三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）專題12 概率與統(tǒng)計（理）（解析版）

專題12概率與統(tǒng)計（理）考點三年考情（2022-2024）命題趨勢考點1：獨立性檢驗與回歸分析2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題從近三年的高考卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn)．隨著計算機技術(shù)和人工智能的發(fā)展，概率統(tǒng)計逐步成為應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)內(nèi)容之一．這部分內(nèi)容作為高考數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，會越來越受到重視．主要以應(yīng)用題的方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟、生活實際相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，并且運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題．考點2：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點3：信息圖表處理2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點4：頻率分布直方圖2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題考點5：概率最值問題2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題考點6：古典概型與幾何概型2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年天津高考數(shù)學(xué)真題2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題考點7：正態(tài)分布與相互獨立2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題考點8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題考點9：求離散型隨機變量的分布列與期望2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題考點10：概率遞推問題與概率綜合問題.2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題考點1：獨立性檢驗與回歸分析1．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？(2)估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）(3)是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)？（附：其中，．）【解析】（1）由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比，則估計該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為．（2）估計該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為．則估計該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.（3）由題列聯(lián)表如下：其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關(guān)．其中．．則零假設(shè)不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)．2．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進(jìn)行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，設(shè)為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)．【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為4．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān)？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【解析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點班次有240次，設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點事件為M，則；B共有班次240次，準(zhǔn)點班次有210次，設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點事件為N，則.A家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為；B家公司長途客車準(zhǔn)點的概率為.（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)合計A24020260B21030240合計45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點與客車所屬公司有關(guān).5．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）鳶是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)·大雅·旱麓》曰：“鳶飛戾天，魚躍余淵”.鳶尾花因花瓣形如鳶尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鳶尾花的花萼長度和花瓣長度（單位：cm），繪制散點圖如圖所示，計算得樣本相關(guān)系數(shù)為，利用最小二乘法求得相應(yīng)的經(jīng)驗回歸方程為，根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（

）A．花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系B．花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)C．花萼長度為7cm的該品種鳶尾花的花瓣長度的平均值為D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是【答案】C【解析】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，把代入可得，C選項正確；由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項錯誤故選：C6．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知氣候溫度和海水表層溫度相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是（

）A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢【答案】C【解析】對于AB，當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯誤.對于CD，因為相關(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，故C正確，D錯誤.故選：C.7．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.故選：A考點2：條件概率、全概率公式、貝葉斯公式8．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以9．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為．【答案】【解析】解法一：列舉法從五個活動中選三個的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲選到得概率為：；乙選活動有6種可能性：，其中再選則有3種可能性：，故乙選了活動，他再選擇活動的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動，他再選擇活動的概率為故答案為：；10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.【解析】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．11．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是．【答案】0.85【解析】由題意知，題庫的比例為：，各占比分別為，則根據(jù)全概率公式知所求正確率．故答案為：0.85．12．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為【答案】【解析】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.13．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4【答案】A【解析】同時愛好兩項的概率為，記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，所以.故選:.考點3：信息圖表處理14．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間【答案】C【解析】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯誤；對于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯誤；對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯誤.故選；C.15．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】B【解析】講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:B.考點4：頻率分布直方圖16．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)當(dāng)漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．【解析】（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得：，．（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，,故，所以在區(qū)間的最小值為．17．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12．故選：B.考點5：概率最值問題18．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？【解析】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.19．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用頻率估計概率．(1)試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計第次不變的概率最大.20．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.21．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（

）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為，則此時連勝兩盤的概率為則；記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，則記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為則則即，，則該棋手在第二盤與丙比賽，最大.選項D判斷正確；選項BC判斷錯誤；與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項A判斷錯誤.故選：D考點6：古典概型與幾何概型22．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為．【答案】.【解析】從正方體的個頂點中任取個，有個結(jié)果，這個點在同一個平面的有個，故所求概率．故答案為：．23．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】/0.3【解析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：24．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率.解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B25．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為區(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，則直線的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對應(yīng)的圓心角，結(jié)合對稱性可得所求概率.故選：C.26．（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.27．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結(jié)果如下表：乙甲123456123456共有36個不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個，因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個，概率.故選：A28．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點評】方法一：將抽出的卡片看成一個組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個排列，再利用古典概型的概率公式解出；29．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進(jìn)三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為．【答案】/【解析】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；乙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；丙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以，；記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球總共有個，白球共有個，所以，．故答案為：；．30．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為．【答案】【解析】從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：31．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.【答案】/0.5【解析】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，從而甲在該輪獲勝的概率，所以.從而.記.如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出2，4，6，8，所以；如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應(yīng)乙出8，2，4，6，所以.而的所有可能取值是0，1，2，3，故，.所以，，兩式相減即得，故.所以甲的總得分不小于2的概率為.故答案為：.32．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．【答案】24112【解析】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112考點7：正態(tài)分布與相互獨立33．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD34．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】/．【解析】因為，所以，因此．故答案為：．35．（多選題）（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依題可知，，所以，故，C正確，D錯誤；因為，所以，因為，所以，而，B正確，A錯誤，故選：BC．考點8：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、極差36．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：試驗序號12345678910伸縮率545533551522575544541568596548伸縮率536527543530560533522550576536記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．(1)求，；(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）【解析】（1），，，的值分別為:，故（2）由（1）知:，，故有,所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.37．（多選題）（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差