三年（2022–2024）高考數(shù)學真題分類匯編（全國）專題03 導數(shù)及其應用（原卷版）

專題03導數(shù)及其應用考點三年考情（2022-2024）命題趨勢考點1：切線問題2024年全國甲卷（理）、2023年全國甲卷（文）2024年全國Ⅰ卷、2022年全國II卷2022年全國I卷高考對導數(shù)及其應用的考查相對穩(wěn)定，屬于重點考查的內(nèi)容．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉(zhuǎn)化了．最終的落腳點一定是函數(shù)的單調(diào)性與最值，因為它們是導數(shù)永恒的主題．考點2：單調(diào)性、極最值問題2023年全國乙卷（文）2022年全國乙卷（理）2023年北京卷2024年全國Ⅰ卷、2024年全國Ⅱ卷2023年全國Ⅱ卷、2023年全國Ⅱ卷2022年全國乙卷（文）考點3：比較大小問題2022年全國甲卷（文）2022年全國甲卷（理）2022年全國I卷、2024年北京卷2024年天津卷2023年全國甲卷（文）、2023年天津卷考點4：恒成立與有解問題2024年新課標全國Ⅱ卷2023年全國甲卷（文）、2023年全國甲卷（理）2024年全國甲卷（理）、2024年全國Ⅰ卷考點5：極最值問題2023年全國乙卷（理）2023年北京卷2024年全國Ⅱ卷考點6：證明不等式2024年全國甲卷（文）、2023年天津卷2023年全國Ⅰ卷、2023年全國Ⅱ卷2022年全國II卷考點7：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）2022年全國甲卷（理）2022年北京卷、2022年天津卷2022年浙江卷、2024年天津卷考點8：零點問題2024年全國Ⅱ卷2023年全國乙卷（文）、2024年天津卷2024年全國甲卷（文）2023年天津卷、2022年天津卷2024年北京卷2022年全國乙卷（文）、2022年全國甲卷（文）2022年全國乙卷（理）、2022年全國I卷

考點1：切線問題1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）設函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.4．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．5．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．考點2：單調(diào)性、極最值問題6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．8．（2023年北京高考數(shù)學真題）設，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設，則；④設．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．9．（多選題）（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，10．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心11．（多選題）（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．12．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．考點3：比較大小問題14．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知，則（

）A． B． C． D．15．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知，則（

）A． B． C． D．16．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）設，則（

）A． B． C． D．17．（2024年北京高考數(shù)學真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個不同的點，則（

）A． B．C． D．18．（2024年天津高考數(shù)學真題）若，則的大小關系為（

）A． B． C． D．19．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．20．（2023年天津高考數(shù)學真題）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．考點4：恒成立與有解問題21．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．122．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．23．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．24．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．25．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．考點5：極最值問題26．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù).(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.27．（2023年北京高考數(shù)學真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．28．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．考點6：證明不等式29．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．30．（2023年天津高考數(shù)學真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線斜率；(2)求證：當時，；(3)證明：．31．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．32．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．33．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．考點7：雙變量問題（極值點偏移、拐點偏移）34．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．35．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．36．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．37．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）38．（2024年天津高考數(shù)學真題）設函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．考點8：零點問題39．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．240．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．（2024年天津高考數(shù)學真題）若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍為．42．（2024年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．43．（2023年天津高考數(shù)學真題）設,函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為．44．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）設，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為.45．（2024年北京高考數(shù)學真題）設函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點.(3)當時，設點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）46．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．47．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知函數(shù)