方程可化為.由圖可知：當時，與有個交點，要使關于的方程恰好有六個不同的實數(shù)解，則方程在內有兩個不同實數(shù)根，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例23．（2023·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間內有零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得：為連續(xù)函數(shù)，且在上單調遞減，在上單調遞增，故，，，所以只需或，解得：，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：例24．（2023·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)，方程有四個不同的解，，，，且，則的最大值是.【答案】4【解析】畫出的圖象：因為方程有四個不同的解，，，，故的圖象與有四個不同的交點，由圖，，，故的取值范圍是.由圖可知，，，故，故.故.又當時，.當時，，故.又在時為減函數(shù)，故當時，取最大值.故答案為：4.變式20．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習）已知，函數(shù)．若關于的方程恰有四個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【解析】由可得，可得，若，當時，由，可得，當時，由，可得，該方程至多兩個根，不合乎題意.所以，，當時，由可得或，即方程在有兩個不等的實根，當時，由可得，對于二次函數(shù)，該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，，設函數(shù)的兩個零點分別為、，則，若使得關于的方程恰有四個不同的實數(shù)根，則方程在上只有兩個不等的實根，所以，或（無解），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式21．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知，若存在三個不同實數(shù)使得，則的取值范圍是．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖像如下圖所示：設，由圖像可知，則，解得，由可得，即，可得..故答案為：.變式22．（2023·新疆·高一烏魯木齊市第70中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若存在實數(shù)，，，，有，則的范圍是．【答案】【解析】作出函數(shù)的大致圖象如圖：當時，，解得，令.由圖象可知，當時，滿足題意.且，.又由知，，所以，即.所以.由，可得，所以.故答案為：．變式23．（2023·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)恰有四個零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】因為函數(shù)在上最多有個零點，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，函數(shù)在上至多有兩個零點，因為函數(shù)恰有四個零點，所以，函數(shù)在上有兩個零點，則，解得；函數(shù)在上有兩個零點，由可得，作出函數(shù)、在上的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，綜上所述，.故答案為：.變式24．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）設函數(shù)，若關于的方程恰好有六個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則方程可化為.由圖可知：當時，與有個交點，要使關于的方程恰好有六個不同的實數(shù)解，則方程在內有兩個不同實數(shù)根，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.變式25．（2023·廣東廣州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)有兩個零點分別為，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，有兩個不等實根，即有2個實根，即圖象有2個交點，如圖，不妨設，則，即，解得，，（）在上為增函數(shù)，故答案為：變式26．（2023·四川涼山·高一寧南中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，若存在（），使，則的取值范圍是.【答案】.【解析】的圖象如圖所示，當時，，由，得，因為存在（），使，所以由圖可得關于點，，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：.題型九：函數(shù)與方程的綜合應用例25．（2023·吉林長春·高一東北師大附中?？计谥校┮阎魏瘮?shù).(1)令，若函數(shù)的圖象與軸無交點，求實數(shù)的取值范圍；(2)設函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，又函數(shù)的圖像與軸無交點，則一元二次方程無實根，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）因為“對任意的，總存在，使得”等價于“在上的值域是在值域的子集”，因為，開口向上，對稱軸為，所以在上單調遞增，故，，所以在上的值域為，而對于，不妨取，則，因為，所以，所以，即，所以在上單調遞減，又，，則在上的值域為，所以，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.例26．（2023·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的定義域，并指出其單調區(qū)間（不需要證明）：(2)若在區(qū)間單調遞減，求實數(shù)k的取值范圍；(3)若方程在上有兩個不相等的實根，求k的取值范圍．【解析】（1）若，則，令，解得或，所以的定義域為，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）因為在上單調遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.（3）因為，所以方程可變形為，即，令，則，，令，，函數(shù)在上單調遞增，上單調遞減，又，，，所以方程在上有兩個不相等的實根，的取值范圍為.例27．（2023·貴州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)當時，求的零點；(2)若只有一個零點在內，求的取值范圍.【解析】（1）因為，當時，，令可得或，所以，當時，函數(shù)的零點為、.（2）由可得或，因為只有一個零點在內，則或，解得或，因此，實數(shù)的取值范圍是.變式27．（2023·北京·高一?？计谥校┮阎魏瘮?shù).(1)若函數(shù)滿足，求的解析式和零點；(2)若一元二次方程有兩個實數(shù)根為，，且滿足，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）若函數(shù)滿足，則直線是圖象的對稱軸，所以，所以，由解得或，所以的零點為和.（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根為，，，，且，由兩邊平方得，則，，解得.變式28．（2023·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，在時最大值為1，最小值為0.設.(1)求實數(shù)，的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若關于的方程有四個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵函數(shù)，在時最大值為1和最小值為0.當時，由題意得對稱軸為，在單調增，∴，∴；（2）當，令，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，又當時，最小值為，∴；（3）令，∴當時，方程有兩個根；當時，方程沒有根.∵關于的方程有四個不同的實數(shù)解，∴關于的方程在有兩個不同的實數(shù)解，∴在有兩個不同的實數(shù)解，∴，∴.綜上：關于的方程有四個不同的實數(shù)解時，.變式29．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校聯(lián)考期中）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調函數(shù)，且函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“保值區(qū)間”．(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“保值區(qū)間”，如果存在，寫出符合條件的一個“保值區(qū)間”（直接寫出結論，不要求證明）；(2)如果是函數(shù)的一個“保值區(qū)間”，求的最大值．【解析】（1）假設函數(shù)存在“保值區(qū)間”為，易知在上單調遞增，則有，得或或，又即，但，不符合題意，舍去，故不存在保值區(qū)間；而是增函數(shù)，假設其存在“保值區(qū)間”為，則有，故存在保值區(qū)間；（2）易知在和上都是增函數(shù)，因此保值區(qū)間或，由題意，所以有兩個同號的不等實根，由，所以，解得或，且同號，，滿足題意，所以，因為或，所以當，即時．．故的最大值是變式30．（2023·北京·高一北大附中?？计谥校┒魏瘮?shù)滿足，再從條件①和條件②兩個條件中選擇一個作為已知，完成下面問題．條件①：；條件②：不等式的解集為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在區(qū)間上，函數(shù)有零點，試確定實數(shù)m的取值范圍；(3)設當（）時，函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的解析式．【解析】（1）若選①：由已知可設.則，所以，又，.所以，解得，所以；若選②：由已知可設.則，所以，，由，可得，即的解集為.所以和是方程的兩個根且，由韋達定理可得，解得，所以.（2）由（1）可知，則函數(shù)在上單調遞減，又，，所以在上的值域為，因為在區(qū)間上，函數(shù)有零點，即在區(qū)間上有解，所以與在區(qū)間上有交點，則，即實數(shù)m的取值范圍.（3）函數(shù)對稱軸為，當，即時，在上單調遞減，所以；當，即時，；當時，在上單調遞增，.綜上所述，.題型十：用二分法求近似解的條件例28．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學校考期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知函數(shù)的零點為，而在零點左右兩側的函數(shù)值符號都為正，不是異號的，故不能用二分法求函數(shù)的零點；而選項A、B、D中的函數(shù)，它們在各自的零點左右兩側的函數(shù)值符號相反，可以用二分法求函數(shù)的零點；故選：C例29．（2023·高一課時練習）以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點的近似值．對各選項的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項C不符合，因為圖象經(jīng)過零點時函數(shù)值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點．故選：C.例30．（2023·陜西延安·高一校考期末）用二分法求函數(shù)的零點可以取的初始區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且在定義域上遞增，所以區(qū)間、、對應函數(shù)都為正，只有區(qū)間中函數(shù)值有正有負.故選：A變式31．（2023·高一單元測試）下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側函數(shù)值異號.在B中，不滿足，不能用二分法求零點，由于A、C、D中零點兩側函數(shù)值異號，故可采用二分法求零點.故選：B.變式32．（2023·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，則有，，，，，所以，，，，故區(qū)間可以作為初始區(qū)間，故A，C，D錯誤.故選：B.變式33．（2023·全國·高一校聯(lián)考開學考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，則可用二分法求零點；對于B，有唯一零點，但函數(shù)值在零點兩側同號，則不可用二分法求零點；對于C，有兩個不同零點，且在每個零點左右兩側函數(shù)值異號，則可用二分法求零點；對于D，有唯一零點，且函數(shù)值在零點兩側異號，則可用二分法求零點.故選：B.變式34．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由二分法的定義知，若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且滿足，則可以利用二分法求函數(shù)的零點的近似值，故選項A不能用二分法求圖中函數(shù)零點，故選：A.【方法技巧與總結】判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用．題型十一：用二分法求方程近似解的過程例31．（2023·高一課時練習）若用二分法求方程在初始區(qū)間內的近似解，則第三次取區(qū)間的中點.【答案】/0.625【解析】設，則，，∴第一次取區(qū)間的中點，，∴，∴的零點所在的區(qū)間為，∴第二次取區(qū)間的中點，，∴，∴的零點所在的區(qū)間為，∴第三次取區(qū)間的中點.故答案為：.例32．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)的表達式為，用二分法計算此函數(shù)在區(qū)間上零點的近似值，第一次計算、的值，第二次計算的值，第三次計算的值，則．【答案】【解析】依題意，因為，所以，，所以，所以零點所在的區(qū)間為；故第二次計算的值時，，所以，所以，所以零點所在的區(qū)間為；故第三次計算的值時，.故答案為：.例33．（2023·上海浦東新·高一上海市實驗學校校考期末）用“二分法”求方程在區(qū)間內的實根，首先取區(qū)間中點進行判斷，那么下一個取的點是．【答案】1.5/【解析】設函數(shù)，易得函數(shù)為嚴格增函數(shù)，因為，，所以下一個有根區(qū)間是，那么下一個取的點是．故答案為：變式35．（2023·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）小明在學習在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，經(jīng)過兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為.【答案】【解析】設，則，，，；，，故近似解所在的區(qū)間為.故答案為：變式36．（2023·全國·高一隨堂練習）根據(jù)圖象是連續(xù)曲線的函數(shù)的性質以及函數(shù)增長快慢的差異，判斷方程至少有兩個實數(shù)根．用二分法求方程的一個近似解．（精確度為0.01）【解析】指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象是連續(xù)曲線，當時，，當時，，在區(qū)間內方程有實數(shù)解，由于當充分大以后，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)的增長速度快很多，所以對于很大的，總有，于是在區(qū)間內方程有實數(shù)解，由二分法得到方程的實數(shù)解所在區(qū)間如下：區(qū)間左端點區(qū)間右端點第1次12第2次11.5第3次1.251.5第4次1.251.375第5次1.31251.375第6次1.343751.375第7次1.3593751.375第8次1.36718751.375至此，可以看出區(qū)間的端點不是方程的解，而區(qū)間的長度小于0.01，所以可任取其中一個數(shù)，如1.37，作為方程的一個近似解.【方法技巧與總結】（1）依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間（這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡可能的小，區(qū)間的端點盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點的平均數(shù)，計算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的長度符合精確度要求（這個過程中應及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度），才終止計算，得到函數(shù)零點的近似值（為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法）．題型十二：用二分法求函數(shù)零點的過程例34．（2023·上海松江·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點，對區(qū)間利用一次“二分法”，可確定所在的區(qū)間為.【答案】【解析】設，則，取區(qū)間的中點為，，所以可確定所在的區(qū)間為，故答案為:.例35．（2023·四川成都·高一成都實外?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確度為0.01時，所需二分區(qū)間次數(shù)最少為次．【答案】7【解析】開區(qū)間的長度為1，每經(jīng)過一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?jīng)過次操作后，區(qū)間長度為，因為二分法求在區(qū)間上近似解，要求精確度為0.01，所以，解得：，所以所需二分區(qū)間次數(shù)最少為7次.故答案為：7例36．（2023·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學校考開學考試）利用二分法計算函數(shù)在區(qū)間的零點，第一次操作后確認在內有零點，那么第二次操作后確認在區(qū)間內有零點.【答案】【解析】由題意可知，取區(qū)間的中點，，，所以，所以第二次操作后確認在區(qū)間內有零點.故答案為：.變式37．（2023·云南·高一云南師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間內存在一個零點，用二分法計算這個零點的近似值，其參考數(shù)據(jù)（函數(shù)值均保留四位小數(shù)）如下：則這個零點的近似值為．（保留兩位小數(shù)）【答案】【解析】由表可知，，所以函數(shù)在區(qū)間內存在零點，這個零點保留兩位小數(shù)后的近似值為．故答案為：變式38．（2023·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的表達式為，用二分法計算此函數(shù)在區(qū)間上零點的近似值，第一次計算、的值，第二次計算的值，第三次計算的值，則．【答案】/【解析】因為，，根據(jù)二分法可得，，且，所以零點所在的區(qū)間為.所以.故答案為：.【方法技巧與總結】利用二分法求函數(shù)近似零點的流程圖：變式39．（2023·全國·高一隨堂練習）已知函數(shù)在區(qū)間內有零點，求方程在區(qū)間內的一個近似解．（精確度為0.1）【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的零點就是方程在區(qū)間內的解，由于函數(shù)和均為單調遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，，，，則的零點在上，又由，而，則的零點在上，又由，而，則的零點在上，又由，而，則的零點在上，此時滿足精確度為0.1，則函數(shù)在區(qū)間上的零點近似為1.2，故方程在區(qū)間內的近似解為1.2．變式40．（2023·全國·高一課堂例題）求曲線和直線的交點的橫坐標（誤差不超過0.01）．【解析】直線方程可改寫為函數(shù)形式，于是交點的橫坐標應滿足等式，即，即交點的橫坐標是函數(shù)的零點，由和可知在區(qū)間內有一個零點；由單調遞增可知它只有這一個零點．用二分法計算，列表如下：次數(shù)，-，+的近似值區(qū)間長1121.5121.521.750.310.531.51.751.6250.110.2541.51.6251.56250.0090.12551.51.56251.531250.062561.531251.56251.5468750.0312571.5468751.56251.55468750.015625得出零點的近似值為1.555，誤差不超過0.008．因此曲線和直線的交點的橫坐標約為1.555．變式41．（2023·全國·高一隨堂練習）借助計算器或計算機，用二分法求函數(shù)在區(qū)間內的零點的近似值（誤差不超）．【解析】在上單調遞增，，所以在區(qū)間內有唯一零點，，所以在區(qū)間內有唯一零點，，所以在區(qū)間內有唯一零點，，所以在區(qū)間內有唯一零點，，所以在區(qū)間內有唯一零點，，所以在區(qū)間內的零點的近似值為（或）.一、單選題1．（2023·北京西城·高一北師大實驗中學?？计谥校┮阎瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對應值表x1234y1.213.7910.28以下說法中錯誤的是（

）A． B．當時，C．函數(shù)有且僅有一個零點 D．函數(shù)可能無零點【答案】D【解析】對于A，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對于B，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以當時，，正確；對于C，因為函數(shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個在區(qū)間的零點，正確；對于D，因為函數(shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點，錯誤，故選：D.2．（2023·北京·高一匯文中學?？计谥校┰O是定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調遞減，，則下列結論錯誤的是（

）A．在上單調遞減B．的圖象與x軸只有2個公共點C．D．不等式的解集為【答案】B【解析】由題設，奇函數(shù)在上單調遞減，且，A對，B錯，由在上單調遞減，則，C對，由上分析知：上，上，所以的解集為，D對.故選：B3．（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上單調遞增，，，故零點所在的區(qū)間為.故選：D4．（2023·廣西玉林·高一統(tǒng)考期中）關于x的一元二次方程有一個根小于，另一個根大于1，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設，開口向上，由題意知，即，解得，所以．故選：B．5．（2023·遼寧沈陽·高一遼寧實驗中學?？计谥校┖瘮?shù)有零點，用二分法求零點的近似值（精確度0.1）時，至少需要進行（

）次函數(shù)值的計算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】至少需要進行3次函數(shù)值的計算，理由如下：，，取區(qū)間的中點，且，所以.，取區(qū)間的中點，且，所以.，取區(qū)間的中點，且，所以.因為，所以區(qū)間的中點，即為零點的近似值，即函數(shù)的零點，所以至少需進行3次函數(shù)值的計算.故選：B.6．（2023·安徽·高一統(tǒng)考強基計劃）已知是方程的兩根，且，，實數(shù)的大小關系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，如圖，由已知可得與軸交點的橫坐標為，在拋物線的對稱軸的左側，在拋物線的對稱軸的右側，可化為，可得是函數(shù)的圖象與直線的兩個交點的橫坐標，由可得函數(shù)在拋物線的對稱軸的左側，在拋物線的對稱軸的右側，結合圖象可得.故選：A.7．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考階段練習）函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；令，可得，因為，所以，，可得，所以；綜上，.故選：A.8．（2023·山西晉城·高一晉城市第一中學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，若方程有3個不同的實根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，當時，或，故當時，，當時，，當時，，當時，.因為方程有3個不同的實根，所以有3個不同的交點，如圖，由可得，又，解得，所以.故選：A二、多選題9．（2023·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，則（

）A．B．不等式解集為C．方程有兩個解D．若且，則【答案】CD【解析】對于A：，∴，故A錯誤；對于B、C、D：作的圖象如下，不等式解集為，故B錯誤；，由圖知，的圖象與的圖象有且僅有2個交點，∴方程有兩個解，故C正確；令，圖象與的圖象相交于如圖所示3點，∵，解得，∴，易知的對稱軸為，∴，∴，故D正確.故選：CD.10．（2023·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點所在的區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，，故函數(shù)有兩個零點，，，故上有零點；，，故上有零點；故零點所在的區(qū)間為，.故選：AD11．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高級中學校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．若存在，使得，則下列結論正確的有（

）A． B．的最大值為9C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ACD【解析】作出圖象如圖所示，易知，結合二次函數(shù)對稱性可知，故A正確；由，又，所以等號不成立，故B錯誤；由圖象及函數(shù)的值域可知，，且，則，故C正確；因為，由，故，故．故D正確．故選：ACD12．（2023·河南鄭州·高一統(tǒng)考期中）若二次函數(shù)的一個零點恰落在內，則實數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】，則，函數(shù)在上單調遞增，當，，BC滿足.故選：BC.三、填空題13．（2023·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學校聯(lián)考期中）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)，則．①定義域為，值域為②在定義域內是偶函數(shù)③的圖象與x軸有三個公共點【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意可取，函數(shù)的定義域為，值域為，故①符合，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故②符合，令，解得或，所以的圖象與x軸有三個公共點，故③符合，所以函數(shù)符合題意.故答案為：.14．（2023·浙江湖州·高一吳