高考數(shù)一輪復習 4.4數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入講解與練習 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第四節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入)[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解復數(shù)的基本概念，理解復數(shù)相等的充要條件．2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法和幾何意義，會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算．3.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.1.以選擇題的形式考查復數(shù)的概念及其幾何意義，如年北京T3，江西T5等．2.以選擇題或填空題的形式考查復數(shù)的代數(shù)運算，特別是除法運算，如年新課標全國T3，山東T1，浙江T2等.[歸納·知識整合]1．復數(shù)的有關概念內(nèi)容意義備注復數(shù)的概念設a，b都是實數(shù)，形如a＋bi的數(shù)叫復數(shù)，其中實部為a，虛部為b，i叫做虛數(shù)單位若b＝0，則a＋bi是實數(shù)，若b≠0，則a＋bi是虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi是純虛數(shù)復數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共軛復數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)復平面建立平面直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面，x軸叫實軸，y軸叫虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)復數(shù)的模向量的長度叫做復數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)[探究]1.復數(shù)a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0嗎？提示：不是，a＝0是a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的必要條件，只有當a＝0，且b≠0時，a＋bi才為純虛數(shù)．2．復數(shù)的幾何意義復數(shù)z＝a＋bi與復平面內(nèi)的點Z(a，b)與平面向量(a，b∈R)是一一對應的關系．3．復數(shù)的運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數(shù)的加法的運算定律復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)復數(shù)的乘法的運算定律復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.[探究]2.z1、z2是復數(shù)，z1－z2>0，那么z1>z2，這個命題是真命題嗎？提示：假命題．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－z2＝3>0，但z1>z2無意義，因為虛數(shù)無大小概念．3．若z1，z2∈R，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0，此命題對z1，z2∈C還成立嗎？提示：不一定成立．比如z1＝1，z2＝i滿足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0.但z1≠0，z2≠0.[自測·牛刀小試]1．(教材習題改編)復數(shù)z＝(2－i)i在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選Az＝(2－i)i＝2i－i2＝1＋2i故復數(shù)z＝(2－i)i在復平面內(nèi)對應的點為(1,2)，位于第一象限．2．(教材習題改編)復數(shù)eq\f(2＋i,1－2i)的共軛復數(shù)是()A．i B．－iC.eq\f(3,5)i D．－eq\f(3,5)i解析：選B∵eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(5i,5)＝i，∴其共軛復數(shù)為－i.3．(·安徽高考)復數(shù)z滿足(z－i)i＝2＋i，則z＝()A．－1－i B．1－iC．－1＋3i D．1－2i解析：選B設z＝a＋bi，則(z－i)i＝－b＋1＋ai＝2＋i，由復數(shù)相等的概念可知，－b＋1＝2，a＝1，所以a＝1，b＝－1.4．已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)其中i為虛數(shù)單位，則a＋b＝________.解析：根據(jù)已知可得eq\f(a＋2i,i)＝b＋i?2－ai＝b＋i?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,a＝－1.))從而a＋b＝1.答案：15．設a是實數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是實數(shù)，則a＝________.解析：eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a－ai,2)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a＋1＋1－ai,2)為實數(shù)，故1－a＝0，即a＝1.答案：1復數(shù)的有關概念[例1](1)設i是虛數(shù)單位，復數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實數(shù)a為()A．2 B．－2C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)(2)(·江西高考)若復數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，eq\x\to(z)是z的共扼復數(shù)，則z2＋eq\x\to(z)2的虛部為()A．0 B．－1C．1 D．－2[自主解答](1)若eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a＋2a＋1i,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＝0，,2a＋1≠0，))故a＝2.(2)∵z2＋eq\x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋eq\x\to(z)2的虛部為0.[答案](1)A(2)A若本例(1)中eq\f(1＋ai,2－i)為實數(shù)，則a為何值？解：若eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i為實數(shù)，則eq\f(2a＋1,5)＝0，即a＝－eq\f(1,2).———————————————————解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．1．(1)已知0＜a＜2，復數(shù)z的實部為a，虛部為1，則|z|的取值范圍是()A．(1,5) B．(1,3)C．(1,eq\r(5)) D．(1,eq\r(3))(2)設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，則z－eq\o(z,\s\up6(－))為()A．實數(shù) B．純虛數(shù)C．0 D．零或純虛數(shù)解析：(1)選C由題意，z＝a＋i，故|z|＝eq\r(a2＋1)，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，從而1＜eq\r(a2＋1)＜eq\r(5)，即1＜|z|＜eq\r(5).(2)選D∵z－eq\o(z,\s\up6(－))＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，當b＝0時，z－eq\o(z,\s\up6(－))為0；當b≠0時，z－eq\o(z,\s\up6(－))為純虛數(shù)．復數(shù)的幾何意義[例2](1)(·北京高考)在復平面內(nèi)，復數(shù)eq\f(10i,3＋i)對應的點的坐標為()A．(1,3) B．(3,1)C．(－1,3) D．(3，－1)(2)(·東營模擬)若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)eq\f(z,1＋i)的點是()A．E B．FC．G D．H[自主解答](1)由eq\f(10i,3＋i)＝eq\f(10i3－i,3＋i3－i)＝eq\f(101＋3i,10)＝1＋3i得，該復數(shù)對應的點為(1,3)．(2)依題意得z＝3＋i，eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，該復數(shù)對應的點的坐標是(2，－1)．[答案](1)A(2)D———————————————————復數(shù)所對應點的坐標的特點(1)實數(shù)、純虛數(shù)的對應點分別在實軸和虛軸上；(2)若實部為正且虛部為正，則復數(shù)對應點在第一象限；(3)若實部為負且虛部為正，則復數(shù)對應點在第二象限；(4)若實部為負且虛部為負，則復數(shù)對應點在第三象限；(5)若實部為正且虛部為負，則復數(shù)對應點在第四象限；(6)此外，若復數(shù)的對應點在某些曲線上，還可寫出代數(shù)形式的一般表達式．如：若復數(shù)z的對應點在直線x＝1上，則z＝1＋bi(b∈R)；若復數(shù)z的對應點在直線y＝x上，則z＝a＋ai(a∈R)，這在利用復數(shù)的代數(shù)形式解題中能起到簡化作用．2．復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，C，若∠BAC是鈍角，求實數(shù)c的取值范圍．解：在復平面內(nèi)三點坐標分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c－6)，由∠BAC是鈍角得·<0，且A，B，C不共線，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>eq\f(49,11).其中當c＝9時，＝(6,8)＝－2，此時A，B，C三點共線，故c≠9.所以c的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(c\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(c>\f(49,11)，且c≠9)))).復數(shù)的運算[例3](1)(·山東高考)若復數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，則z為()A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i(2)(·江蘇高考)設a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b的值為________．[自主解答](1)由題意知z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.(2)∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i＝a＋bi，∴a＋b＝8.[答案](1)A(2)8在本例(1)中，試求(1＋z)·eq\x\to(z)的值．解：∵z＝3＋5i，∴eq\x\to(z)＝3－5i∴(1＋z)·eq\x\to(z)＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i＋15i＋25＝37－5i.———————————————————復數(shù)的代數(shù)運算技巧復數(shù)的四則運算類似于多項式的四則運算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類，不含i的看作另一類，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運算過程中，要熟悉i的特點及熟練應用運算技巧．3．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．設z＝z1－z2，且z＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，又z＝13－2i，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－3y＝13，,x＋4y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))于是，z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.1個分類——復數(shù)的分類對復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，當b＝0時，z為實數(shù)；當b≠0時，z為虛數(shù)；當a＝0，b≠0時，z為純虛數(shù)．2個技巧——復數(shù)的運算技巧(1)設z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復數(shù)相等和相關性質(zhì)將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的常用方法．(2)在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，加、減、乘運算按多項式運算法則進行，除法則需分母實數(shù)化．3個結論——復數(shù)代數(shù)運算中常用的幾個結論在進行復數(shù)的代數(shù)運算時，記住以下結論，可提高計算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.創(chuàng)新交匯——復數(shù)命題新動向1．復數(shù)多以客觀題的形式考查復數(shù)的概念及運算，也經(jīng)常將復數(shù)的基本概念與基本運算相結合，復數(shù)冪的運算與復數(shù)除法相結合，復數(shù)的基本運算與復數(shù)的幾何意義相結合，復數(shù)與方程相結合，復數(shù)與集合相結合等形成交匯命題．2．解決此類問題的關鍵是把握復數(shù)的有關概念，根據(jù)復數(shù)的運算法則準確進行化簡運算．[典例](·陜西高考)設集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx－\f(1,i)＜\r(2)，i為虛數(shù)單位，x∈R))，則M∩N為()A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1][解析]對于集合M，函數(shù)y＝|cos2x|，其值域為[0,1]，所以M＝[0,1]．根據(jù)復數(shù)模的計算方法得不等式eq\r(x2＋1)＜eq\r(2)，即x2＜1，所以N＝(－1,1)，則M∩N＝[0,1)．正確選項為C.[答案]Ceq\a\vs4\al([名師點評])1．本題具有以下創(chuàng)新點不同于以往的復數(shù)高考題，不是單獨考查復數(shù)的基本知識，而是和三角函數(shù)、不等式、集合相交匯出題，綜合性較大，是高考題的一個新動向．2．解決本題的關鍵有以下幾點(1)弄清集合的元素．集合M為函數(shù)的值域，集合N為不等式的解集，把M、N具體化．(2)正確識別eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,i)))為復數(shù)的模，而非實數(shù)的絕對值．eq\a\vs4\al([變式訓練])1．(·上海高考)若1＋eq\r(2)i是關于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個復數(shù)根，則()A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1解析：選B由于1＋eq\r(2)i是關于x的實系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個根，則(1＋eq\r(2)i)2＋b(1＋eq\r(2)i)＋c＝0，整理得(b＋c－1)＋(2eq\r(2)＋eq\r(2)b)i＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋\r(2)b＝0，,b＋c－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝3.))2．已知定義在復數(shù)集C上的函數(shù)滿足f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x3x∈R，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋i)))x?R，))則f(f(1－i))等于________．解析：由已知得f(1－i)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2i,2)))＝|－i|＝1，故f(1)＝1＋13＝2，即f(f(1－i))＝2.答案：2一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．(·陜西高考)設a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則“ab＝0”是“復數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B復數(shù)a＋eq\f(b,i)＝a－bi為純虛數(shù)，則a＝0，b≠0；而ab＝0表示a＝0或者b＝0，故“ab＝0”是“復數(shù)a＋eq\f(b,i)為純虛數(shù)”的必要不充分條件．2．(·新課標全國卷)下面是關于復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共軛復數(shù)為1＋i,p4：z的虛部為－1.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4解析：選C∵復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共軛復數(shù)為－1＋i，z的虛部為－1，綜上可知p2，p4是真命題．3．已知f(x)＝x2，i是虛數(shù)單位，則在復平面中復數(shù)eq\f(f1＋i,3＋i)對應的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選Af(1＋i)＝(1＋i)2＝2i，則eq\f(f1＋i,3＋i)＝eq\f(2i,3＋i)＝eq\f(2＋6i,10)＝eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，故對應點在第一象限．4．(·臨汾模擬)復數(shù)z＝i(i＋1)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：選A∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴z的共軛復數(shù)是－1－i.5．若(x－i)i＝y(tǒng)＋2i，x，y∈R，則復數(shù)x＋yi＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：選B由(x－i)i＝y(tǒng)＋2i得xi＋1＝y(tǒng)＋2i.∵x，y∈R，∴x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.6．若復數(shù)z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則eq\f(1,z＋a)的虛部為()A．－eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)iC.eq\f(2,5) D.eq\f(2,5)i解析：選A由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a＋1≠0，))所以a＝1，所以eq\f(1,z＋a)＝eq\f(1,1＋2i)＝eq\f(1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，根據(jù)虛部的概念，可得eq\f(1,z＋a)的虛部為－eq\f(2,5).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．(·湖北高考)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.解析：由eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(3－b＋3＋bi,2)＝a＋bi，得a＝eq\f(3－b,2)，b＝eq\f(3＋b,2)，解得b＝3，a＝0，所以a＋b＝3.答案：38．i為虛數(shù)單位，eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝________.解析：eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝－i＋i－i＋i＝0.答案：09．已知復數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，則實數(shù)x的取值范圍是________．解析：∵x為實數(shù)，∴x2－6x＋5和x－2都是實數(shù)．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋5＜0，,x－2＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜5，,x＜2，))即1＜x＜2.故x的取值范圍是(1,2)．答案：(1,2)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．計算：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)；(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)；(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)；(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2).解：(1)eq\f(－1＋i2＋i,i3)＝eq\f(－3＋i,－i)＝－1－3i.(2)eq\f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i2－i,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(3)eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(1＋i,－2)＋eq\f(－1＋i,2)＝－1.(4)eq\f(1－\r(3)i,\r(3)＋i2)＝eq\f(\r(3)＋i－i,\r(3)＋i2)＝eq\f(－i,\r(3)＋i)＝eq\f(－i\r(3)－i,4)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i.11．實數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)與復數(shù)2－12i相等；(2)與復數(shù)12＋16i互為共軛復數(shù)；(3)對應的點在x軸上方．解：(1)根據(jù)復數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝2，,m2－2m－15＝－12.))解之得m＝－1.(2)根據(jù)共軛復數(shù)的定義得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝12，,m2－2m－15＝－16.))解之得m＝1.(3)根據(jù)復數(shù)z對應點在x軸上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.12．復數(shù)z1＝eq\f(3,a＋5)＋(10－a2)i，z2＝eq\f(2,1－a)＋(2a－5