三年（2022–2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國(guó)）專題08 解三角形（解析版）

專題08解三角形考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用2023年天津高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年北京高考數(shù)學(xué)真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2024年天津高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題高考對(duì)本節(jié)的考查不會(huì)有大的變化，仍將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式的應(yīng)用為主．從近三年的全國(guó)卷的考查情況來(lái)看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主．考點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題考點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題考點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題考點(diǎn)5：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題2024年北京高考數(shù)學(xué)真題2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)6：解三角形中的幾何應(yīng)用2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)1：正余弦定理綜合應(yīng)用1．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，角所對(duì)的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都為銳角，因此，，．2．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.4．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據(jù)此可得，則.故選：C.5．（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中,內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選：C.6．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．【解析】（1）設(shè)，，則根據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，再根據(jù)正弦定理得，即，解得，法二：由余弦定理得，因?yàn)?，則（3）法一：因?yàn)?，且，所以，由?）法一知，因?yàn)?，則，所以，則，.法二：，則，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以7．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【解析】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)?，所以，故，又，所以，，而，所以，故．考點(diǎn)2：實(shí)際應(yīng)用8．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則(精確到0.1度)【答案】【解析】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因?yàn)?，得，利用?jì)算器即可得，故答案為：.9．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．【答案】.【解析】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?考點(diǎn)3：角平分線、中線、高問(wèn)題10．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.11．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因?yàn)?，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因?yàn)椋?，，又，所以，即．故答案為：．考點(diǎn)4：解三角形范圍與最值問(wèn)題12．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，．【答案】/【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.13．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋?，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．14．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)椋?，即；故選：D考點(diǎn)5：周長(zhǎng)與面積問(wèn)題15．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【解析】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)椋?，從而，又因?yàn)?，即，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.16．（2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)，則，顯然時(shí)，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點(diǎn)，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時(shí)，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬(wàn)能公式求解設(shè)，根據(jù)萬(wàn)能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長(zhǎng)為17．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，，．(1)求；(2)從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）由題意得，因?yàn)闉殁g角，則，則，則，解得，因?yàn)闉殁g角，則.（2）選擇①，則，因?yàn)?，則為銳角，則，此時(shí)，不合題意，舍棄；選擇②，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則代入得，解得，,則.選擇③，則有，解得，則由正弦定理得，即，解得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則，則18．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，即，所以；?）因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.19．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【解析】（1）因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.20．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得：．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．21．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積.【解析】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.22．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解析】（1）由于，，則．因?yàn)?，由正弦定理知，則．（2）因?yàn)?，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．23．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【解析】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.考點(diǎn)6：解三角形中的幾何應(yīng)用24．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記