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2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題(每題4分,共48分)1.如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點(diǎn)G,若AE=3ED,DF=CF,則的值是A. B. C. D.2.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣次,下列說(shuō)法中正確的是()A.可能有次正面朝上 B.必有次正面朝上C.必有次正面朝上 D.不可能次正面朝上3.已知△ABC∽△A'B'C,AB=8,A'B'=6,則△ABC與△A'B'C的周長(zhǎng)之比為()A. B. C. D.4.如圖,DE是的中位線,則與的面積的比是A.1:2B.1:3C.1:4D.1:95.關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)整數(shù),且一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限,則滿足條件的所有整數(shù)的和為()A. B. C. D.6.若,則代數(shù)式的值()A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-37.如圖,數(shù)軸上的點(diǎn)可近似表示的值是()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C D.點(diǎn)D8.如圖,點(diǎn)()是反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,.隨著的增大,四邊形的面積()A.增大 B.減小 C.不確定 D.不變9.如圖,是⊙上的點(diǎn),則圖中與相等的角是()A. B. C. D.10.若+10x+m=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值應(yīng)為()A.m="2" B.m= C.m= D.無(wú)法確定11.在一個(gè)不透明的布袋中裝有紅色.白色玻璃球共40個(gè),除顏色外其他完全相同,小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn),其中摸到白色球的頻率穩(wěn)定在85%左右,則口袋中紅色球可能有().A.34個(gè) B.30個(gè) C.10個(gè) D.6個(gè)12.如圖,在中,,,,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),連結(jié),以,為鄰邊作平行四邊形,連結(jié),則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題(每題4分,共24分)13.已知:在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn),若∠APD=90°,則AP=_____.14.從地面豎直向上拋出一小球,小球離地面的高度h(米)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)之間關(guān)系是h=30t﹣5t2(0≤t≤6),則小球從拋出后運(yùn)動(dòng)4秒共運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是________米.15.已知兩圓內(nèi)切,半徑分別為2厘米和5厘米,那么這兩圓的圓心距等于_____厘米.16.從1,2,﹣3三個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)相乘,積是偶數(shù)的概率是_____.17.函數(shù)中,自變量的取值范圍是________.18.二次函數(shù)(其中m>0),下列命題:①該圖象過(guò)點(diǎn)(6,0);②該二次函數(shù)頂點(diǎn)在第三象限;③當(dāng)x>3時(shí),y隨x的增大而增大;④若當(dāng)x<n時(shí),都有y隨x的增大而減小,則.正確的序號(hào)是____________.三、解答題(共78分)19.(8分)如圖,將矩形沿折疊,使頂點(diǎn)恰好落在邊的處,點(diǎn)落在點(diǎn)處,交線段于點(diǎn).(1)求證:;(2)若是的中點(diǎn),,,求的長(zhǎng).20.(8分)如圖1:在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),試探索AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.小明同學(xué)的思路是這樣的:將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE,連接EC,DE.繼續(xù)推理就可以使問(wèn)題得到解決.(1)請(qǐng)根據(jù)小明的思路,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖2,在Rt△ABC中,AB=AC,D為△ABC外的一點(diǎn),且∠ADC=45°,線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系又是如何的,請(qǐng)證明你的結(jié)論;(3)如圖3,已知AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D是⊙O上的點(diǎn),且∠ADC=45°.①若AD=6,BD=8,求弦CD的長(zhǎng)為;②若AD+BD=14,求的最大值,并求出此時(shí)⊙O的半徑.21.(8分)如圖,已知⊙O的半徑為5cm,弦AB的長(zhǎng)為8cm,P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BP=2cm,求cosP的值.22.(10分)近期豬肉價(jià)格不斷走高,引起市民與政府的高度關(guān)注,當(dāng)市場(chǎng)豬肉的平均價(jià)格達(dá)到一定的單價(jià)時(shí),政府將投入儲(chǔ)備豬肉以平抑豬肉價(jià)格.(1)從今年年初至5月20日,豬肉價(jià)格不斷走高,5月20日比年初價(jià)格上漲了60%,某市民在今年5月20日購(gòu)買2.5千克豬肉至少要花100元錢,那么今年年初豬肉的最低價(jià)格為每千克多少元?(2)5月20日豬肉價(jià)格為每千克40元,5月21日,某市決定投入儲(chǔ)備豬肉,并規(guī)定其銷售價(jià)格在5月20日每千克40元的基礎(chǔ)上下調(diào)a%出售,某超市按規(guī)定價(jià)出售一批儲(chǔ)備豬肉,該超市在非儲(chǔ)備豬肉的價(jià)格仍為40元的情況下,該天的兩種豬肉總銷量比5月20日增加了a%,且儲(chǔ)備豬肉的銷量占總銷量的,兩種豬肉銷售的總金額比5月20日提高了,求a的值.23.(10分)如圖,有長(zhǎng)為14m的籬笆,現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度a為10m)圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃,設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm1.(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍;(1)要圍成面積為45m1的花圃,AB的長(zhǎng)是多少米?(3)當(dāng)AB的長(zhǎng)是多少米時(shí),圍成的花圃的面積最大?24.(10分)數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部,且、和中有兩個(gè)角相等,則稱是的“等角點(diǎn)”,特別地,若這三個(gè)角都相等,則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念(1)若點(diǎn)是的等角點(diǎn),且,則的度數(shù)是.(2)已知點(diǎn)在的外部,且與點(diǎn)在的異側(cè),并滿足,作的外接圓,連接,交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí),求證:是的等角點(diǎn).(要求:只選擇其中一道題進(jìn)行證明!)①如圖①,②如圖②,深入思考(3)如圖③,在中,、、均小于,用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).(不寫作法,保留作圖痕跡)(4)下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說(shuō)法:①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn);②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn);③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn);④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn),則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn),則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn),其中正確的有.(填序號(hào))25.(12分)如圖,四邊形OABC是平行四邊形,以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓交AB于D,延長(zhǎng)AO交⊙O于E,連接CD,CE,若CE是⊙O的切線,解答下列問(wèn)題:(1)求證:CD是⊙O的切線;(2)若BC=3,CD=4,求平行四邊形OABC的面積.26.俄羅斯世界杯足球賽期間,某商店銷售一批足球紀(jì)念冊(cè),每本進(jìn)價(jià)40元,規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元,且獲利不高于30%.試銷售期間發(fā)現(xiàn),當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí),每天可售出300本,銷售單價(jià)每上漲1元,每天銷售量減少10本,現(xiàn)商店決定提價(jià)銷售.設(shè)每天銷售量為y本,銷售單價(jià)為x元.(1)請(qǐng)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍;(2)當(dāng)每本足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)是多少元時(shí),商店每天獲利2400元?(3)將足球紀(jì)念冊(cè)銷售單價(jià)定為多少元時(shí),商店每天銷售紀(jì)念冊(cè)獲得的利潤(rùn)w元最大?最大利潤(rùn)是多少元?
參考答案一、選擇題(每題4分,共48分)1、C【分析】如圖作,F(xiàn)N∥AD,交AB于N,交BE于M.設(shè)DE=a,則AE=3a,利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可.【詳解】如圖作,F(xiàn)N∥AD,交AB于N,交BE于M.∵四邊形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∵FN∥AD,∴四邊形ANFD是平行四邊形,∵∠D=90°,∴四邊形ANFD是矩形,∵AE=3DE,設(shè)DE=a,則AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,∴MN=a,∴FM=a,∵AE∥FM,∴,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造平行線解決問(wèn)題,學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題,屬于中考??碱}型.2、A【分析】根據(jù)隨機(jī)事件是指在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,可得答案.【詳解】解:.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣次,可能有2次正面朝上,故本選項(xiàng)正確;.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣次,有可能有次正面朝上,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣次,有可能有次正面朝上,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;.?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣次,有可能有次正面朝上,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是隨機(jī)事件的概念,理解隨機(jī)事件的概念是解題的關(guān)鍵.3、C【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)周長(zhǎng)比等于相似比,進(jìn)而得出答案.【詳解】解:∵△ABC∽△A'B'C,AB=8,A'B'=6,∴△ABC與△A'B'C的周長(zhǎng)之比為:8:6=4:1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),正確得出相似比是解題關(guān)鍵.4、C【分析】由中位線可知DE∥BC,且DE=BC;可得△ADE∽△ABC,相似比為1:2;根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方,即得結(jié)果.【詳解】解:∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,且DE=BC,∴△ADE∽△ABC,相似比為1:2,∵相似三角形的面積比是相似比的平方,∴△ADE與△ABC的面積的比為1:4.故選C.【點(diǎn)睛】本題要熟悉中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì),牢記相似三角形的面積比是相似比的平方.5、A【分析】解分式方程可得且,再根據(jù)一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限,可得,結(jié)合可得,且,再根據(jù)是整數(shù)和是非負(fù)整數(shù)求出的所有值,即可求解.【詳解】經(jīng)檢驗(yàn),不是方程的解∴∵分式方程的解為非負(fù)整數(shù)∴解得且∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限∴解得∴,且∵是整數(shù)∴∵是非負(fù)整數(shù)故答案為:A.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一次函數(shù)的問(wèn)題,掌握解分式方程和解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵.6、B【分析】利用換元法解方程即可.【詳解】設(shè)=x,原方程變?yōu)椋海獾脁=3或-1,∵≥0,∴故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解一元二次方程,設(shè)=x,把原方程轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.7、C【分析】先把代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn),然后進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算,即可得到答案.【詳解】解:,∵,∴,∴點(diǎn)C符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn),無(wú)理數(shù)的估算,解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則,正確的進(jìn)行化簡(jiǎn).8、D【分析】由長(zhǎng)方形的面積公式可得出四邊形的面積為mn,再根據(jù)點(diǎn)Q在反比例函數(shù)圖象上,可知,從而可判斷面積的變化情況.【詳解】∵點(diǎn)∴四邊形的面積為,∵點(diǎn)()是反比例函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)∴四邊形的面積為定值,不會(huì)發(fā)生改變故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義,掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.9、D【分析】直接利用圓周角定理進(jìn)行判斷.【詳解】解:∵與都是所對(duì)的圓周角,∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.10、C【解析】試題分析:根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行解得2m﹣1=2,解得m=.故選C.考點(diǎn):一元二次方程的定義11、D【解析】由頻數(shù)=數(shù)據(jù)總數(shù)×頻率計(jì)算即可.【詳解】解:∵摸到白色球的頻率穩(wěn)定在85%左右,∴口袋中白色球的頻率為85%,故白球的個(gè)數(shù)為40×85%=34個(gè),∴口袋中紅色球的個(gè)數(shù)為40-34=6個(gè)故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率,難度適中.大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí),事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng),并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小,根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理,可以用頻率來(lái)估計(jì)概率,這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.12、A【分析】設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O,作⊥于,首先求出,當(dāng)P與重合時(shí),PQ的值最小,PQ的最小值=2.【詳解】設(shè)與AC交于點(diǎn)O,作⊥于,如圖所示:
在Rt△ABC中,∠BAC=90,∠ACB=45,
∴,∵四邊形PAQC是平行四邊形,
∴,∵⊥,∠ACB=45,∴,當(dāng)與重合時(shí),OP的值最小,則PQ的值最小,
∴PQ的最小值故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì),利用垂線段最短求線段的最小值是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每題4分,共24分)13、2或4【解析】設(shè)BP的長(zhǎng)為x,則CP的長(zhǎng)為(10-x),分別在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出AP2和DP2,然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出關(guān)于x的一元二次方程,解出x的值,即可得出AP的長(zhǎng).【詳解】解:如圖所示:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,BC=AD=10,DC=AB=4,設(shè)BP的長(zhǎng)為x,則CP的長(zhǎng)為(10-x),在Rt△ABP中,由勾股定理得:AP2=AB2+BP2=42+x2,在Rt△DCP中,由勾股定理得:DP2=DC2+CP2=42+(10-x)2,又∵∠APD=90°,在Rt△APD中,AD2=AP2+DP2,∴42+x2+42+(10-x)2=102,整理得:x2-10x+16=0,解得:x1=2,x2=8,當(dāng)BP=2時(shí),AP==;當(dāng)BP=8時(shí),AP==.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理及一元二次方程,學(xué)會(huì)利用方程的思想求線段的長(zhǎng)是關(guān)鍵.14、1【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以求得h的最大值,從而可以求得小球從拋出后運(yùn)動(dòng)4秒共運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).【詳解】解:∵h(yuǎn)=30t?5t2=?5(t?3)2+45(0≤t≤6),∴當(dāng)t=3時(shí),h取得最大值,此時(shí)h=45,∴小球從拋出后運(yùn)動(dòng)4秒共運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是:45+[45?(30×4?5×42)]=1(米),故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,求出相應(yīng)的路徑的長(zhǎng).15、1【解析】由兩圓的半徑分別為2和5,根據(jù)兩圓位置關(guān)系與圓心距d,兩圓半徑R,r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系和兩圓位置關(guān)系求得圓心距即可.【詳解】解:∵兩圓的半徑分別為2和5,兩圓內(nèi)切,∴d=R﹣r=5﹣2=1cm,故答案為1.【點(diǎn)睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系.解題的關(guān)鍵是掌握兩圓位置關(guān)系與圓心距d,兩圓半徑R,r的數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.16、【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)相乘,積是偶數(shù)的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.【詳解】解:畫樹狀圖得:∵共有6種等可能的結(jié)果,隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)相乘,積是偶數(shù)的有4種情況,∴隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)相乘,積是偶數(shù)的概率是;故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了用列表法或樹狀圖法求概率.列表法適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.17、【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0;可得關(guān)系式x﹣1≠0,求解可得自變量x的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意,有x﹣1≠0,解得:x≠1.故答案為:x≠1.【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件.掌握分式有意義的條件是分母不等于0是解答本題的關(guān)鍵.18、①④【分析】先將函數(shù)解析式化成交點(diǎn)時(shí)后,可得對(duì)稱軸表達(dá)式,及與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),由此可以判斷增減性.【詳解】解:,對(duì)稱軸為,①,故該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò),故正確;②,,該函數(shù)圖象頂點(diǎn)不可能在第三象限,故錯(cuò)誤;③,則當(dāng)時(shí),y隨著x的增大而增大,故此項(xiàng)錯(cuò)誤;④當(dāng)時(shí),即,y隨著x的增大而減小,故此項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題(共78分)19、(1)證明見解析;(2).【分析】(1)利用有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似證明即可;(2)先利用勾股定理求出的長(zhǎng),再利用(1)中相似,列比例式即可.【詳解】(1)證明:由題意可知,∴,,∴.∴.(2)∵是的中點(diǎn),,∴.在中由勾股定理得,解得:.由(1)得,∴,即,∴.【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定和勾股定理,掌握用兩組對(duì)應(yīng)角相等證兩個(gè)三角形相似、及折疊問(wèn)題中相等的邊和勾股定理求邊是解決此題的關(guān)鍵.20、(1)CD2+BD2=2AD2,見解析;(2)BD2=CD2+2AD2,見解析;(3)①7,②最大值為,半徑為【分析】(1)先判斷出∠BAD=CAE,進(jìn)而得出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,∠B=∠ACE,再根據(jù)勾股定理得出DE2=CD2+CE2=CD2+BD2,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=2AD2,即可得出結(jié)論;(2)同(1)的方法得,ABD≌△ACE(SAS),得出BD=CE,再用勾股定理的出DE2=2AD2,CE2=CD2+DE2=CD2+2AD2,即可得出結(jié)論;(3)先根據(jù)勾股定理的出DE2=CD2+CE2=2CD2,再判斷出△ACE≌△BCD(SAS),得出AE=BD,①將AD=6,BD=8代入DE2=2CD2中,即可得出結(jié)論;②先求出CD=7,再將AD+BD=14,CD=7代入,化簡(jiǎn)得出﹣(AD﹣)2+,進(jìn)而求出AD,最后用勾股定理求出AB即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)CD2+BD2=2AD2,理由:由旋轉(zhuǎn)知,AD=AE,∠DAE=90°=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,∠B=∠ACE,在Rt△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠ACE=45°,∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°,根據(jù)勾股定理得,DE2=CD2+CE2=CD2+BD2,在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2=2AD2,∴CD2+BD2=2AD2;(2)BD2=CD2+2AD2,理由:如圖2,將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AE,連接EC,DE,同(1)的方法得,ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE,在Rt△ADE中,AD=AE,∴∠ADE=45°,∴DE2=2AD2,∵∠ADC=45°,∴∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°,根據(jù)勾股定理得,CE2=CD2+DE2=CD2+2AD2,即:BD2=CD2+2AD2;(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD交DA的延長(zhǎng)線于E,∴∠DCE=90°,∵∠ADC=45°,∴∠E=90°﹣∠ADC=45°=∠ADC,∴CD=CE,根據(jù)勾股定理得,DE2=CD2+CE2=2CD2,連接AC,BC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=∠ADB=90°,∵∠ADC=45°,∴∠BDC=45°=∠ADC,∴AC=BC,∵∠DCE=∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,①AD=6,BD=8,∴DE=AD+AE=AD+BD=14,∴2CD2=142,∴CD=7,故答案為7;②∵AD+BD=14,∴CD=7,∴=AD?(BD+×7)=AD?(BD+7)=AD?BD+7AD=AD(14﹣AD)+7AD=﹣AD2+21AD=﹣(AD﹣)2+,∴當(dāng)AD=時(shí),的最大值為,∵AD+BD=14,∴BD=14﹣=,在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理得,AB=,∴⊙O的半徑為OA=AB=.【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的結(jié)合,關(guān)鍵在于熟記圓的性質(zhì)和三角形的性質(zhì).21、【分析】作OCAB于C點(diǎn),根據(jù)垂徑定理可得AC、CP的長(zhǎng)度,在OCA和OCP中,運(yùn)用勾股定理分別求出OC、OP的長(zhǎng)度,即可算得的值.【詳解】解:作OCAB于C點(diǎn),根據(jù)垂徑定理,AC=BC=4cm,∴CP=4+2=6cm,在OCA中,根據(jù)勾股定理,得,在OCP中,根據(jù)勾股定理,得,故.【點(diǎn)睛】本題主要考察了垂徑定理、勾股定理、求角的余弦值,解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用勾股定理求出圖形中部分線段的長(zhǎng)度.22、(1)1元;(2)a=2.【分析】(1)設(shè)今年年初豬肉價(jià)格為每千克x元;根據(jù)題意列出一元一次不等式,解不等式即可;(2)設(shè)5月2日兩種豬肉總銷量為1;根據(jù)題意列出方程,解方程即可.【詳解】解:(1)設(shè)今年年初豬肉價(jià)格為每千克x元;根據(jù)題意得:2.5×(1+60%)x≥100,解得:x≥1.答:今年年初豬肉的最低價(jià)格為每千克1元;(2)設(shè)5月2日兩種豬肉總銷量為1;根據(jù)題意得:40(1﹣a%)×(1+a%)+40×(1+a%)=40(1+a%),令a%=y,原方程化為:40(1﹣y)×(1+y)+40×(1+y)=40(1+y),整理得:,解得:y=0.2,或y=0(舍去),則a%=0.2,∴a=2.答:a的值為2.23、(1)S=﹣3x1+14x,≤x<8;(1)5m;(3)46.67m1【分析】(1)設(shè)花圃寬AB為xm,則長(zhǎng)為(14-3x),利用長(zhǎng)方形的面積公式,可求出S與x關(guān)系式,根據(jù)墻的最大長(zhǎng)度求出x的取值范圍;(1)根據(jù)(1)所求的關(guān)系式把S=2代入即可求出x,即AB;(3)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求出即可.【詳解】解:(1)根據(jù)題意,得S=x(14﹣3x),即所求的函數(shù)解析式為:S=﹣3x1+14x,又∵0<14﹣3x≤10,∴;(1)根據(jù)題意,設(shè)花圃寬AB為xm,則長(zhǎng)為(14-3x),∴﹣3x1+14x=2.整理,得x1﹣8x+15=0,解得x=3或5,當(dāng)x=3時(shí),長(zhǎng)=14﹣9=15>10不成立,當(dāng)x=5時(shí),長(zhǎng)=14﹣15=9<10成立,∴AB長(zhǎng)為5m;(3)S=14x﹣3x1=﹣3(x﹣4)1+48∵墻的最大可用長(zhǎng)度為10m,0≤14﹣3x≤10,∴,∵對(duì)稱軸x=4,開口向下,∴當(dāng)x=m,有最大面積的花圃.【點(diǎn)睛】二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用是本題的考點(diǎn),根據(jù)題目給出的條件,找出合適的等量關(guān)系,列出方程是解題的關(guān)鍵.24、(1)100、130或1;(2)選擇①或②,理由見解析;(3)見解析;(4)③⑤【分析】(1)根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義,分類討論即可;(2)①根據(jù)在同圓中,弧和弦的關(guān)系和同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明;②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對(duì)的圓周角相等作圖即可;(4)根據(jù)“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義,逐一分析判斷即可.【詳解】(1)(i)若=時(shí),∴==100°(ii)若時(shí),∴(360°-)=130°;(iii)若=時(shí),360°--=1°,綜上所述:=100°、130°或1°故答案為:100、130或1.(2)選擇①:連接∵∴∴∵,∴∴是的等角點(diǎn).選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形,∴∵∴∴是的等角點(diǎn)(3)作BC的中垂線MN,以C為圓心,BC的長(zhǎng)為半徑作弧交MN與點(diǎn)D,連接BD,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得:BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點(diǎn)O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓,交AD于點(diǎn)Q,圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°-∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=(360°-∠BQC)=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③,點(diǎn)即為所求.(4)③⑤.①如下圖所示,在RtABC中,∠ABC=90°,O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°,∠ACB=30°∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°,∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°,∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°-∠CAO-∠ACO=135°,∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=105°,∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC,故①錯(cuò)誤;②對(duì)于鈍角等腰三角形,它的外心在三角形的外部,不符合等角點(diǎn)的定義,故②錯(cuò)誤;③正三角形的每個(gè)中心角都為:360°÷3=120°,滿足強(qiáng)等角點(diǎn)的定義,所以正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn),故③正確;④由(3)可知,點(diǎn)Q為△ABC的強(qiáng)等角,但Q不在BC的中垂線上,故QB≠Q(mào)C,故④錯(cuò)誤;⑤由(3)可知,當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角都小于時(shí),必存在強(qiáng)等角點(diǎn).如圖④,在三個(gè)內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點(diǎn),連接、、,將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到,連接,∵由旋轉(zhuǎn)得,,∴是等邊三角形.∴∴∵、是定點(diǎn),∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí),最小,即最小.而當(dāng)為的強(qiáng)等角點(diǎn)時(shí),,此時(shí)便能保證、、、四點(diǎn)共線,進(jìn)而使最?。蚀鸢笧椋孩邰荩军c(diǎn)睛】此題考查的是新定義類問(wèn)題、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形綜合大題,掌握“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形中心角公式和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵.25、(1)證明見解析;(2)平行四邊形OABC的面積S=1【解析】試題分析:(1)連接OD,求出∠EOC=∠DO
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