8.1 二分法與求方程近似解（十二大題型）-蘇教版高一《數(shù)學(xué)》同步學(xué)與練

第第頁(yè)8．1二分法與求方程近似解課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)例，運(yùn)用圖形判定零點(diǎn)，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).（2）運(yùn)用零點(diǎn)判定定理確定零點(diǎn)范圍，提升邏輯推理素養(yǎng).（3）運(yùn)用二分法求具體方程的近似解，提升直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).（1）了解函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根與圖象交點(diǎn)三者之間的聯(lián)系.（2）會(huì)借助零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.（3）了解二分法的原理及其適用條件.（4）掌握二分法的實(shí)施步驟.知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)詮釋：①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè)．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定．②若函數(shù)在區(qū)間上有，在內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如在上，在區(qū)間上就是這樣的．故在內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有．③若函數(shù)在區(qū)間上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，在內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)在上就是這樣的．（2）利用方程求解法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程，方程無(wú)實(shí)根則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，方程有實(shí)根則函數(shù)有零點(diǎn)．（3）利用數(shù)形結(jié)合法函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【即學(xué)即練1】（2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故選：D.知識(shí)點(diǎn)02二分法1、二分法對(duì)于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長(zhǎng)度盡量小；②、的值比較容易計(jì)算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的．對(duì)于求方程的根，可以構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根．3、關(guān)于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長(zhǎng)度達(dá)到某個(gè)確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達(dá)到某個(gè)規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度小于時(shí)停止二分；此時(shí)除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用該區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)值作零點(diǎn)近似值．【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）在在上恰有一個(gè)零點(diǎn)．試用二分法來(lái)計(jì)算這個(gè)零點(diǎn)的更精確的近似值（誤差不超過(guò)0.001）．【解析】已經(jīng)知道，，這是出發(fā)點(diǎn)；然后一次次縮小零點(diǎn)所在區(qū)間：第一次，取]的中點(diǎn)，用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)求出，由于，可知零點(diǎn)在上；第二次，取的中點(diǎn)，求出，由于，可知零點(diǎn)在上；第三次，取的中點(diǎn)，求出，由于，可知零點(diǎn)在上．為了表述清楚，記零點(diǎn)所在區(qū)間為，其中點(diǎn)．繼續(xù)計(jì)算列出表格：次數(shù)，+，-的近似值區(qū)間長(zhǎng)1010.50.38120.510.750.530.50.750.6250.070.2540.6250.750.68750.12550.6250.68750.656250.062560.6250.656250.6406250.0320.0312570.6406250.656250.64843750.010.01562580.64843750.656250.652343750.000950.007812590.652343750.656250.6542968750.00390625100.652343750.6542968750.65332031250.001953125從表中計(jì)算數(shù)據(jù)看出，計(jì)算到第10次，包含零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度小于0.002．取此區(qū)間中點(diǎn)與零點(diǎn)的距離不超過(guò)區(qū)間長(zhǎng)度之半即0.001．于是可取0.653作為零點(diǎn)的近似值．題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)例1．（2023·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：.例2．（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槭呛瘮?shù)的根，由題意，，，故選：D.例3．（2023·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】令，得，則．故選：A變式1．（2023·江蘇南京·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】在上單調(diào)遞增，又，故函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：A變式2．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為、.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從而得到函數(shù)的零點(diǎn).題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)例4．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）關(guān)于的函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，且，則＝（）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意得是方程的兩不等實(shí)根，所以，，，所以，即，又，所以.故選：A例5．（2023·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．9 B．12 C．0或9 D．0或12【答案】C【解析】因?yàn)?，令，得到，?dāng)時(shí)，，得到，滿足題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故，得到，綜上，或.故選：C.例6．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不等式的解集為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則，不等式的解集為，即的解集為.設(shè)方程的兩根為，則，且，∴，則，整理得，.故選：C.變式3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的零點(diǎn)為2，則函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．0， B．0， C．0，2 D．2，【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為2，所以，∵，，∴，∴．令，得或．故選：A.變式4．（2023·四川達(dá)州·高一統(tǒng)考期末）已知2是函數(shù)（為常數(shù)）的零點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C．4 D．3【答案】C【解析】因?yàn)?是函數(shù)（為常數(shù)）的零點(diǎn)，所以，得，所以，因?yàn)椋?，得，故選：C變式5．（2023·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．－1 C．0 D．－2【答案】B【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，因函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為.故選：B題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例7．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，.故選：B例8．（2023·甘肅·高一統(tǒng)考期中）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C例9．（2023·高一單元測(cè)試）在區(qū)間上有零點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得，則；對(duì)于B中，由函數(shù)，可得，則；對(duì)于C中，由函數(shù)，可得則；對(duì)于D中，由函數(shù)，可得則，所以只有C項(xiàng)，符合函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，所以在內(nèi)存在零點(diǎn).故選：C.變式6．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，因?yàn)?，，，由的單調(diào)性可知，，則，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，即方程的根屬于區(qū)間．故選：C變式7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的對(duì)應(yīng)值表，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（

）x1234567123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】由數(shù)表可知，.則，，，又函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)分別在上至少各一個(gè)零點(diǎn)，因此在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．故選：B.變式8．（2023·湖南·高一南縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，，，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C變式9．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高一?？计谥校┤羰呛瘮?shù)的零點(diǎn)，則屬于區(qū)間（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即.又為上的減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn).故選：B．【方法技巧與總結(jié)】解決這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的題目，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，即可得到答案．題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍例10．（2023·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值集合為【答案】【解析】（1）若，即時(shí)，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)沒有零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令，解得，符合題意，（2）當(dāng)時(shí)，令，則，解得或1（舍去），綜上或，則的取值集合為.故答案為：.例11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)根，若，則方程可化為：，得，不成立；若時(shí)，設(shè)方程的兩根為，且，得，且，當(dāng)時(shí)，有故，，不符合題意；若時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，又，若函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，所以.綜上：.故答案為：例12．（2023·河南南陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如下圖所示：令，函數(shù)可化為，函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程有7個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，可有三個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，可有四個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，可有三個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)的兩根為，且，若，方程無(wú)零根，不符合題意，若，，由題意可知：，若，則有，此時(shí)，這時(shí)，顯然不滿足，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：變式10．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)有零點(diǎn)時(shí)，的范圍是.【答案】【解析】有零點(diǎn)，等價(jià)于有解，令，得，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即；綜上可得.所以的范圍是.故答案為：題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知，方程有兩個(gè)不同解，故，即.故答案為：.例14．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知函數(shù)，，若存在3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】.【解析】由存在3個(gè)零點(diǎn)，即方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，將點(diǎn)代入，可得，此時(shí)，要使得函數(shù)和的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例15．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【解析】由且，得，若在上無(wú)零點(diǎn)，則在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，無(wú)解；若在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，則在上恰有1個(gè)零點(diǎn)，則，解得；若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則在上無(wú)零點(diǎn)，則，無(wú)解，所以的取值范圍為.故答案為：變式11．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】方程化為：，則或，由，得或，解得或，由方程有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，得方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因此直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：變式12．（2023·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）設(shè)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)橛扇齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對(duì)于解決有更多限制條件的問題提供了一種新的途徑．題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝1與x軸無(wú)交點(diǎn)，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.例17．（2023·高一單元測(cè)試）已知且在內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故?而且在內(nèi)存在零點(diǎn)，故即，解得，故選：C.例18．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二?？茧A段練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行求解即可..當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值恒為正，不符合題意；當(dāng)時(shí)，要想函數(shù)的值有正也有負(fù)，只需，即.綜上所述：.故選：C變式13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“a>3”是“函數(shù)f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零點(diǎn)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于“函數(shù)f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零點(diǎn)”?f(－1)f(2)<0?(－a＋3)(2a＋3)<0?a<－或a>3，則“a>3”是“函數(shù)f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件．變式14．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)是分段函數(shù)，它有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)必有一個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)必有個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的負(fù)根（顯然不是它的根），因此，解得．綜上可得的范圍是．故選：B．題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例19．（2023·浙江臺(tái)州·高一臺(tái)州一中?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，若二次函數(shù)的圖像與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【解析】①當(dāng)二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖1，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，所以，解得.由，得，此時(shí)，符合題意.由，得，此時(shí)，不符合題意.所以.②當(dāng)二次函數(shù)與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，如圖2，令，由得，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意.綜上，的取值范圍是或.故答案為：或.例20．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）函數(shù)y＝x2＋x＋m的兩個(gè)零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，則m的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝x2＋x＋m的兩個(gè)零點(diǎn)都是負(fù)數(shù)，所以可轉(zhuǎn)化為的兩個(gè)根均為負(fù)數(shù)，則，解得m的取值范圍為，故答案為：例21．（2023·山西大同·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值集合是.【答案】【解析】由已知得，，.由二次函數(shù)圖象及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，該函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，解得.故答案為：.變式15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若方程的兩根分別在區(qū)間和內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【解析】令，因?yàn)榉匠痰膬筛謩e在區(qū)間和內(nèi)，所以，解得，故答案為：變式16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，若，則為開口向上的二次函數(shù)，要有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則，得，故；若，則為開口向下的二次函數(shù)，要有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則，得，故；綜上可知：或，故答案為：變式17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)大于2，一個(gè)小于2，且，則的取值范圍為【答案】【解析】由的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)大于2，一個(gè)小于2可得，即，又，設(shè)，則，解得，即，且，故3b－8a的取值范圍為.故答案為：.變式18．（2023·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市一中校考期末）命題“對(duì)任意的，總存在唯一的，使得”成立的充要條件是.【答案】【解析】由得：；當(dāng)時(shí)，，則，解得：,∵，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，；若存在唯一的，使得成立，則與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中作出在上的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，∴，解得：，則；當(dāng)時(shí)，,結(jié)合圖象可得：，解得：，則；綜上所述：原命題成立的充要條件為，故答案為：-1<a<1.變式19．（2023·北京·高一校考開學(xué)考試）若方程的一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】∵方程的一個(gè)根小于1，另一個(gè)根大于1，令，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.題型八：指對(duì)冪函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍例22．（2023·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有六個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則方程可化為.由圖可知：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，要使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例23．（2023·湖北襄陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意得：為連續(xù)函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，，所以只需或，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：例24．（2023·廣西南寧·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的解，，，，且，則的最大值是.【答案】4【解析】畫出的圖象：因?yàn)榉匠逃兴膫€(gè)不同的解，，，，故的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖，，，故的取值范圍是.由圖可知，，，故，故.故.又當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，故.又在時(shí)為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：4.變式20．（2023·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）已知，函數(shù)．若關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【解析】由可得，可得，若，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，該方程至多兩個(gè)根，不合乎題意.所以，，當(dāng)時(shí)，由可得或，即方程在有兩個(gè)不等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，由可得，對(duì)于二次函數(shù)，該函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，則，若使得關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程在上只有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，或（無(wú)解），解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式21．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）已知，若存在三個(gè)不同實(shí)數(shù)使得，則的取值范圍是．【答案】【解析】作出函數(shù)的圖像如下圖所示：設(shè)，由圖像可知，則，解得，由可得，即，可得..故答案為：.變式22．（2023·新疆·高一烏魯木齊市第70中校考期中）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，，，，有，則的范圍是．【答案】【解析】作出函數(shù)的大致圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，解得，令.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，滿足題意.且，.又由知，，所以，即.所以.由，可得，所以.故答案為：．變式23．（2023·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上最多有個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上至多有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得；函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，由可得，作出函數(shù)、在上的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，.故答案為：.變式24．（2023·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，令，則方程可化為.由圖可知：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)，要使關(guān)于的方程恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程在內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.變式25．（2023·廣東廣州·高一校考期末）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，有兩個(gè)不等實(shí)根，即有2個(gè)實(shí)根，即圖象有2個(gè)交點(diǎn)，如圖，不妨設(shè)，則，即，解得，，（）在上為增函數(shù)，故答案為：變式26．（2023·四川涼山·高一寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在（），使，則的取值范圍是.【答案】.【解析】的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)榇嬖冢ǎ?，使，所以由圖可得關(guān)于點(diǎn)，，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：.題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用例25．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中?？计谥校┮阎魏瘮?shù).(1)令，若函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋?，又函?shù)的圖像與軸無(wú)交點(diǎn)，則一元二次方程無(wú)實(shí)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）因?yàn)椤皩?duì)任意的，總存在，使得”等價(jià)于“在上的值域是在值域的子集”，因?yàn)?，開口向上，對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，，所以在上的值域?yàn)?，而?duì)于，不妨取，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，又，，則在上的值域?yàn)?，所以，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.例26．（2023·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的定義域，并指出其單調(diào)區(qū)間（不需要證明）：(2)若在區(qū)間單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求k的取值范圍．【解析】（1）若，則，令，解得或，所以的定義域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.（3）因?yàn)椋苑匠炭勺冃螢?，即，令，則，，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，，，所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，的取值范圍為.例27．（2023·貴州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；(2)若只有一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，令可得或，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為、.（2）由可得或，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，則或，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式27．（2023·北京·高一校考期中）已知二次函數(shù).(1)若函數(shù)滿足，求的解析式和零點(diǎn)；(2)若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）若函數(shù)滿足，則直線是圖象的對(duì)稱軸，所以，所以，由解得或，所以的零點(diǎn)為和.（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，，，且，由兩邊平方得，則，，解得.變式28．（2023·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，在時(shí)最大值為1，最小值為0.設(shè).(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵函數(shù)，在時(shí)最大值為1和最小值為0.當(dāng)時(shí)，由題意得對(duì)稱軸為，在單調(diào)增，∴，∴；（2）當(dāng)，令，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，又當(dāng)時(shí)，最小值為，∴；（3）令，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有根.∵關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴關(guān)于的方程在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴，∴.綜上：關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，.變式29．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“保值區(qū)間”．(1)判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“保值區(qū)間”，如果存在，寫出符合條件的一個(gè)“保值區(qū)間”（直接寫出結(jié)論，不要求證明）；(2)如果是函數(shù)的一個(gè)“保值區(qū)間”，求的最大值．【解析】（1）假設(shè)函數(shù)存在“保值區(qū)間”為，易知在上單調(diào)遞增，則有，得或或，又即，但，不符合題意，舍去，故不存在保值區(qū)間；而是增函數(shù)，假設(shè)其存在“保值區(qū)間”為，則有，故存在保值區(qū)間；（2）易知在和上都是增函數(shù)，因此保值區(qū)間或，由題意，所以有兩個(gè)同號(hào)的不等實(shí)根，由，所以，解得或，且同號(hào)，，滿足題意，所以，因?yàn)榛?，所以?dāng)，即時(shí)．．故的最大值是變式30．（2023·北京·高一北大附中?？计谥校┒魏瘮?shù)滿足，再?gòu)臈l件①和條件②兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成下面問題．條件①：；條件②：不等式的解集為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)在區(qū)間上，函數(shù)有零點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的解析式．【解析】（1）若選①：由已知可設(shè).則，所以，又，.所以，解得，所以；若選②：由已知可設(shè).則，所以，，由，可得，即的解集為.所以和是方程的兩個(gè)根且，由韋達(dá)定理可得，解得，所以.（2）由（1）可知，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，所以在上的值域?yàn)椋驗(yàn)樵趨^(qū)間上，函數(shù)有零點(diǎn)，即在區(qū)間上有解，所以與在區(qū)間上有交點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍.（3）函數(shù)對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.綜上所述，.題型十：用二分法求近似解的條件例28．（2023·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)校考期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知函數(shù)的零點(diǎn)為，而在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)都為正，不是異號(hào)的，故不能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)；而選項(xiàng)A、B、D中的函數(shù)，它們?cè)诟髯缘牧泓c(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)；故選：C例29．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）以下每個(gè)圖象表示的函數(shù)都有零點(diǎn)，但不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點(diǎn)的近似值．對(duì)各選項(xiàng)的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項(xiàng)C不符合，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)零點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)．故選：C.例30．（2023·陜西延安·高一?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且在定義域上遞增，所以區(qū)間、、對(duì)應(yīng)函數(shù)都為正，只有區(qū)間中函數(shù)值有正有負(fù).故選：A變式31．（2023·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)必須滿足零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào).在B中，不滿足，不能用二分法求零點(diǎn)，由于A、C、D中零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，故可采用二分法求零點(diǎn).故選：B.變式32．（2023·浙江·高一期末）用二分法求方程的近似解，以下區(qū)間可以作為初始區(qū)間的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，顯然函數(shù)圖象是連續(xù)的，則有，，，，，所以，，，，故區(qū)間可以作為初始區(qū)間，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.變式33．（2023·全國(guó)·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于B，有唯一零點(diǎn)，但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)同號(hào)，則不可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于C，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在每個(gè)零點(diǎn)左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn)；對(duì)于D，有唯一零點(diǎn)，且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，則可用二分法求零點(diǎn).故選：B.變式34．（2023·湖北荊州·高一校聯(lián)考期末）下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由二分法的定義知，若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且滿足，則可以利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值，故選項(xiàng)A不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)，故選：A.【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)函數(shù)能否用二分法求其零點(diǎn)的依據(jù)是：其圖象在零點(diǎn)附近是連續(xù)不斷的，且該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)．因此，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的方法僅對(duì)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)適用，對(duì)函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)不適用．題型十一：用二分法求方程近似解的過(guò)程例31．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若用二分法求方程在初始區(qū)間內(nèi)的近似解，則第三次取區(qū)間的中點(diǎn).【答案】/0.625【解析】設(shè)，則，，∴第一次取區(qū)間的中點(diǎn)，，∴，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，∴第二次取區(qū)間的中點(diǎn)，，∴，∴的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，∴第三次取區(qū)間的中點(diǎn).故答案為：.例32．（2023·上海寶山·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的表達(dá)式為，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算、的值，第二次計(jì)算的值，第三次計(jì)算的值，則．【答案】【解析】依題意，因?yàn)椋?，，所以，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為；故第二次計(jì)算的值時(shí)，，所以，所以，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為；故第三次計(jì)算的值時(shí)，.故答案為：.例33．（2023·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┯谩岸址ā鼻蠓匠淘趨^(qū)間內(nèi)的實(shí)根，首先取區(qū)間中點(diǎn)進(jìn)行判斷，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是．【答案】1.5/【解析】設(shè)函數(shù)，易得函數(shù)為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)?，，所以下一個(gè)有根區(qū)間是，那么下一個(gè)取的點(diǎn)是．故答案為：變式35．（2023·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)在二分法后，利用二分法研究方程在（1，3）上的近似解，經(jīng)過(guò)兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為.【答案】【解析】設(shè)，則，，，；，，故近似解所在的區(qū)間為.故答案為：變式36．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）根據(jù)圖象是連續(xù)曲線的函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)增長(zhǎng)快慢的差異，判斷方程至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．用二分法求方程的一個(gè)近似解．（精確度為0.01）【解析】指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象是連續(xù)曲線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)方程有實(shí)數(shù)解，由于當(dāng)充分大以后，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度快很多，所以對(duì)于很大的，總有，于是在區(qū)間內(nèi)方程有實(shí)數(shù)解，由二分法得到方程的實(shí)數(shù)解所在區(qū)間如下：區(qū)間左端點(diǎn)區(qū)間右端點(diǎn)第1次12第2次11.5第3次1.251.5第4次1.251.375第5次1.31251.375第6次1.343751.375第7次1.3593751.375第8次1.36718751.375至此，可以看出區(qū)間的端點(diǎn)不是方程的解，而區(qū)間的長(zhǎng)度小于0.01，所以可任取其中一個(gè)數(shù)，如1.37，作為方程的一個(gè)近似解.【方法技巧與總結(jié)】（1）依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間（這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長(zhǎng)度盡可能的小，區(qū)間的端點(diǎn)盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)，計(jì)算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長(zhǎng)度”，直到區(qū)間的長(zhǎng)度符合精確度要求（這個(gè)過(guò)程中應(yīng)及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間端點(diǎn)差的絕對(duì)值是否達(dá)到給定的精確度），才終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值（為了比較清晰地表達(dá)計(jì)算過(guò)程與函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間往往采用列表法）．題型十二：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程例34．（2023·上海松江·高一?？计谀┖瘮?shù)的零點(diǎn)，對(duì)區(qū)間利用一次“二分法”，可確定所在的區(qū)間為.【答案】【解析】設(shè)，則，取區(qū)間的中點(diǎn)為，，所以可確定所在的區(qū)間為，故答案為:.例35．（2023·四川成都·高一成都實(shí)外?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間上近似解，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間次數(shù)最少為次．【答案】7【解析】開區(qū)間的長(zhǎng)度為1，每經(jīng)過(guò)一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，經(jīng)過(guò)次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度為，因?yàn)槎址ㄇ笤趨^(qū)間上近似解，要求精確度為0.01，所以，解得：，所以所需二分區(qū)間次數(shù)最少為7次.故答案為：7例36．（2023·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）利用二分法計(jì)算函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)，第一次操作后確認(rèn)在內(nèi)有零點(diǎn)，那么第二次操作后確認(rèn)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).【答案】【解析】由題意可知，取區(qū)間的中點(diǎn)，，，所以，所以第二次操作后確認(rèn)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).故答案為：.變式37．（2023·云南·高一云南師大附中校考期末）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，用二分法計(jì)算這個(gè)零點(diǎn)的近似值，其參考數(shù)據(jù)（函數(shù)值均保留四位小數(shù)）如下：則這個(gè)零點(diǎn)的近似值為．（保留兩位小數(shù)）【答案】【解析】由表可知，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，這個(gè)零點(diǎn)保留兩位小數(shù)后的近似值為．故答案為：變式38．（2023·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的表達(dá)式為，用二分法計(jì)算此函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的近似值，第一次計(jì)算、的值，第二次計(jì)算的值，第三次計(jì)算的值，則．【答案】/【解析】因?yàn)?，，根?jù)二分法可得，，且，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間為.所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的流程圖：變式39．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)近似解．（精確度為0.1）【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)就是方程在區(qū)間內(nèi)的解，由于函數(shù)和均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，，，，則的零點(diǎn)在上，又由，而，則的零點(diǎn)在上，又由，而，則的零點(diǎn)在上，又由，而，則的零點(diǎn)在上，此時(shí)滿足精確度為0.1，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)近似為1.2，故方程在區(qū)間內(nèi)的近似解為1.2．變式40．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求曲線和直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（誤差不超過(guò)0.01）．【解析】直線方程可改寫為函數(shù)形式，于是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)滿足等式，即，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的零點(diǎn)，由和可知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；由單調(diào)遞增可知它只有這一個(gè)零點(diǎn)．用二分法計(jì)算，列表如下：次數(shù)，-，+的近似值區(qū)間長(zhǎng)1121.5121.521.750.310.531.51.751.6250.110.2541.51.6251.56250.0090.12551.51.56251.531250.062561.531251.56251.5468750.0312571.5468751.56251.55468750.015625得出零點(diǎn)的近似值為1.555，誤差不超過(guò)0.008．因此曲線和直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約為1.555．變式41．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的近似值（誤差不超）．【解析】在上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，所以在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的近似值為（或）.一、單選題1．（2023·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表x1234y1.213.7910.28以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能無(wú)零點(diǎn)【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯(cuò)誤，故選：D.2．（2023·北京·高一匯文中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．在上單調(diào)遞減B．的圖象與x軸只有2個(gè)公共點(diǎn)C．D．不等式的解集為【答案】B【解析】由題設(shè)，奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，A對(duì)，B錯(cuò)，由在上單調(diào)遞減，則，C對(duì)，由上分析知：上，上，所以的解集為，D對(duì).故選：B3．（2023·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校┖瘮?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上單調(diào)遞增，，，故零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：D4．（2023·廣西玉林·高一統(tǒng)考期中）關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根小于，另一個(gè)根大于1，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，開口向上，由題意知，即，解得，所以．故選：B．5．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)有零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度0.1）時(shí)，至少需要進(jìn)行（

）次函數(shù)值的計(jì)算．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】至少需要進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算，理由如下：，，取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.，取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.，取區(qū)間的中點(diǎn)，且，所以.因?yàn)?，所以區(qū)間的中點(diǎn)，即為零點(diǎn)的近似值，即函數(shù)的零點(diǎn)，所以至少需進(jìn)行3次函數(shù)值的計(jì)算.故選：B.6．（2023·安徽·高一統(tǒng)考強(qiáng)基計(jì)劃）已知是方程的兩根，且，，實(shí)數(shù)的大小關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線，如圖，由已知可得與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)，在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)，可化為，可得是函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由可得函數(shù)在拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)，在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)，結(jié)合圖象可得.故選：A.7．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；令，可得，因?yàn)?，所以，，可得，所以；綜上，.故選：A.8．（2023·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，若方程有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，或，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)根，所以有3個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖，由可得，又，解得，所以.故選：A二、多選題9．（2023·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．B．不等式解集為C．方程有兩個(gè)解D．若且，則【答案】CD【解析】對(duì)于A：，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C、D：作的圖象如下，不等式解集為，故B錯(cuò)誤；，由圖知，的圖象與的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，∴方程有兩個(gè)解，故C正確；令，圖象與的圖象相交于如圖所示3點(diǎn)，∵，解得，∴，易知的對(duì)稱軸為，∴，∴，故D正確.故選：CD.10．（2023·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】，，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，，故上有零點(diǎn)；，，故上有零點(diǎn)；故零點(diǎn)所在的區(qū)間為，.故選：AD11．（2023·河南商丘·高一商丘市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．若存在，使得，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的最大值為9C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ACD【解析】作出圖象如圖所示，易知，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱性可知，故A正確；由，又，所以等號(hào)不成立，故B錯(cuò)誤；由圖象及函數(shù)的值域可知，，且，則，故C正確；因?yàn)?，由，故，故．故D正確．故選：ACD12．（2023·河南鄭州·高一統(tǒng)考期中）若二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)恰落在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，BC滿足.故選：BC.三、填空題13．（2023·浙江寧波·高一浙江省寧波市鄞州中學(xué)校聯(lián)考期中）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)，則．①定義域?yàn)?，值域?yàn)棰谠诙x域內(nèi)是偶函數(shù)③的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意可取，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故①符合，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故②符合，令，解得或，所以的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，故③符合，所以函數(shù)符合題意.故答案為：.14．（2023·浙江湖州·高一吳