山東省青島市李滄區(qū)、西海岸新區(qū)、膠州市、城陽(yáng)區(qū)2023--2024學(xué)年下學(xué)期八年級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷　

2023-2024學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)、西海岸新區(qū)、膠州市、城陽(yáng)區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分，在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）已知x＜y，則下列不等式一定成立的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y2．（3分）下面四個(gè)圖形中是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列因式分解正確的是（）A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） B．x2﹣6x+9＝（x+3）2 C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．a(chǎn)2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）4．（3分）一次函數(shù)y＝kx+3的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)x≥2時(shí)，kx+3≤0 B．當(dāng)x＜2時(shí)，kx+3＞0 C．當(dāng)x＜0時(shí)，kx+3＜3 D．當(dāng)x≥0時(shí)，kx+3≤35．（3分）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）x的取值﹣44a16分式的值無(wú)意義00.1bA．m＝﹣8 B．n＝﹣4 C．a(chǎn)＝6 D．b＝0.26．（3分）C919是中國(guó)首款按照國(guó)際通行適航標(biāo)準(zhǔn)自行研制、具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的噴氣式中程干線客機(jī)．2024年3月，C919開(kāi)始執(zhí)行第三條定期商業(yè)航線——“上海虹橋一西安咸陽(yáng)”．已知兩地的航線距離約為1350km，C919的平均速度與普通客機(jī)的平均速度相比提高了約300km/h，航行時(shí)間節(jié)約了約．設(shè)C919客機(jī)的平均速度為xkm/h，則根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，將含有60°銳角的三角板△ABC繞60°的銳角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到△ECD，若AB、CE相交于點(diǎn)F，AE＝AF，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．45° B．40° C．35° D．30°8．（3分）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，流傳至今，如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成，設(shè)每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b（a＞b），斜邊為c，則下列結(jié)論：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝．10．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是．11．（3分）不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是．12．（3分）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，則圖中陰影部分的面積為．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，連接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，則DE的長(zhǎng)為．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC邊上的高，點(diǎn)F在邊AB上，E為CF的中點(diǎn)，連接DE．若DE＝6，則AF的長(zhǎng)為．15．（3分）圖①所示的彭羅斯地磚，是由獲得諾貝爾獎(jiǎng)的英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰?彭羅斯提出的一種鋪滿平面的方案．這種地磚蘊(yùn)含著準(zhǔn)晶體原子排列的秘密，打破了人們對(duì)品體認(rèn)知的局限．它是由圖②和圖③所示的兩種不同平行四邊形鑲嵌而成，則圖③中∠EFG的度數(shù)是°．16．（3分）如圖，將邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形，…，按此方式依次操作，則第2024個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為．三、作圖題（本題滿分4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．17．（4分）已知：∠O及其一邊上的兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，點(diǎn)C在∠O內(nèi)部且到角兩邊的距離相等．四、解答題（本大題共9小題，共68分）18．（8分）（1）解不等式組：；（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．19．（6分）化簡(jiǎn)式子÷（x﹣），從0、1、2中取一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．20．（6分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)．（1）將△ABC平移得到△A1B1C1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C1（2，﹣2），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)（，）；（2）若△PQR是△ABC經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的圖形，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是P，Q，R，觀察變換前后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）（用含m，n的式子表示）．21．（6分）圍棋與象棋作為兩種深受人們喜愛(ài)的古老棋藝，它們不僅體現(xiàn)了中華民族智慧的精髓，同時(shí)也反映了中國(guó)文化的深厚底蘊(yùn)．國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校積極開(kāi)設(shè)棋類社團(tuán)，并計(jì)劃為參加棋類社團(tuán)的同學(xué)購(gòu)買30副圍棋和m（m≥20）副象棋，已知每副圍棋的價(jià)格是60元，每副象棋的價(jià)格是25元．在購(gòu)買時(shí)，恰逢商場(chǎng)推出了優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)的方案如下：方案一：購(gòu)買圍棋超過(guò)10副時(shí)，每超過(guò)1副則贈(zèng)送象棋1副；方案二：按購(gòu)買總金額的八折付款．該學(xué)校選擇哪一種方案支付的總費(fèi)用較少？22．（6分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，AE＝AB．（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度數(shù)；（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周長(zhǎng)．23．（8分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組要在AC上找兩個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形BEDF為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE＝CF作BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）選擇其中一種方案，并證明四邊形BEDF為平行四邊形；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若EF＝3AE，S△AED＝5，則?ABCD的面積為．24．（8分）類比推理是一種特殊的歸納推理，人們?cè)谔接懸恍┥形从^察到的事物性質(zhì)時(shí)，以某些事物、道理之間存在相似性質(zhì)為依據(jù)，推斷出該事物可能與其他事物有著相似的性質(zhì)，它是人類試圖理解世界和做出決策的最常用方法之一．在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常借助類比推理研究新的知識(shí)，如：分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則都是通過(guò)與分?jǐn)?shù)類比得到的．小明同學(xué)類比除法240÷16＝15的豎式計(jì)算，想到對(duì)二次三項(xiàng)式x2+3x+2進(jìn)行因式分解的方法：即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【初步探究】小明看到這樣一道被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的因式分解題：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分別代表被污染的系數(shù)和常數(shù)），他列出了下列豎式：通過(guò)計(jì)算，求得：□所代表的系數(shù)是，☆所代表的常數(shù)是；【深入探究】小明用上述方法對(duì)多項(xiàng)式x3﹣x2+2x+4進(jìn)行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一個(gè)多項(xiàng)式），則※所代表的多項(xiàng)式為；【拓展應(yīng)用】我們知道，若a?b＝0則a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，則x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我們可以求出關(guān)于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一個(gè)解為x＝1，另一個(gè)解為x＝2．結(jié)合上述信息解答下列問(wèn)題：（1）若關(guān)于x的方程x2+x﹣6＝0的一個(gè)解為x＝2，則另一個(gè)解為；（2）若關(guān)于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有兩個(gè)解為x＝1，x＝﹣2，則第三個(gè)解為．25．（10分）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)，已知甲種空調(diào)的每臺(tái)進(jìn)價(jià)比乙種貴300元，用36000元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)的數(shù)量與用30000元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)的數(shù)量相同，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別是多少元；（2）若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)2400元，乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)2000元，商場(chǎng)欲同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種空調(diào)20臺(tái)，且全部售出，請(qǐng)寫出所獲利潤(rùn)y（元）與甲種空調(diào)的數(shù)量m（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若商場(chǎng)計(jì)劃用不超過(guò)34500元購(gòu)進(jìn)兩種空調(diào)，則甲、乙兩種空調(diào)各購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)時(shí)，該商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？26．（10分）如圖，在?ABCD中，CD＝8cm，BC＝16cm，∠A＝60°，BD⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以4cm/s的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（0＜t＜8）．（1）當(dāng)PQ∥CD時(shí)，求t的值；（2）連接BP，設(shè)四邊形BPDE的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)點(diǎn)P關(guān)于直線DQ的對(duì)稱點(diǎn)恰好在直線CD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

2023-2024學(xué)年山東省青島市李滄區(qū)、西海岸新區(qū)、膠州市、城陽(yáng)區(qū)八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分，在每個(gè)題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）已知x＜y，則下列不等式一定成立的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．3x＞3y C． D．﹣2x＜﹣2y【解答】解：A、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故A不符合題意；B、∵x＜y，∴3x＜3y，故B不符合題意；C、∵x＜y，∴＜，故C符合題意；D、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故D不符合題意；故選：C．2．（3分）下面四個(gè)圖形中是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B．該圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，不符符合題意；C．該圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；D．該圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：C．3．（3分）下列因式分解正確的是（）A．﹣a2b+ab2＝﹣ab（a﹣b） B．x2﹣6x+9＝（x+3）2 C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．a(chǎn)2（a﹣b）2﹣b2（b﹣a）2＝（a﹣b）2（a2+b2）【解答】解：A、原式＝ab（﹣a+b）＝﹣ab（a﹣b），符合題意；B、原式＝（x﹣3）2，不符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式＝a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2＝（a﹣b）2（a2﹣b2）＝（a﹣b）3（a+b），不符合題意．故選：A．4．（3分）一次函數(shù)y＝kx+3的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)x≥2時(shí)，kx+3≤0 B．當(dāng)x＜2時(shí)，kx+3＞0 C．當(dāng)x＜0時(shí)，kx+3＜3 D．當(dāng)x≥0時(shí)，kx+3≤3【解答】解：A、觀察圖象知：當(dāng)x≥2時(shí)，kx+3≤0，故不符合題意；B、觀察圖象知：當(dāng)x＜2時(shí)，kx+3＞0，故不符合題意；C、觀察圖象知：當(dāng)x＜0時(shí)，kx+3＞3，故C符合題意；D、觀察圖象知：當(dāng)x≥0時(shí)，kx+3≤3，不符合題意．故選：C．5．（3分）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）x的取值﹣44a16分式的值無(wú)意義00.1bA．m＝﹣8 B．n＝﹣4 C．a(chǎn)＝6 D．b＝0.2【解答】解：由表格可得當(dāng)x＝﹣4時(shí)，分式無(wú)意義，則2×（﹣4）﹣m＝0，解得：m＝﹣8，則A不符合題意；當(dāng)x＝4時(shí)，分式的值為0，則4+n＝0，解得：n＝﹣4，則B不符合題意；當(dāng)x＝a時(shí)，分式的值為0.1，則＝0.1，解得：a＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝6是分式方程的解，則C不符合題意；當(dāng)x＝16時(shí)，分式的值為b，則b＝＝0.5，則D符合題意；故選：D．6．（3分）C919是中國(guó)首款按照國(guó)際通行適航標(biāo)準(zhǔn)自行研制、具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的噴氣式中程干線客機(jī)．2024年3月，C919開(kāi)始執(zhí)行第三條定期商業(yè)航線——“上海虹橋一西安咸陽(yáng)”．已知兩地的航線距離約為1350km，C919的平均速度與普通客機(jī)的平均速度相比提高了約300km/h，航行時(shí)間節(jié)約了約．設(shè)C919客機(jī)的平均速度為xkm/h，則根據(jù)題意可列方程為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，得．故選：D．7．（3分）如圖，將含有60°銳角的三角板△ABC繞60°的銳角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度到△ECD，若AB、CE相交于點(diǎn)F，AE＝AF，則旋轉(zhuǎn)角是（）A．45° B．40° C．35° D．30°【解答】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)角＝α，∴直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△DCE，∴∠ACF＝α，CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠AFE＝α+∠CAF＝α+30°，∴α+30°＝90，∴α＝40°，故選：B．8．（3分）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，流傳至今，如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成，設(shè)每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b（a＞b），斜邊為c，則下列結(jié)論：①a+b＞c；②a2+b2＞2ab；③（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；④，其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解答】解：①由三角形的兩邊之和大于第三邊可知a+b＞c，故①正確；②∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＞0，a＞b，即a2+b2＞2ab，故②正確；③∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2+4ab＝a2+2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，④∵a2+b2＝c2，∴[（a+b）]2﹣（2c）2＝2（a+b）2﹣4（a2+b2）＝2a2+4ab+2b2﹣4a2﹣4b2＝﹣2a2﹣2b2+4ab＝﹣2（a﹣b）2≤0，又a＞b，且a、b、c都大于0，∴（a+b）與2c都大于0，∴﹣2（a﹣b）2＜0，即，故④正確；故選：D．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）9．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝2x（x﹣2）（x+2）．【解答】解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．10．（3分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是10．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，（n﹣2）?180°＝4×360°，解得n＝10，故答案為：10．11．（3分）不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是m≤1．【解答】解：，由①得：x＞2，由②得：x＞m+1，∵不等式組的解集是x＞2，∴2≥m+1，∴m≤1，故答案為：m≤1．12．（3分）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為m，n，若m+n＝11，m﹣n＝1，則圖中陰影部分的面積為5.5．【解答】解：∵m+n＝11，m﹣n＝1，∴＝＝＝5.5，故答案為：5.5．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，連接DE．若∠DEB＝30°，CD＝5，則DE的長(zhǎng)為6．【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∴，∵∠ADE＝15°，∴∠BAD＝∠ADE＝15°，∴∠DEH＝∠DAE+∠ADE＝30°，如圖：過(guò)D作DH⊥AB于H，即∠DHE＝90°，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，∴DH＝CD＝3，∴∠DHE＝90°，∠DEH＝30°，∴DE＝2DH＝6．故答案為：6．14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝16，AD是BC邊上的高，點(diǎn)F在邊AB上，E為CF的中點(diǎn)，連接DE．若DE＝6，則AF的長(zhǎng)為4．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴CD＝DB，∵E為CF的中點(diǎn)，∴DE是△BCF的中位線，∴BF＝2DE＝12，∴AF＝AB﹣BF＝16﹣12＝4，故答案為：4．15．（3分）圖①所示的彭羅斯地磚，是由獲得諾貝爾獎(jiǎng)的英國(guó)數(shù)學(xué)家羅杰?彭羅斯提出的一種鋪滿平面的方案．這種地磚蘊(yùn)含著準(zhǔn)晶體原子排列的秘密，打破了人們對(duì)品體認(rèn)知的局限．它是由圖②和圖③所示的兩種不同平行四邊形鑲嵌而成，則圖③中∠EFG的度數(shù)是36°．【解答】解：由圖①可知，圖②中的平行四邊形ABCD的銳角∠B＝×360°＝72°，∵CD∥AB，∴∠C＝180°﹣∠B＝108°，根據(jù)題意得2∠EFG+2∠C+∠B＝360°，∴∠EFG＝×（360°﹣2×108°﹣72°）＝36°，故答案為：36．16．（3分）如圖，將邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形，…，按此方式依次操作，則第2024個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為．．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AB與第1個(gè)等邊三角形的邊相交于點(diǎn)D，∵B為中點(diǎn)，BD∥OP，∴BD＝＝OP，∴，易證△BDG為等邊三角形，∴PD＝DG＝BD＝，∵四邊形BCED為平行四邊形，∴，∴第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)的，易知下一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)的等邊三角形的邊長(zhǎng)的，∴第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，所以，第2024個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為：．故答案為：．三、作圖題（本題滿分4分）請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．17．（4分）已知：∠O及其一邊上的兩點(diǎn)A，B．求作：Rt△ABC，使∠B＝90°，點(diǎn)C在∠O內(nèi)部且到角兩邊的距離相等．【解答】解：如圖，△ABC即為所求．四、解答題（本大題共9小題，共68分）18．（8分）（1）解不等式組：；（2）分解因式：9a（x﹣y）+4b（y﹣x）．【解答】解：（1）解第一個(gè)不等式得：x＞3，解第二個(gè)不等式得：x≤，故原不等式組的解集為3＜x≤；（2）原式＝9a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）＝（x﹣y）（9a﹣4b）．19．（6分）化簡(jiǎn)式子÷（x﹣），從0、1、2中取一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．【解答】解：原式＝÷＝?＝，∵x≠0，2，∴當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝﹣1．20．（6分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（4，3），B（3，1），C（1，2），M（m，n）為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)．（1）將△ABC平移得到△A1B1C1，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C1（2，﹣2），請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)（5，﹣1）；（2）若△PQR是△ABC經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)得到的圖形，點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是P，Q，R，觀察變換前后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n）（用含m，n的式子表示）．【解答】解：（1）由題意得，△ABC向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1，如圖，△A1B1C1即為所求．由圖可得，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（5，﹣1）．故答案為：5；﹣1．（2）連接AP，BQ，CR，相交于點(diǎn)O，則△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△PQR，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n）．故答案為：﹣m；﹣n．21．（6分）圍棋與象棋作為兩種深受人們喜愛(ài)的古老棋藝，它們不僅體現(xiàn)了中華民族智慧的精髓，同時(shí)也反映了中國(guó)文化的深厚底蘊(yùn)．國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某校積極開(kāi)設(shè)棋類社團(tuán)，并計(jì)劃為參加棋類社團(tuán)的同學(xué)購(gòu)買30副圍棋和m（m≥20）副象棋，已知每副圍棋的價(jià)格是60元，每副象棋的價(jià)格是25元．在購(gòu)買時(shí)，恰逢商場(chǎng)推出了優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)的方案如下：方案一：購(gòu)買圍棋超過(guò)10副時(shí)，每超過(guò)1副則贈(zèng)送象棋1副；方案二：按購(gòu)買總金額的八折付款．該學(xué)校選擇哪一種方案支付的總費(fèi)用較少？【解答】解：設(shè)方案一、二購(gòu)買的總費(fèi)用分別為y1、y2，由題意得：y1＝60×30+25（m﹣20）＝25m+1300，y2＝0.8×（60×30+25m）＝20m+1440，分三種情況：①當(dāng)y1＜y2時(shí)，25m+1300＜20m+1440，解得：m＜28，∴當(dāng)10≤m＜28時(shí)，選擇方案一支付的總費(fèi)用較少；②當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，25m+1300＝20m+1440，解得：m＝28，∴當(dāng)m＝28時(shí)，兩種方案支付的總費(fèi)用相同；③當(dāng)y1＞y2時(shí)，25m+1300＞20m+1440，解得：m＞28，∴當(dāng)m＞28時(shí)，選擇方案二支付的總費(fèi)用較少；綜上，當(dāng)10≤m＜28時(shí)，選擇方案一支付的總費(fèi)用較少；當(dāng)m＝28時(shí)，兩種方案支付的總費(fèi)用相同；當(dāng)m＞28時(shí)，選擇方案二支付的總費(fèi)用較少．22．（6分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，AE＝AB．（1）若∠C＝40°，求∠BAE的度數(shù)；（2）若CD＝5，CF＝4，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵EF是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∴∠C＝∠CAE＝40°，∵∠AEB是△ACE的一個(gè)外角，∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝80°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠B＝80°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝20°，∴∠BAE的度數(shù)為20°；（2）∵EF是AC的垂直平分線，∴AC＝2CF＝8，∵AE＝AB，AD⊥BE，∴DE＝BD，∵AE＝CE，∴CE＝AB，∵CD＝5，∴CE+DE＝5，∴AB+BD＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AC+AB+BC＝8+AB+BD+DE+CE＝8+5+5＝18，即△ABC的周長(zhǎng)為18．23．（8分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組要在AC上找兩個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，使四邊形BEDF為平行四邊形，現(xiàn)總結(jié)出甲、乙兩種方案如下：甲方案乙方案在AO，CO上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE＝CF作BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）選擇其中一種方案，并證明四邊形BEDF為平行四邊形；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若EF＝3AE，S△AED＝5，則?ABCD的面積為50．【解答】解：（1）甲方案，證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB，∠DFE＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．乙方案，證明：∵BE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EF＝3AE，∴AC＝5AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ADC＝5S△AED＝5×5＝25，∴S?ABCD＝2×25＝50，故答案為：50．24．（8分）類比推理是一種特殊的歸納推理，人們?cè)谔接懸恍┥形从^察到的事物性質(zhì)時(shí)，以某些事物、道理之間存在相似性質(zhì)為依據(jù)，推斷出該事物可能與其他事物有著相似的性質(zhì)，它是人類試圖理解世界和做出決策的最常用方法之一．在日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常借助類比推理研究新的知識(shí)，如：分式的基本性質(zhì)與運(yùn)算法則都是通過(guò)與分?jǐn)?shù)類比得到的．小明同學(xué)類比除法240÷16＝15的豎式計(jì)算，想到對(duì)二次三項(xiàng)式x2+3x+2進(jìn)行因式分解的方法：即（x2+3x+2）+（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．【初步探究】小明看到這樣一道被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的因式分解題：x2+□x﹣3＝（x﹣3）（x+☆），（其中□、☆分別代表被污染的系數(shù)和常數(shù)），他列出了下列豎式：通過(guò)計(jì)算，求得：□所代表的系數(shù)是﹣2，☆所代表的常數(shù)是1；【深入探究】小明用上述方法對(duì)多項(xiàng)式x3﹣x2+2x+4進(jìn)行因式分解，得到：x3﹣x2+2x+4＝（x+1）（※）（※代表一個(gè)多項(xiàng)式），則※所代表的多項(xiàng)式為x2﹣2x+4；【拓展應(yīng)用】我們知道，若a?b＝0則a＝0或b＝0，例如：（x﹣1）（x﹣2）＝0，則x﹣1＝0或x﹣2＝0，由此我們可以求出關(guān)于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一個(gè)解為x＝1，另一個(gè)解為x＝2．結(jié)合上述信息解答下列問(wèn)題：（1）若關(guān)于x的方程x2+x﹣6＝0的一個(gè)解為x＝2，則另一個(gè)解為x＝﹣3；（2）若關(guān)于x的方程2x3+5x2﹣x﹣6＝0有兩個(gè)解為x＝1，x＝﹣2，則第三個(gè)解為x＝﹣．【解答】解：根據(jù)題意，□+3＝☆，﹣3＝﹣3☆，解得：□＝﹣2，☆＝1；根據(jù)題意，列出豎式如下：則※所代表的多項(xiàng)式為：x2﹣2x+4；（1）將方程左邊進(jìn)行因式分解，得x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3），則另一個(gè)解為x＝﹣3；（2）將方程左邊進(jìn)行因式分解，得2x3+5x2﹣x﹣6＝（x﹣1）（x+2）（2x+3），則第三個(gè)解為x＝﹣．故答案為：﹣2，1；x2﹣2x+4；x＝﹣3；x＝﹣．25．（10分）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種空調(diào)，已知甲種空調(diào)的每臺(tái)進(jìn)價(jià)比乙種貴300元，用36000元購(gòu)進(jìn)甲種空調(diào)的數(shù)量與用30000元購(gòu)進(jìn)乙種空調(diào)的數(shù)量相同，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）甲、乙兩種空調(diào)每臺(tái)的進(jìn)價(jià)分別是多少元；（2）若甲種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)2400元，乙種空調(diào)每臺(tái)售價(jià)2000元，商場(chǎng)欲同時(shí)購(gòu)進(jìn)兩種空調(diào)20臺(tái)，且全部售出，請(qǐng)寫出所獲利潤(rùn)y（元）與甲種空調(diào)的數(shù)量m（臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）