小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解練習(xí)試題附答案

小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第1課《速算與巧算1》試題附答案

一、加法中的巧算

1.什么叫“補數(shù)”？

兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個

數(shù)的“補數(shù)”。

如：1+9=10,3+7=10,

2+8=10,4+6=10)

5+5=10。

又如：11+89=100,33+67=100,

22+78=100,44+56=100,

55+45=100,

在上面算式中，1叫9的“補數(shù)”；89叫11的“補數(shù)”，11也叫89的“補數(shù)”.也就是

說兩個數(shù)互為“補數(shù)”。

對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”

數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9,到最后個位數(shù)字相加得10。

如：87655fl2345,46802^53198,

87362fl2638,…

下面講利用“補數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。

2.互補數(shù)先加。

例1巧算下面各題：

①36+87+64②99+136+101

③1361+972+639+28

3.拆出補數(shù)來先加。

例2①188+873②548+996③9898+203

4.豎式運算中互補數(shù)先加。

二、減法中的巧算

1.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。

例3①300-73-27

②1000-90-80-20-10

2.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。

例4①4723-(723+189)

②2356-159-256

3.利用“補數(shù)”把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運算(注意把多加的數(shù)再減

去，把多減的數(shù)再加上)。

例5①506-397

②323-189

③467+997

(4)987-178-222-390

三、加減混合式的巧算

1.去括號和添括號的法則

在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則不論去掉括號或添上括號，括

號里面的運算符號都不變；如果括號前面是號，則不論去掉括號或添上括號，括號里

面的運算符號都要改變，“+”變變“+”，即:

a+(b+c+d)=a+b+c+d

a-(b+a+d)=a-b-c-d

a-(b-c)=a-b+c

例6①100+(10+20+30)

②100-(10+20+30)

③100-(30-10)

例7計算下面各題：

①100+10+20+30

②100-10-20-30

③100-30+10

2.帶符號“搬家”

例8計算325+46-125+54

3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消”掉

例9計算9+2-9+3

4.找“基準(zhǔn)數(shù)”法

幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”。

例10計算78+76+83+82+77+80+79+85

=640

習(xí)題一一、直接寫出計算結(jié)果：

①1000-547

②100000-85426

③111111111100(X)000000-1111111111

④78053000000-78053

二、用簡便方法求和：

①536+(541+464)+459

②588+264+148

③8996+3458+7546

@567+558+562+555+563

三、用簡便方法求差：

①1870-280-520

②4995-(995-480)

③4250-294+94

④1272-995

四、用簡便方法計算下列各題：

①478-128+122-72

②464-545+99+345

(3)537-(543-163)-57

④947+(372-447)-572

五、巧算下列各題：

①996+599-402

②7443+2485+567+245

③2000-1347-253+1593

@3675-(11+13+15+17+19)

答案

一、加法中的巧算

1.什么叫“補數(shù)”？

兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另一個

數(shù)的“補數(shù)”。

如：1+9=10,3+7=10,

2+8=10,4+6=10,

5+5=10。

又如：11+89=100,33+67=100,

22+78=100,44+56=100,

55+45=100,

在上面算式中，1叫9的“補數(shù)”；89叫11的“補數(shù)”，11也叫89的“補數(shù)”.也就是

說兩個數(shù)互為“補數(shù)”。

對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”

數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9,到最后個位數(shù)字相加得10。

如：87655-12345,46802-53198,

87362-12638,…

下面講利用“補數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。

2.互補數(shù)先加。

例1巧算下面各題：

①36+87+64②99+136+101

③1361+972+639+28

解；①式=(36+64)+87

=100+87=187

②式=(99+101)+136

=200+136=336

③式=(1361+639)+(972+28)

=2000+1000=3000

3.拆出補數(shù)來先加。

例2①188+873②548+996③9898+203

解:①式=(188+12)+(873-12)(熟練之后，此步可略)

=200+861=1061

②式=(548-4)+(996+4)

=544+1000=1544

③式=(9898+102)+(203-102)

=10000+101=10101

4.豎式運算中互補數(shù)先加。

二、減法中的巧算

1.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。

例3①300-73-27

②1000-90-80-20-10

解：①式=300-(73+27)

=300-100=200

②式=1000-(90+80+20+10)

=1000-200=800

2.先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。

例4①4723-(723+189)

②2356-159-256

解：①式=4723-723-189

=4000-189=3811

②式=2356-256-159

=2100-159

=1941

3.利用“補數(shù)”把接近整十、整百、整千…的數(shù)先變整，再運算(注意把多加的數(shù)再減

去，把多減的數(shù)再加上)。

例5①506-397

②323-189

③467+997

?987-178-222-390

解：①式=500+6-400+3(把多減的3再加上)

=109

②式=323-200+11(把多減的11再加上)

=123+11=134

③式=467+1000-3(把多加的3再減去)

=1464

④式二987-(178+222)-390

=987-400-400+10=197

三、加減混合式的巧算

1.去括號和添括號的法則

在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則不論去掉括號或添上括號，括

號里面的運算符號都不變；如果括號前面是號，則不論去掉括號或添上括號，括號里

面的運算符號都要改變，“+”變變“+”，即：

a+(b+c+d)=a+b+c+d

a-(b+a+d)=a-b-c-d

a-(b-c)=a-b+c

例6①100+(10+20+30)

②100-(10+20+30)

③100-(30-10)

解：①式=100+10+20+30

=160

②式=100-10-20-30

=40

③式=100-30+10

=80

例7計算下面各題：

①100+10+20+30

②100-10-20-30

③100-30+10

解：①式=100+(10+20+30)

=100+60=160

②式=100-(10+20+30)

=100-60=40

③式=100-(30-10)

=100-20=80

2.帶符號“搬家”

例8計算325+46-125+54

解：原式=325-125+46+54

=(325-125)+(46+54)

=200+100=300

注意：每個數(shù)前面的運算符號是這個數(shù)的符號.如+46,-125,+54.而325前面雖然沒有

符號，應(yīng)看作是+325。

3.兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消”掉

例9計算9+2-9+3

解：原式=9-9+2+3=5

4.找“基準(zhǔn)數(shù)”法

幾個比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”。

例10計算78+76+83+82+77+80+79+85

=640

解原式二80x8-2-4+3+2-3+0-1+5

習(xí)題一一、直接寫出計算結(jié)果:

①1000-547

②100000-85426

(3)11111111110000000000-1111111111

④78053000000-78053

二、用簡便方法求和：

①536+(541+464)+459

②588+264+148

③8996+3458+7546

④567+558+562+555+563

三、用簡便方法求差：

①1870-280-520

②4995-(995-480)

③4250-294+94

④1272-995

四、用簡便方法計算下列各題：

①478-128+122-72

②464-545+99+345

③537-(543-163)-57

④947+(372-447)-572

五、巧算下列各題：

①996+599-402

②7443+2485+567+245

③2000-1347-253+1593

@3675-(11+13+15+17+19)

習(xí)題一解答一、直接寫出計算結(jié)果：

①1000-547=453

②100000-85426=14574

③11111111110000(X)0000-1111111111

=11111111108888888889

④78053000000-78053=78052921947

此題主要是練習(xí)直接寫出“補數(shù)”的方法：從最高位寫起，其各位數(shù)字用“湊九”

而得，最后個位湊10而得。

二、用簡便方法求和：

①536+(541+464)+459

=(536+464)+(541+459)

=2000

②588+264+148

=588+(12+252)+148

=(588+12)+(252+148)

=600+400

=1000

③8996+3458+7546

=(8996+4)+(3454+7546)

=9000+11000(把3458分成4和=9000+110003454)

=20000

(4)567+558+562+555+563

=560X5+(7-2+2-5+3)(以560為基準(zhǔn)數(shù))

=2800+5=2805

三、用簡便方法求差：

①1870-280-520

=1870-(280+520)

=1870-800

=1070

②4995-(995-480)

=4995-995+480

=4000+480=4480

③4250-294+94

=4250-(294-94)

=4250-200=4050

(4)1272-995

=1272-1000+5

=277

四、用簡便方法計算加減混合運算：

①478-128+122-72

=(478+122)-(128+72)

=600-200

=400

②464-545+99+345

=464-(545-345)+100-1

=464-200+100-1

=363

③537-(543-163)-57

=537-543+163-57

=(537+163)-(543+57)

=700-600

=100

④947+(372-447)-572

=947+372-447-572

=(947-447)-(572-372)

=500-200

=300

五、巧算下列各題：

?996+599-402=1193

②7443+2485+567+245=10740

③2000-1347-253+1593=1993

@3675-(11+13+15+17+19)=3600

小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第2課《速算與巧算2》試題附答案

第二講速算與巧算（二）

一、乘法中的巧算

1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個

特殊的等式：

5X2=10

25X4=100

125X8=1000

例1計算①123X4X25

②125X2X8X25X5X4

2.分解因數(shù)，湊整先乘。

例2計算①24X25

②56X125

③125X5X32X5

3.應(yīng)用乘法分配律。

例3計算①175X34+175X66

②67X12+67X35+67X52+6

例4計算①123X101②123X99

4.幾種特殊因數(shù)的巧算。

例5一個數(shù)XI0,數(shù)后添0；

一個數(shù)X100,數(shù)后添00；

一個數(shù)X1000,數(shù)后添000

例6一個數(shù)X9,數(shù)后添0,再減此數(shù)；

一個數(shù)X99,數(shù)后添00,再減此數(shù)?

一個數(shù)X999,數(shù)后添000,再減此數(shù)；

以匕類推。

例7一個偶數(shù)乘以5,可以除以2添上0。

答案

第二講速算與巧算（二）

一、乘法中的巧算

1.兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個

特殊的等式：

5X2=10

25X4=100

125X8=1000

例1計算①123X4X25

②125X2X8X25X5X4

解：①式=123X（4X25）

=123X100=12300

②式=（125X8）X（25X4）X（5X2）

=1000X100X10=1000000

2.分解因數(shù)，湊整先乘。

例2計算①24X25

②56X125

③125X5X32X5

解：①式=6X（4X25）

=6X100=600

②式=7X8X125=7X（8X125）

=7X1000=7000

③式二125X5X4><8X5=（125X8）X（5X5X4）

=1000X100=100000

3.應(yīng)用乘法分配律。

例3計算①175X34+175X66

②67X12+67X35+67X52+6

解：①式=175X（34+66）

=175X100=17500

②式=67X（12+35+52+1）

=67X100=6700

（原式中最后一項67可看成67X1）

例4計算①123X101②123X99

解:①式二123X（100+1）=123X100+123

=12300+123=12423

②式=123X(100-1)

=12300-123=12177

4.幾種特殊因數(shù)的巧算。

例5一個數(shù)義10,數(shù)后添0；

一個數(shù)X100,數(shù)后添00；

一個數(shù)X1000,數(shù)后添000；

①匕類推。

如：15X10=150

15X100=1500

15X1000=15000

例6一個數(shù)X9,數(shù)后添0,再減此數(shù)；

一個數(shù)X99,數(shù)后添00,再減此數(shù)；

一個數(shù)X999,數(shù)后添000,再減此數(shù)

皿匕類推。

如：12X9=120-12=108

12X99=1200-12=1188

12X999=12000-12=11988

例7一個偶數(shù)乘以5,可以除以2添上0。

如：6X5=30

16X5=80

116X5=580。

習(xí)題二

一、用簡便方法求積：

①17X100

②1112X5

③23X9

④23X99

⑤12345X11

?56789X11

⑦36X15

二、速算下列各題：

①123X25X4

②456X2X125X25X5X4X8

③25X32X125

三、巧算下列各題：

①15000+125+15

②1200+25+4

③27000+(125X3)

④360X40-60

四、巧算下列各題：

①11+3+4+3

②19+5-9+5

③234X11+234X88

習(xí)題二解答

一、用簡便方法求積：

①17X100=1700

②1112X5=5560

③23X9=230-23=207

?23X99=2300-23=2277

⑤12345X11=135795

⑥56789X11=624679

⑦36X15=（36+18）X10=540

二、速算下列各題：

①123X25X4=123X（25X4）=12300

0456X2X125X25X5X4X8

=456X（2X5）X（25X4）X（125X8）

=456000000

③25X32X125

=（25X4）X（125X8）

=100000

三、巧算下列各題：

①15000+125+15=15000+15+125=8

②1200+25+4=1200+（25X4）=12

③27000+（125X3）

=27000+3+125=9X（1000+125）

=9X8=72

④360X40+60=360+60X40=240

四、巧算下列各題：

①11+3+4+3=(11+4)+3=5

②19-5-9+5=(19-9)+5=2

③234X11+234X88

=234X(11+88)=234X99

=234X100-234=23166

小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第3課《上樓梯問題》試題附答案

第三講上樓梯問題

有這樣一道題目：如果每上一層樓悌需要1分鐘，那么從一層上到四層需

要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯了.正確的答案應(yīng)該是3分

鐘。

為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，

而不是四層樓梯。

下面我們來看幾個類似的問題。

例1裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？

分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最

后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4

米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8

米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪

去最后一段，8米里有4個2米，用3天，……

我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米

里有幾個2米，問題就可以解決了。

例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少

秒？

分析「I1把一根木料切成2段，切1次;

L_LL_I把一根木料切成3段,切2次;

匚H口把一根木料切成4段，切3次;

可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少L因此，在24秒內(nèi)切了4

段，實際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時間了，又由于用同

樣的速度切成5段；實際上切了4次，這樣切成5段所用的時間就可以求出來

To

例3三年級同學(xué)120人排成4路縱隊，也就是4個人一排，排成了許多排,

現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊伍長多少米？

例4時鐘4點鐘敲4下，1綣鐘敲完，那么6點仲敲6下，幾秒鐘敲完？

例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走

到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級臺階，如果各層樓之|可的臺階數(shù)

相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階？

答案

第三講上樓梯問題

有這樣一道題目：如果每上一層樓模需要1分鐘，那么從一層上到四層需

要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯了.正確的答案應(yīng)該是3分

鐘。

為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓悌，

而不是四層樓悌。

下面我們來看幾個類似的問題。

例1裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？

分析如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最

后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4

米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8

米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪

去最后一段，8米里有4個2米，用3天，……

我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米

里有幾個2米，問題就可以解決了。

解：16米中包含2米的個數(shù)：16+2=8（個）

剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天）

答：第七天就可以剪去最后一段。

例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少

秒？

分析1【1把一根木料切成2段,切1次；

IIII把一根木料切成3段,切2次；

“III把一根木料切成4段,切3次；

可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4

段，實際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時間了，又由于用同

樣的速度切成5段；實際上切了4次，這樣切成5段所用的時間就可以求出來

了。

解：切一次所用的時間：24+（4-1）=8（秒）

切5段所用的時間：8X（5-1）=32（秒）

答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。

例3三年級同學(xué)120人排成4路縱隊，也就是4個人一排，排成了許多排，

現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊伍長多少米？

解：因為每4人一排，所以共有：120+4=30（排）

30排中間共有29個間隔，所以隊伍長：1X29=29（米）

答：這支隊伍長29米。

例4時鐘4點鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

分析如果盲目地計算：12+4=3（秒），3X6=18（秒），認(rèn)為敲6下需

要18秒鐘就錯了.請看下圖：

12秒

_人

tttttt

第1下第2下第3下第4下第5下第6下

時鐘敲4下，其間有3個間隔,每個間隔是：12+3=4（秒）；時鐘敲6下，

其間共有5個間隔，所用時間為：

4X5=20（秒）。

解：每次間隔時間為：12+（4-1）=4（秒）

敲6下共用的時間為：4X（6-1）=20（秒）

答:時鐘敲6下共用20秒。

例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走

到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

分析要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓悌需要幾秒，還

要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48+（4-1）=16

（秒），從4樓走到8樓共走8-4=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。

解：上一層樓梯需要：48+（4-1）=16（秒）

從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓梯

還需要的時間：16X4=64（秒）

答：還需要64秒才能到達(dá)8層。

例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級臺階，如果各層樓之間的臺階數(shù)

相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階？

分析要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階，必須先求出每一層

樓糕有多少臺階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓悌。

從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有36+2=18（級）臺階，而

從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。

解：每一層樓梯有：36+（3-1）=18（級臺階）

晶晶從1層走到6層需要走：18X（6-1）=90（級）臺階。

答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級臺階。

注：例1~例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之

處，請同學(xué)們自己去體會.爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺階數(shù)=每層樓梯

的臺階數(shù)X（所到達(dá)的層數(shù)減起點的層數(shù)）。

習(xí)題三

1.一根木料截成3段要6分鐘，如果每截一次的時間相等，那么截7段要幾

分鐘？

2.有一幢樓房高17層，相鄰兩層之間都有17級臺階，某人從1層走到11

層，一共要登多少級臺階？

3.從1樓走到4樓共要走48級臺階，如果每上一層樓的臺階數(shù)都相同，那么

從1樓到6樓共要走多少級臺階？

4.一座樓房每上1層要走16級臺階，到小英家要走64級臺階，小英家住在

幾樓？

5.一列火車共20節(jié)，每節(jié)長5米，每兩節(jié)之間相距1米，這列火車以每分鐘

20米的速度通過81米長的隧道，需要幾分鐘？

6.時鐘3點鐘敲3下，6秒鐘敲完，12點鐘敲12下，幾秒鐘敲完？

7.某人到高層建筑的10層去，他從1層走到5層用了100秒，如果用同樣的

速度走到10層，還需要多少秒？

三年級奧數(shù)上冊：第三講上樓梯問題習(xí)題解答

習(xí)題三解答

1.解：每截一次需要：6*（3-1）=3（分鐘），截成7段要3X（7-1）=18

（分鐘）

答：截成7段要18分鐘。

2.解：從1層走到11層共走：11-1=10（個）樓梯，從1層走到11層一共要

走：17X10=170（級）臺階。

答：從1層走到11層，一共要登170級臺階。

3.解：每一層樓梯的臺階數(shù)為：48+（4-1）=16（級）,從1樓到6樓共

走：6-1=5（個）樓梯，從1樓到6樓共走：16X5=80（級?臺階。

答：從1樓到6樓共走80級臺階。

4.解:到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：64-16=4（層），小英家住在：4

+1=5（樓）

答：小英家住在樓的第5層。

5.解：火車的總長度為:5X20+1X（20-1）=119（米），火車所行的總

路程：119+81=200（米），所需要的時間：200+20=10（分鐘）

答：需要10分鐘。

6.解：每個間隔需要：6+（3-1）=3（秒），12點鐘敲12下,需要3X

（12-1）=33（秒）

答:33秒鐘敲完。

7.解:每上一層樓模需要：100+（5-1）=25（秒），還需要的時間：25

X（10-5）=125（秒）

答：從5樓再走到10樓還需要125秒。

小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第4課《植樹與方陣問題》試題附答案

第四講植樹與方陣問題

一、植樹問題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①

總路線長.②間距（棵距）長.③棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素.就

可以求出第三個。

關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

1.不封閉路線

例：如圖

|HI||

---v---

間距

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總

長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

棵數(shù)=段數(shù)+1=全長+株距+1

全長二株距X（棵數(shù)-1）

株距=全長+（裸數(shù)-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少

1,即裸數(shù)與段數(shù)相等.全長、裸數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：

全長=株距X裸數(shù)；

棵數(shù)=全長一株距；

株距二全長,棵數(shù)。

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。

例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合

在一起，所以種樹的裸數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

棵數(shù)二段數(shù)=周長一株距.

二、方陣問題

學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相

等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問

題）。

方陣的基本特點是：

①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每

邊上的人數(shù)就少2。

②每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：

四周人（或物）數(shù)=[每邊人（或物）數(shù)-1]X%

每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)+4+1。

例1有一條公路長90咪，在公路的一例從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可

栽多少根電線桿？

例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問

汽車每小時走多少千米？

例3某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊

有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？

例4晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶

擺這個方陣共用圍棋子多少個？

例5一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥

花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的

株距是多少米？

例6一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每

個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多

少裸花？整個花園中共栽多少棵花？

答案

第四講植樹與方陣問題

一、植樹問題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①

總路線長.②間距（棵距）長.③棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素.就

可以求出第三個。

關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。

1.不封閉路線

例：如圖

IlliII

間距

\y___________/

總長

①若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總

長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長、裸數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：

棵數(shù)=段數(shù)+k全長+株距+1

全長二株距X（裸數(shù)-1）

株距=全長+（裸數(shù)-1）

②如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少

1,即裸數(shù)與段數(shù)相等.全長、裸數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：

全長=株距X裸數(shù)；

棵數(shù);全長一株距；

株距:全長,棵數(shù)。

③如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。

例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合

在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

棵數(shù)二段數(shù)=周長+株距.

二、方陣問題

學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相

等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問

題）。

方陣的基本特點是：

①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每

邊上的人數(shù)就少2。

②每邊人（或物）數(shù)和四周入（或物）數(shù)的關(guān)系：

四周人（或物）數(shù)=［每邊人（或物）數(shù)

每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)+4+1。

③中實方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)X每邊人（或物）數(shù)。

例1有一條公路長900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可

栽多少根電線桿？

分析要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長可分成若干段.由

于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。

解：以10米為一段，公路全長可以分成

900-10=90（段）

共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）

答：可栽電線桿91根。

例2馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問

汽車每小時走多少千米？

分析張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段

路的長度就容易求出汽車速度.

解：5分鐘汽車共走了：

9X（501-1）=4500（米），

汽車每分鐘走：4500+5=900（米），

汽車每小時走：

900X60=54000（米）=54（千米）

列綜合式：

9X（501-1）*5X60*1000=54（千米）

答：汽車每小時行54千米。

例3某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊

有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？

分析根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：

每邊人數(shù)=四周人數(shù)+4+1,可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣

隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

解：方陣最外層每邊人數(shù)：60+4+1=16（人）

整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16X16=256（人）

答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

例4晶晶用圍模子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶

擺這個方陣共用圍棋子多少個？

分析方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14

個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層

總數(shù)。

解：最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1）X4=52（個）

第二層棋子個數(shù)：（14-2-1）義4=的（個）

第三層棋子個數(shù)：（14-2X2-1）X4=36（個）.

擺這個方陣共用棋子：

52+44+36=132（個）

還可以這樣想：

中空方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)一層數(shù)）X層數(shù)X4進(jìn)行計算。

解：（14-3）X3X4=132（個）

答：擺這個方陣共需132個圍棋子。

例5一個圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥

花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的

株距是多少米？

分析①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)二段數(shù).②由于相鄰

的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵

數(shù)是芍藥的2倍。

解：共可栽芍藥花：180+6=30（棵）

共種月季花：2X30=60（棵）

兩種花共：30+60=90（棵）

兩棵花之間距離：180+90=2（米）

相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花

的株距是2米或4米。

答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

例6一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每

個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多

少棵花？整個花園中共栽多少棵花？

分析①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知

道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的裸數(shù)為

9X2-1=17（棵）。

②又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所

以大三角形三條邊上共栽花

（17-1）X3=48（棵）。

③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.在計算大

三角形栽花裸數(shù)時已經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7

（棵）

解：大三角形三條邊上共栽花：

（9X2-1-1）X3=48（棵）

中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

（9-2）X3=21（棵）

整個花壇共栽花：48+21=69（棵）

答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。

習(xí)題四

1.一個圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多

少株？

2.有一正方形操場，每邊都栽種17棵樹，四個角各種1棵，共種樹多少棵？

3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從路的一端的某一棵樹出

發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.已

知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？

4.在一根長100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點一個紅點.從右向左每

隔5厘米點一個紅點，在兩個紅點之間長為4厘米的間距有幾段？

三年級奧數(shù)上冊：第四講植樹與方陣問題習(xí)題解答

L提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù)，

150+3=50（裸）。

2.提示：在正方形操場邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個角上栽的樹是相

鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1=16（棵），共栽：（17-

1）X4=64（棵）

答：共栽樹64棵。

3.解：甲走到第22棵樹時走過了22-1=21（個）裸距.同樣乙走過了10-1=

91個）棵距.乙走到第10棵樹，所用的時間為（9X裸距+36）,這個時間也是

甲走過21個棵距的時間，甲的速度為：21X棵距+（9X棵距+36）=84米/分。

答:甲的速度是每分鐘84米。

4.①根據(jù)已知條件，從左至右每隔6厘米點一紅點，不難算出共有17個點

（包括起點，終點）并余4厘米。②100厘米長的棒從右到左共點21個點，可分

為20段，而最后一點與端點重合，相當(dāng)于從左到右以5厘米的間距畫點.③在5

與6的公倍數(shù)30中，不難看出有2個4厘米的小段；同樣在第二個和第三個30厘米

中也各有2個，剩下的10厘米只有一個4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只

能有2X3+1=7（段）4厘米長的間距.

小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)奧數(shù)知識點講解第5課《找?guī)缀螆D形的規(guī)律》試題附答案

第五講找?guī)缀螆D形的規(guī)律

找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀

察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的

問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識有助于

養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習(xí)慣，可以逐步掌握通

過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來解決問題的方法。

下面就來看幾個例子。

△△△

△△△□

△?□□

△□□□

圖5-1

例1按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律,

在帶“？”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？

例2請觀察右圖中已有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。

例3按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填上合適的圖形.

例4下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細(xì)觀察，并在“？”處填上適當(dāng)

的圖形.

叵？O

(a)⑹⑹

(g)①)⑴

例5觀察下列各組圖的變化規(guī)律，并在“？”處畫出相關(guān)的圖形.

(g)(h)(i)

例6仔細(xì)觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填入合適的圖形.

Oozka?力

(a)0>)(c)

例7四個小動物排座位，一開始，小鼠坐在第1號位子上，小梁坐在第2號，小

兔坐在第3號，小貓坐在第4號.以后它們不停地交換位子，第一次上下兩排交

換.第二次是在第一次交換后左右兩列交換，第三次再上下兩排交換，第四次再

左右兩列交換…這樣一直換下去.問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子

上？（參看下圖）

12鼠

34兔貓

位子圖開始第一次第二次第十次

例8將A、B、C、D、E、F六個字母分別寫在正方體的六個面上，從下面三種不

同擺法中判斷這個正方體中，哪些字母分別寫在相對的面上。

⑹

答案

笫五講找?guī)缀螆D形的規(guī)律

找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀

察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的

問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識有助于

養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡到瞥觀察思考問題的良好習(xí)慣，可以逐步掌握通

過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來解決問題的方法。

下面就來看幾個例子。

△△△△

△△△□

△?□□

△□□□

圖5-1

例1按服序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律,

在帶“？”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？

分析觀察中，注意到圖5—1中每行三角形的個數(shù)依次減少，而正方形的個

數(shù)依次增多，且三角形的個數(shù)按4、3、X、1的順序變化.顯然啦等于2；圖5—2

中黑點的個數(shù)從左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多兩

個點.事實上，本題中幾何圖形的變化僅表現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系上，是一種較為基本

的、簡單的變化模式。

口豆豆日垣

(a)(b)(c)(d)(e)

圖5-2

解：在圖5—1的“？”處應(yīng)是三角形^,在圖5—2的“？”處應(yīng)是

?i.

例2請觀察右圖中己有的幾個圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形。

分析首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個圓、一個三角形和一

個正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重

復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我

們知道這個圖的特點是：

①僅由圓、三角形、正方形組成；

②各行各列中，都只有一個圓、一個三角形和一個正方形。

因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個三角形，而第三

行的空格中應(yīng)填一個正方形。

解略。

例3按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填上合適的圖形.

(a)(b)(c)(d)

分析顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時，

圖（a）、（c）中都有3個圖形，而（b）中只有兩個.由此可知：圖（a）到

（b）的變化規(guī)律對應(yīng)于圖（c）到（d）的變化規(guī)律.再注意到圖（a）到圖

（b）中圖形在髡簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中的圖形

了。

解：在上圖的“？”處應(yīng)填如下圖形.

例4下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請仔細(xì)觀察，并在“？”處填上適當(dāng)

的圖形.

因？O

(a)⑹(c)

(g)①)⑴

分析本題中，首先可以注意到每個圖形都由大、小兩部分組成，而且，

大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個圖形均不相

同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)

現(xiàn)：對于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個

大正方形，一個大三角形和一個大圓，對于小圖形也是如此，這樣，“？”處

的圖形就不難得出。

解：圖中，(b)、(f),(h)處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖

丙.

A[司回

甲乙丙

小結(jié)：對于較復(fù)雜的圖形來說，有時候需要把圖形分開幾部分來單獨考慮

其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡單化O

例5觀察下列各組圖的變化規(guī)律，并在“？”處畫出相關(guān)的圖形.

M__1□n

(a)(b)(c)

□口LJ

(d)白(e)m(f)

n

出(h)(i)

丙丁

分析我們先來看這樣兩個圖:

（甲）圖與（乙）圖中，點A、B、C、D的順序和距離都沒有改變，只是每

個點的位置發(fā)生了變化，如：甲圖中，A在左方；而乙圖中，A在上方，……我

們把這樣一種位置的變化稱為圖形的旋轉(zhuǎn)，乙圖可以看作是甲圖

沿順時針方向旋轉(zhuǎn)J個圓（或90°）而得到的，甲圖也可以看作是由乙

圖沿逆時針方向旋轉(zhuǎn);個圓（90°）而得到的同樣的道理，我們

可以把噩到噩的位置變化也稱為旋轉(zhuǎn)，叫做沿順時針方向旋轉(zhuǎn)

90°（或一格）。

現(xiàn)在我們再回到題目上來，容易看出：例5題中按（a）、（b）、（c）、

（d）、（e）、（f）、（g）、（h）、（i）順序排列的9個圖形，它們的變化

規(guī)律是：每一個圖形（躲外）都是由其前一個圖形逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的.

甲乙丙丁四個圖形變化規(guī)律也類似。

解：圖（i）處的圖形應(yīng)是下面左圖，丁圖處的圖形應(yīng)是下面右圖

OO

注意：因為圖形是由旋轉(zhuǎn)而得到的，所以其中三角形、菱形的方向隨旋轉(zhuǎn)

而變化，作圖的時候要注意到這一點。

旋轉(zhuǎn)是數(shù)學(xué)中的重要概念，掌握好這個概念，可以提高觀察能力，加快解

題速度，對于許多問題的解決，也有事半而功倍的效果。

下面再來看幾個例子：

例6仔細(xì)觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填入合適的圖形.

?公zka?4

分析顯然，圖（a）、（b）的變化規(guī)律對應(yīng)于圖（c）的變化規(guī)律；圖

（d）、（e）的變化規(guī)律也對應(yīng)于圖（f）的變化規(guī)律，我們先來觀察（a）、

（b）兩組圖形，發(fā)現(xiàn)在形狀、位置方面都發(fā)生了變化，即把圓變?yōu)樗囊话胍?/p>

一半圓，把三角形也變?yōu)樗囊话胍灰恢苯侨切?；同時，變化后圖形的位置

相當(dāng)于把原圖形沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°而得到.因此，我們很容易地就把圖

（c）中的直角梯形還原為等腰梯形并通過逆時針旋轉(zhuǎn)而得到圖（c）“？”處

的圖形。

當(dāng)我們從左到右來觀察圖（d）、（e）的變化規(guī)律時，我們發(fā)現(xiàn)，圖

（d）、（e）的變化規(guī)律有與圖（a）、（b）相同的一面，即都是把一個圖形

變?yōu)樽陨淼囊话耄灿信c圖（a）、（b）不同的一面，即圖（d）、（e）中

右半部分的圖形無法通過旋轉(zhuǎn)原圖來得到，只能通過上下翻轉(zhuǎn)而獲得.這樣，我

們就得到了這些圖形的變化規(guī)律。

解：圖（c）中“？”處的圖形應(yīng)是下面甲圖，圖（f）中“？”處的圖形

應(yīng)是Z圖.