2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第17章 一元二次方程17.5 一元二次方程的應(yīng)用第2課時(shí) 面積問題與其他問題教案 （新版）滬科版

2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第17章一元二次方程17.5一元二次方程的應(yīng)用第2課時(shí)面積問題與其他問題教案（新版）滬科版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自于2023八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊第17章第5節(jié)“一元二次方程的應(yīng)用”，主要涉及面積問題與其他問題的解決方法。本節(jié)課是該章節(jié)的第2課時(shí)，重點(diǎn)講解如何利用一元二次方程解決實(shí)際問題，特別是面積問題。教材中提供了相關(guān)的例題和練習(xí)題，旨在幫助學(xué)生掌握一元二次方程在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

具體的教學(xué)內(nèi)容包括：

1.面積問題的基本概念和公式，如矩形、三角形和梯形的面積計(jì)算；

2.如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并運(yùn)用求解方法求解；

3.練習(xí)題的解答和分析，鞏固學(xué)生對(duì)一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容將緊密結(jié)合學(xué)生的實(shí)際生活，通過生動(dòng)的案例和練習(xí)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們解決實(shí)際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括：

1.邏輯推理：通過解決面積問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行邏輯推理的能力，使其能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；

2.數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為一元二次方程的能力，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決這些問題；

3.直觀想象：通過圖形和實(shí)際問題的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，使其能夠更好地理解和解決面積問題；

4.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學(xué)生收集、整理、分析實(shí)際問題數(shù)據(jù)的能力，并能夠運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行預(yù)測和判斷。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在八年級(jí)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，已經(jīng)掌握了代數(shù)基礎(chǔ)、方程求解、函數(shù)概念等知識(shí)。他們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元二次方程的基本概念和解法，對(duì)公式法、因式分解法等解題方法有一定的了解。此外，學(xué)生還學(xué)習(xí)了平面幾何中矩形、三角形和梯形等圖形的面積計(jì)算方法。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)用性會(huì)激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。他們在解決實(shí)際問題時(shí)，通常更關(guān)注結(jié)果的實(shí)際意義。在學(xué)習(xí)能力方面，學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析能力。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，他們更傾向于通過實(shí)際操作、合作交流的方式來學(xué)習(xí)新知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在解決面積問題和其他實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：一是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力不足，難以找到等量關(guān)系；二是對(duì)于一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用，學(xué)生可能缺乏直觀理解；三是學(xué)生在解決復(fù)雜實(shí)際問題時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)邏輯推理不嚴(yán)密、解題步驟不完整的情況。此外，部分學(xué)生可能對(duì)面積計(jì)算公式記憶不牢，需要在教學(xué)中加強(qiáng)鞏固。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，我將采用講授法、案例研究和項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)相結(jié)合的教學(xué)方法。講授法用于講解一元二次方程的基本概念和解法，案例研究則通過具體的面積問題引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)則鼓勵(lì)學(xué)生分組合作，共同解決復(fù)雜的實(shí)際問題。

2.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：為促進(jìn)學(xué)生參與和互動(dòng)，我將設(shè)計(jì)以下教學(xué)活動(dòng)：

a.角色扮演：讓學(xué)生扮演實(shí)際問題中的角色，如農(nóng)民、建筑師等，通過角色扮演的方式引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和解決問題。

b.實(shí)驗(yàn)：安排一次實(shí)驗(yàn)課，讓學(xué)生親自動(dòng)手測量和計(jì)算實(shí)際圖形的面積，從而加深對(duì)面積問題的理解。

c.游戲：設(shè)計(jì)一款與面積問題相關(guān)的數(shù)學(xué)游戲，讓學(xué)生在游戲中運(yùn)用一元二次方程解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

d.小組討論：組織學(xué)生分組討論，鼓勵(lì)他們分享解題思路和方法，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神。

3.教學(xué)媒體和資源：為支持教學(xué)活動(dòng)，我將使用以下教學(xué)媒體和資源：

a.PPT：制作精美的PPT，用于展示一元二次方程的解法和面積計(jì)算公式，幫助學(xué)生直觀地理解知識(shí)。

b.視頻：選取與面積問題相關(guān)的視頻資料，讓學(xué)生在觀看視頻中獲取實(shí)際案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

c.在線工具：引導(dǎo)學(xué)生使用在線數(shù)學(xué)工具，如計(jì)算器、繪圖軟件等，幫助他們更方便地解決問題。

d.練習(xí)題庫：提供一份豐富的練習(xí)題庫，包括不同難度的題目，以便針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求進(jìn)行分層訓(xùn)練。

e.實(shí)物模型：準(zhǔn)備一些實(shí)物模型，如矩形、三角形等，讓學(xué)生在操作模型過程中更好地理解面積問題。

f.課堂評(píng)價(jià)工具：設(shè)計(jì)一份簡潔實(shí)用的評(píng)價(jià)工具，用于收集學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)方法和內(nèi)容的反饋，以便及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

同學(xué)們，今天我們將要學(xué)習(xí)的是《一元二次方程的應(yīng)用》這一章節(jié)。在開始之前，我想先問大家一個(gè)問題：“你們在日常生活中是否遇到過需要計(jì)算面積的情況？”比如，假設(shè)你家的花園是一個(gè)矩形，你知道如何計(jì)算它的面積嗎？這個(gè)問題與我們將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容密切相關(guān)。通過這個(gè)問題，我希望能夠引起大家的興趣和好奇心，讓我們一同探索一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用。

二、新課講授（用時(shí)10分鐘）

1.理論介紹：首先，我們要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，它在解決面積問題和其他實(shí)際問題中起著重要作用。

2.案例分析：接下來，我們來看一個(gè)具體的案例。這個(gè)案例展示了如何利用一元二次方程解決矩形的面積問題。通過這個(gè)案例，我們將學(xué)習(xí)到如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)解析：在講授過程中，我會(huì)特別強(qiáng)調(diào)公式法和因式分解法這兩個(gè)重點(diǎn)。對(duì)于難點(diǎn)部分，我會(huì)通過舉例和比較來幫助大家理解。

三、實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

1.分組討論：學(xué)生們將分成若干小組，每組討論一個(gè)與面積問題相關(guān)的實(shí)際問題。

2.實(shí)驗(yàn)操作：為了加深理解，我們將進(jìn)行一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)操作。這個(gè)操作將演示如何利用一元二次方程計(jì)算矩形的面積。

3.成果展示：每個(gè)小組將向全班展示他們的討論成果和實(shí)驗(yàn)操作的結(jié)果。

四、學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

1.討論主題：學(xué)生將圍繞“一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用”這一主題展開討論。他們將被鼓勵(lì)提出自己的觀點(diǎn)和想法，并與其他小組成員進(jìn)行交流。

2.引導(dǎo)與啟發(fā)：在討論過程中，我將作為一個(gè)引導(dǎo)者，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題。我會(huì)提出一些開放性的問題來啟發(fā)他們的思考。

3.成果分享：每個(gè)小組將選擇一名代表來分享他們的討論成果。這些成果將被記錄在黑板上或投影儀上，以便全班都能看到。

五、總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

今天的學(xué)習(xí)，我們了解了一元二次方程的基本概念、重要性和應(yīng)用。同時(shí)，我們也通過實(shí)踐活動(dòng)和小組討論加深了對(duì)面積問題的理解。我希望大家能夠掌握這些知識(shí)點(diǎn)，并在日常生活中靈活運(yùn)用。最后，如果有任何疑問或不明白的地方，請(qǐng)隨時(shí)向我提問。教學(xué)資源拓展六、教學(xué)資源拓展

1.拓展資源：

（1）多媒體教學(xué)資源：可以為學(xué)生提供一些與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的多媒體教學(xué)資源，如教學(xué)視頻、動(dòng)畫等。這些資源可以幫助學(xué)生更直觀地理解一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用。

（2）網(wǎng)絡(luò)資源：可以為學(xué)生推薦一些優(yōu)秀的網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)論壇、博客等。這些資源可以為學(xué)生提供更多的學(xué)習(xí)資料和解題方法，幫助他們拓展知識(shí)面。

（3）數(shù)學(xué)競賽：可以鼓勵(lì)學(xué)生參加一些數(shù)學(xué)競賽，如奧數(shù)競賽等。這些競賽可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，培養(yǎng)他們的邏輯思維能力。

（4）數(shù)學(xué)閱讀材料：可以為學(xué)生提供一些與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)閱讀材料，如數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)歷史等。這些材料可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，自己尋找一些與一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用相關(guān)的案例，并進(jìn)行分析和解答。

（2）鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，提高他們的數(shù)學(xué)水平和解題能力。

（3）引導(dǎo)學(xué)生閱讀一些與數(shù)學(xué)相關(guān)的書籍、故事和歷史，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（4）可以組織學(xué)生進(jìn)行一些與數(shù)學(xué)相關(guān)的實(shí)踐活動(dòng)，如數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。這些活動(dòng)可以讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中，提高他們的實(shí)踐能力。

（5）鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，如小組討論、研究性學(xué)習(xí)等。通過合作學(xué)習(xí)，學(xué)生可以互相交流、互相啟發(fā)，從而提高他們的學(xué)習(xí)效果。

（6）為學(xué)生提供一些與本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的練習(xí)題和測試題，幫助他們鞏固所學(xué)知識(shí)。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了如何利用一元二次方程解決面積問題。通過講解和案例分析，我們了解了一元二次方程在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。在實(shí)踐活動(dòng)和小組討論中，我們通過合作和實(shí)驗(yàn)操作，進(jìn)一步加深了對(duì)一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用的理解。

課堂小結(jié)：

1.一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，它在解決面積問題和其他實(shí)際問題中起著重要作用。

2.解決面積問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行求解。

3.在解決實(shí)際問題時(shí)，我們要靈活運(yùn)用公式法、因式分解法等解題方法，同時(shí)注重邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。

當(dāng)堂檢測：

1.填空題：

（1）一元二次方程的一般形式是________。

（2）解決面積問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為________。

（3）在解決實(shí)際問題時(shí)，我們要靈活運(yùn)用________和________等解題方法。

2.選擇題：

（1）下列哪個(gè)選項(xiàng)是一元二次方程的正確解法？

A.直接開平方法

B.因式分解法

C.公式法

D.以上都是

（2）在解決面積問題時(shí)，我們通常先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為________方程。

A.一次

B.二次

C.三次

D.以上都可以

3.解答題：

（1）已知一個(gè)矩形的長是寬的兩倍，求該矩形的面積。

（2）一個(gè)三角形的底邊長為6cm，高為4cm，求該三角形的面積。

請(qǐng)同學(xué)們在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成檢測，我們將對(duì)答案進(jìn)行批改和講解。重點(diǎn)題型整理1.題型一：求解一元二次方程的根

（1）已知方程ax^2+bx+c=0，求解方程的根。

（2）已知方程的根為x1和x2，求解方程的判別式Δ=b^2-4ac。

（3）已知方程的根為x1和x2，求解方程的根與系數(shù)的關(guān)系。

答案：

（1）方程的根可以通過因式分解法、公式法等方法求解。

（2）判別式Δ=b^2-4ac，其中a、b、c為方程的系數(shù)。

（3）方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-\frac{a}，x1*x2=\frac{c}{a}。

2.題型二：一元二次方程的判別式

（1）已知方程ax^2+bx+c=0，求解方程的判別式Δ=b^2-4ac。

（2）根據(jù)方程的判別式Δ，判斷方程的根的情況（有實(shí)數(shù)根、無實(shí)數(shù)根、重根）。

（3）已知方程的根為x1和x2，求解方程的判別式Δ與根的關(guān)系。

答案：

（1）方程的判別式Δ=b^2-4ac，其中a、b、c為方程的系數(shù)。

（2）根據(jù)判別式Δ的值，判斷方程的根的情況。Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；Δ<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。

（3）方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-\frac{a}，x1*x2=\frac{c}{a}。

3.題型三：一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用

（1）已知一個(gè)矩形的長是寬的兩倍，求解該矩形的面積。

（2）已知一個(gè)三角形的底邊長為6cm，高為4cm，求解該三角形的面積。

（3）已知一個(gè)圓的直徑為10cm，求解該圓的面積。

答案：

（1）矩形的長為2a，寬為a，面積為S矩形=a*a=a^2。

（2）三角形的面積為S三角形=\frac{1}{2}*底邊*高=\frac{1}{2}*6cm*4cm=12cm^2。

（3）圓的半徑為r=\frac{直徑}{2}=\frac{10cm}{2}=5cm，面積為S圓=\pi*r^2=\pi*25cm^2。

4.題型四：一元二次方程的解與系數(shù)的關(guān)系

（1）已知方程ax^2+bx+c=0的根為x1和x2，求解根與系數(shù)的關(guān)系。

（2）已知方程的根為x1和x2，求解根與系數(shù)的關(guān)系在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

（3）已知一個(gè)矩形的長是寬的兩倍，求解矩形的面積與長和寬的關(guān)系。

答案：

（1）根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-\frac{a}，x1*x2=\frac{c}{a}。

（2）在實(shí)際問題中，可以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解方程的系數(shù)，從而解決實(shí)際問題。

（3）矩形的面積為S矩形=長*寬，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，長和寬的關(guān)系為：長=2*寬，所以矩形的面積與長和寬的關(guān)系為：S矩形=寬*寬=寬^2。

5.題型五：一元二次