2024年七年級數(shù)學(xué)下冊 第11章 因式分解11.3公式法 1用平方差公式分解因式教案（新版）冀教版

2024年七年級數(shù)學(xué)下冊第11章因式分解11.3公式法1用平方差公式分解因式教案（新版）冀教版課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教材分析《2024年七年級數(shù)學(xué)下冊》第11章因式分解中的11.3節(jié)，主要圍繞公式法分解因式展開，其中第一部分重點介紹平方差公式的應(yīng)用。本節(jié)內(nèi)容以冀教版教材為藍本，通過具體實例引導(dǎo)學(xué)生掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，并能熟練運用此公式進行因式分解。教材內(nèi)容貼合學(xué)生實際認(rèn)知水平，通過由淺入深的例題解析，幫助學(xué)生建立起平方差公式與因式分解之間的聯(lián)系，強化學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力及邏輯思維能力。教學(xué)內(nèi)容與先前學(xué)習(xí)的多項式乘法形成呼應(yīng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)更高層次的因式分解方法打下堅實基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力。通過平方差公式的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，使學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)表達式的結(jié)構(gòu)特征，提高數(shù)學(xué)抽象思維能力；在因式分解的推理過程中，鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠準(zhǔn)確、合理地進行數(shù)學(xué)論證；同時，強化數(shù)學(xué)運算技能，使學(xué)生能夠熟練運用平方差公式進行因式分解，提高解題效率。此外，通過問題發(fā)現(xiàn)、分析與解決的過程，激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與合作交流意識，培養(yǎng)其終身學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三、教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-核心知識：平方差公式的結(jié)構(gòu)及其在因式分解中的應(yīng)用。

-重點細(xì)節(jié)：

-平方差公式的記憶與理解：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

-識別可應(yīng)用平方差公式分解的因式特點，如二次多項式中含有一項平方項和一項常數(shù)項。

-掌握平方差公式在具體例題中的應(yīng)用步驟，如將二次多項式重寫為平方差形式，進而分解因式。

-能夠?qū)?fù)雜的二次多項式通過代數(shù)變形簡化為可應(yīng)用平方差公式的形式。

舉例解釋：例如，對于多項式x^2-4，學(xué)生需要能夠識別這是平方差公式的應(yīng)用場景，即x^2-2^2，從而分解為(x+2)(x-2)。

2.教學(xué)難點

-難點內(nèi)容：平方差公式的靈活應(yīng)用以及處理復(fù)雜多項式的變形技巧。

-難點細(xì)節(jié)：

-對于含有交叉項的二次多項式，如x^2+2xy-y^2，需要引導(dǎo)學(xué)生通過配方法將其轉(zhuǎn)化為可應(yīng)用平方差公式的形式。

-當(dāng)多項式中的平方項系數(shù)不為1時，如4x^2-9，學(xué)生需要學(xué)會先提取公因數(shù)，再應(yīng)用平方差公式。

-對于含有多個變量或多次方的多項式，如何正確識別并應(yīng)用平方差公式進行因式分解。

舉例解釋：例如，對于多項式4x^2-9，學(xué)生應(yīng)先提取公因數(shù)，得到(2x)^2-3^2，再應(yīng)用平方差公式分解為(2x+3)(2x-3)。這種變形和分解的過程是學(xué)生需要克服的難點。四、教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

-講授法：通過系統(tǒng)的講解，使學(xué)生掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征及其在因式分解中的應(yīng)用步驟。結(jié)合具體例題，引導(dǎo)學(xué)生理解公式背后的數(shù)學(xué)原理。

-討論法：組織學(xué)生進行小組討論，讓學(xué)生在交流中碰撞思維，共同探討如何識別并分解含平方差公式的因式，提高學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

-情境教學(xué)法：創(chuàng)設(shè)生活情境，讓學(xué)生在實際問題中感知平方差公式的應(yīng)用價值，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.教學(xué)手段

-多媒體設(shè)備：運用多媒體課件展示平方差公式及其應(yīng)用過程，通過動畫、圖表等形式，直觀地呈現(xiàn)因式分解的過程，幫助學(xué)生更好地理解知識點。

-教學(xué)軟件：利用教學(xué)軟件（如幾何畫板、MathType等）進行數(shù)學(xué)表達式的編輯和演示，使學(xué)生在操作實踐中掌握平方差公式的應(yīng)用。

-網(wǎng)絡(luò)資源：整合網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富的例題和練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，提高解題技巧。五、教學(xué)實施過程1.課前自主探索

-教師活動：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校在線平臺，發(fā)布包含平方差公式預(yù)習(xí)資料的PPT和講解視頻，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞平方差公式，設(shè)計問題，如“平方差公式是如何推導(dǎo)出來的？”和“你能找出哪些多項式可以用平方差公式分解？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進度：通過平臺統(tǒng)計數(shù)據(jù)和學(xué)生的在線提問，了解預(yù)習(xí)進度，確保學(xué)生為新課做好準(zhǔn)備。

-學(xué)生活動：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求，自主學(xué)習(xí)預(yù)習(xí)資料，初步理解平方差公式。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄自己的理解和解題思路。

提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將筆記、問題等預(yù)習(xí)成果提交至平臺。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺，實現(xiàn)資源共享和進度監(jiān)控。

-作用與目的：

使學(xué)生提前接觸平方差公式，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學(xué)生的獨立思考和自我學(xué)習(xí)能力。

2.課中強化技能

-教師活動：

導(dǎo)入新課：通過一個關(guān)于古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)平方差公式的故事，引起學(xué)生的興趣。

講解知識點：詳細(xì)講解平方差公式的結(jié)構(gòu)、應(yīng)用條件，通過具體例題使學(xué)生理解。

組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生共同探討如何將復(fù)雜多項式轉(zhuǎn)化為平方差形式。

解答疑問：及時解答學(xué)生在討論中提出的問題。

-學(xué)生活動：

聽講并思考：學(xué)生專注聽講，積極思考老師提出的問題。

參與課堂活動：在小組討論中，學(xué)生積極發(fā)言，共同解決難題。

提問與討論：針對不懂的問題，學(xué)生勇敢提問，參與課堂討論。

-教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過講解和實例，幫助學(xué)生掌握平方差公式。

實踐活動法：通過小組討論，提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

合作學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作和溝通技能。

-作用與目的：

加深學(xué)生對平方差公式的理解，掌握因式分解技能。

通過實踐活動，提高學(xué)生的問題解決能力。

通過合作學(xué)習(xí)，增強學(xué)生的團隊協(xié)作能力。

3.課后拓展應(yīng)用

-教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容，布置相關(guān)習(xí)題，鞏固平方差公式的應(yīng)用。

提供拓展資源：推薦相關(guān)數(shù)學(xué)網(wǎng)站和視頻，供學(xué)生深入學(xué)習(xí)。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生個性化反饋。

-學(xué)生活動：

完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，進行自我提升。

反思總結(jié)：學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，總結(jié)經(jīng)驗，提出改進方法。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：幫助學(xué)生通過反思，提高學(xué)習(xí)能力。

-作用與目的：

鞏固平方差公式的知識，提高解題技巧。

通過拓展學(xué)習(xí)，開闊學(xué)生視野。

通過反思總結(jié)，促進學(xué)生自我認(rèn)知和自我提升。六、教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-數(shù)學(xué)故事書：《數(shù)學(xué)家的故事》中關(guān)于平方差公式發(fā)現(xiàn)的歷史背景和過程，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的起源。

-數(shù)學(xué)期刊：選擇一些包含平方差公式及其拓展應(yīng)用的數(shù)學(xué)期刊文章，提高學(xué)生的學(xué)術(shù)視野。

-數(shù)學(xué)游戲：設(shè)計一些包含平方差公式的數(shù)學(xué)游戲，如數(shù)獨、拼圖等，讓學(xué)生在游戲中加深對平方差公式的理解。

-實際問題：收集一些生活中的實際問題，如面積計算、價格計算等，涉及平方差公式的應(yīng)用，增加學(xué)生對知識實用性的認(rèn)識。

2.拓展建議：

-鼓勵學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)故事書，了解平方差公式背后的歷史故事，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

-引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)期刊文章，拓展平方差公式的高級應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

-組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生在實踐中運用平方差公式，加深對知識點的理解和記憶。

-建議學(xué)生關(guān)注生活中的實際問題，嘗試運用平方差公式解決，提高學(xué)生的實際應(yīng)用能力。

-鼓勵學(xué)生開展小組合作，共同探討平方差公式在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如二次方程、二次函數(shù)等，促進學(xué)生的跨學(xué)科思維。

-提供一些具有挑戰(zhàn)性的習(xí)題，涉及平方差公式的綜合應(yīng)用，鼓勵學(xué)生自主探索和解決問題。七、重點題型整理1.題型1：識別并應(yīng)用平方差公式進行因式分解

-例題1：分解因式$x^2-4$

-答案：$x^2-4=(x+2)(x-2)$

-補充說明：這是一個典型的平方差公式應(yīng)用，其中$a=x$，$b=2$，直接應(yīng)用公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$進行因式分解。

2.題型2：通過提取公因數(shù)后應(yīng)用平方差公式進行因式分解

-例題2：分解因式$4x^2-9$

-答案：$4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x+3)(2x-3)$

-補充說明：這個題目中平方項的系數(shù)不是1，需要先提取公因數(shù)$4$，得到$(2x)^2-3^2$，再應(yīng)用平方差公式進行分解。

3.題型3：通過配方法將交叉項轉(zhuǎn)化為平方差公式進行因式分解

-例題3：分解因式$x^2+2xy-y^2$

-答案：$x^2+2xy-y^2=(x+y)^2-y^2=(x+y+y)(x+y-y)=(x+2y)(x)$

-補充說明：這個題目中含有一個交叉項$2xy$，需要通過配方法將其轉(zhuǎn)化為平方差形式，即$(x+y)^2-y^2$，再應(yīng)用平方差公式分解。

4.題型4：應(yīng)用平方差公式解決實際問題

-例題4：計算一個邊長為$a$的正方形的面積比邊長為$b$的正方形大多少，如果$a=5$，$b=3$。

-答案：面積差為$(5^2-3^2)=(25-9)=16$，即大$16$平方單位。

-補充說明：這個題目是一個實際應(yīng)用問題，通過平方差公式$a^2-b^2$來計算面積差。

5.題型5：利用平方差公式解決二次方程問題

-例題5：解方程$x^2-4=0$

-答案：$x^2-4=(x+2)(x-2)=0$，解得$x=-2$或$x=2$。

-補充說明：這個題目是利用平方差公式將二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一次方程的乘積形式，再求解得到$x$的值。八、教學(xué)反思與總結(jié)首先，我意識到在教學(xué)方法上，我采用了講授法和討論法相結(jié)合的方式，這有助于學(xué)生對平方差公式的理解和應(yīng)用。通過具體的例題和小組討論，學(xué)生能夠更好地理解和掌握平方差公式的應(yīng)用。然而，我也意識到在講解過程中，我可能過于注重公式的記憶，而忽視了學(xué)生對公式背后原理的理解。在今后的教學(xué)中，我需要更加注重引導(dǎo)學(xué)生理解公式的推導(dǎo)過程，而不僅僅是記憶公式本身。

其次，在教學(xué)策略上，我采用了多媒體設(shè)備和教學(xué)軟件來輔助教學(xué)，這有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。通過動畫和圖表的形式，學(xué)生能夠更直觀地理解平方差公式的應(yīng)用過程。然而，我也注意到在課堂活動中，有些學(xué)生可能因為缺乏實踐經(jīng)驗而感到困惑。在今后的教學(xué)中，我需要更加注重學(xué)生的實踐操作，提供更多的實際案例和練習(xí)，以便學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用平方差公式。

在教學(xué)管理方面，我注意到在課堂討論中，有些學(xué)生可能因為害羞或害怕犯錯而不愿意積極參與。為了解決這個問題，我需要創(chuàng)造一個更加開放和支持的學(xué)習(xí)環(huán)境，鼓勵學(xué)生勇敢提問和表達自己的觀點。同時，我也需要及時給予學(xué)生反饋和鼓勵，以增強他們的自信心和積極性。內(nèi)容邏輯關(guān)系①平方差公式的結(jié)構(gòu)：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

②平方差公式的應(yīng)用條件：適用于二次多項式中含有一項平方項和一項常數(shù)項的情況。

③平方差公式在因式分解中的應(yīng)用步驟：識別平方項和常數(shù)項，將其重寫為平方差形式，然后應(yīng)用公式進行分解。

2.重點詞：

①平方差公式

②因式分解

③應(yīng)用條件

④重寫

⑤分解

3.重點句：

①平方差公式是因式分解的重要工具。

②識別并重寫多項式為平方差形式是應(yīng)用