教師資格證數(shù)學(xué)基本公式

【備注】此部分是給大家整理的所有學(xué)科知識(shí)部分的數(shù)學(xué)公式，公式

與粉筆教師資格證線上科目三系統(tǒng)講義是統(tǒng)一的，單獨(dú)整理方便大家

集中記憶。

常用的公式匯總

1.平方差公式：(a+b)(a-b)=&-b2

o

2.完全平方公式：(a±b)2*a±2abtb

3.立方和公式：(a+b)(如加?肥)=d+方

O

4.立方差公式：(a-b)(冰心切2)=。_入

5.完全立方公式：(a±b)332加~3ab2士人

=a±3a3

6.如果一元二次方程ax+bx+c=O(x為未知數(shù)，存0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是xi,X2,那么-xi+x2?

2

xix2=v若xi+x2=m,xix^n,則以xi,X2為根的一元二次方程是x-7nx+n=0o

2

0指埃喳戡0)

0

(2)&?0s=5+?〃$￡R,o>0)

(3)—=-(…取a>0)

(4)(qb)=ab(r^R,a9b>0)

(5)S)=J(；,s￡Ra>0)

srs

(6)3=—a>0)

(7)-=V"(r6R,a>0,sGN*,s>l)

8.對(duì)數(shù)公式

特殊：logoi=0,logaa=l,logflij=-l(a>0且aWD

和式：\og^M?Nj^logpM+Xo&iN(a>0fia^l,M>Q,A>0)

差式：lo取logiA/ToM(oX)且aWLM>0,NX))

換底：loga6=-------(o>0且aWLc>0?且c#l；6>0)

指系:=—logad(a>0且aWLb>Q,mWO)

還原：log=log(oX)且a^l；x>0)

倒數(shù)：logoi=」一(a>0且6X)且bKl)

9.三角函數(shù)的基礎(chǔ)公式

sin2a+cos2a=ltana=---tanacota=l

10.和差公式

(1)sin(a±P)=sinacosP±cosasinp

(2)cos(a±p)=cosacosp:Fsin(xsmp

(3)tan(a±P)=-------

11.倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina

2222

(3)tan2a=2—

i-2

12.正弦定理

在ZUBC中，內(nèi)角A.B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,&為A4BC的外接圓的半徑,

則有^-=——=—=2。

三角形的面積公式：SMBc=ib.csinA=1acsinfffabsinC

222

13,余弦定理

在A4BC中，內(nèi)角4、B、。所對(duì)的邊分別為a、b、c,W=#H-c-2iccosz4,b=

222

a+c222

22-2accosB,c=a+b-2abcosC

2

推論：co—=弭2,8sg=1+2,coSc=iT

222

14.均值不等式

①若a,fee,2+2>2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等

號(hào)成立_

②若a>o,b>o,則NV不且僅當(dāng)中山時(shí)，等號(hào)成立。

這里a,b均為正數(shù)，稱多正數(shù)a,6的算術(shù)平均數(shù)，，稱為正數(shù)a,6的幾何平均

數(shù)，即兩個(gè)整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于(大于等于)它們的幾何平均數(shù)。

③若a,b,CG,貝II3弋一,當(dāng)且僅當(dāng)a=*=c時(shí)，等號(hào)成立。

3

15.柯西不等式

若a,b,c,de,都是實(shí)數(shù)，貝!1(2+2)(2+2)>f)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc

時(shí)，等號(hào)成立。

16,復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1.加減運(yùn)算：(q+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

2.乘法運(yùn)算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(qd+bc)i

3.除法運(yùn)算：(。+加+嗔三(c+diWO)

4一的塞運(yùn)算：i

實(shí)系數(shù)方程axbfertE4c*0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求限:一i(〃GN)

2_____

當(dāng)懶金企0時(shí)，有一對(duì)實(shí)根雙，一寸4.

2,

當(dāng)判別式A=0時(shí)，有一對(duì)相等的實(shí)根xi.2=—;

當(dāng)判別式A<0時(shí)，有一對(duì)共扼虛根X0U，2

2o

(3)數(shù)量積：對(duì)于兩個(gè)向量"?和華，它們的模|1、「|及它們的夾角。的余弦的乘積稱為

向量.和"的數(shù)量積，記作一?1即.「=nri0

18.坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)"=(X1即)，2=(X2%),貝！|：

向量的加減法運(yùn)算："±i=(xi：“2,yi±y2)

實(shí)數(shù)與向量的積："=(xiji>=(xi,yi)o

若A(xi郵)，Bg"),則....=(x2—xi1y2—yi),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的

有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-4二,牛)。

平面向量數(shù)量積：--^=X1X2+^1J2.

向量的模：I；=向2+-2,-2=112=2+2?

兩點(diǎn)間的距離：若A(X1/1),B(X2^2),則|AB，........|=T(2-1)2+(1)2?

19.向量的運(yùn)算律

交換律：~+~=~+，入(-)=(邛)，-?J=~?一

結(jié)合律：,+**)+”=.+「+)，-+乃+-=(-+C+,__e__=_-「+),Q

入

分配律：(入+|1)-=『+，1(，+p.?=一L+7

20.向量平行的充要條件："7廠"?G)—("?■>=(門(mén)門(mén))2cxiyr-x2yi=0?

21.兩個(gè)向量垂直的充要條件

設(shè)"=(X1加),①二儂/),

①向量式：?"=()；

②坐標(biāo)式：-**!**(****0)?-?XDQ+JIJ2=0O

③直線/isAix+Biy+Ci=0與htAix+B2y+C2=0垂直的充要條件是AIA2+BIB2=

0。

向量垂直的充要條件：-1儼「w~o)c-?”=oc「+q=r-n?%足+》產(chǎn)=()。

22.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)向量一=(x,y,z),則向量模的坐標(biāo)表示式門(mén)=72+2+2

設(shè)有點(diǎn)4=(x1〃/。，5t//卬)，則....=....-*******=(xi—x\yi—y\^2—z\

)

于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為||=|?|=〃2二

1)2+(21)2+(2

23.數(shù)量積

(1)數(shù)量定義

對(duì)于兩個(gè)向量“和"，它們的模n、ri及它們的夾角的余弦的乘積稱為向量一和”的數(shù)

量

24.數(shù)量積的性質(zhì)

①一=|12

②對(duì)于兩個(gè)非零向量一和e,如果*=0,貝!I-?!"**；反之，如果-則?.-=0o如

果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直，則-1*-L?=0。

25.數(shù)量積的運(yùn)算律

①交換律一?“=-「

②分配律：(”+")?W+"?-

③Q)e=。(廣)，(入)(D=啊I)入、為常數(shù)

26.數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)"*=(，>)?e=(,,)，則■?-*">=++

(5)兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

設(shè)=<，**>,則當(dāng)"*0,時(shí)，-皿=,一卡，

|一|門(mén)V24-2+2V2+2

+2

27.向量積

(1)向量積的定義

設(shè)向量一是由兩個(gè)向量.和“按下列方式定出：

一的模門(mén)=「irisin,其中為一和”間的夾角。

一的方向垂直于T和"所決定的平面，.的指向按右手定則從寮向”來(lái)確定。那么，向量一

叫做向量”與e的向量積，記作“Xe,即一=一X-

向量積的幾何意義：平行四邊形的面積

28.向量積的性質(zhì)

①-X』

②對(duì)于兩個(gè)非零向量.、e,如果-x^=0,貝!J一〃"；反之，如果F：貝！Jfx"=0。

29.向量積的運(yùn)算律

①交換律.xe=__x.

②分配律：C+^x-='x一+①x”

③.x-=.x(與=,為常數(shù)

30.向量積的坐標(biāo)表示

1=(-)-(-)+(-)

31.利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行

設(shè)一=(,,)wo1=(,,)，向量*7廣-，=~，

即,)=(>>),于是一=—=—

32.混合積

設(shè)已知三個(gè)向量a,b,c,先作兩向量。和b的向量積“xb把所得到的向量與第三個(gè)向

量。再作數(shù)量積(辦方)?c,這樣得到的數(shù)量叫做三向量a、氏c的混合積，記作[a,b,c].

[??b,c]=(a^b)?c=||-||+||=|I

幾何意義：以向量a,b,c,為棱長(zhǎng)的平行六面體的體積。

33.兩條平行線間的距離

若Zi：Ax+By+Ci=O,hz4r+妙+C2=(FF行，貝！I：d=?仁2|o

V2+2

34?點(diǎn)與直線的關(guān)系

點(diǎn)Po(xo,JO)到直線4c+W+C=0的距離為：d=\°+°+Io

」2十2

35.圓的方程的幾種形式

表達(dá)式圓心半徑

標(biāo)準(zhǔn)方程Q_a)2+(y_b)2=/(a，b)r

一般方程/+丹以+坳+尸=0,

V2+2-

(一2，-2)r~____4

22

(Z)+￡-4F>0)2

參數(shù)方程{=8s+

(fl,b)r

=sin+

37.排列數(shù)公式：=(-1)(-2)...(-+1)=(一\(肛〃￡N,m<n)

個(gè)相乘

如35=5x4x3=-一

(5-3)!

38.組合數(shù)公式：

=—=n(n-：W言=_如4=

(T)??21(_)1I33X2X1

39.組合數(shù)性質(zhì)

--，規(guī)定0==lo

40.二項(xiàng)式定理

(°+6)〃_oan.1儂方+…+ab+...+b(nr￡N*),其中組合數(shù)叫做第(r+

一i9

n-rrn

1)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開(kāi)式共有色+1)項(xiàng)，其中第3+1)項(xiàng)方性ab(尸=042…力稱為二

n-rr

項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng)。

41.等可能事件的概率

(1)幾何概率：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的幾何度量(面積或體積)成

正比。

p,八_構(gòu)成事件A的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)

B⑷一試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)

42.等可能事件的概率

①特點(diǎn)：所有基本事件有限個(gè)；每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等

包含的基本事件的個(gè)數(shù)

②概率公式：PQ)=?

基本事件的總數(shù)

43.古典概型概率的求法

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有"種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件

4包含其中的m種結(jié)果，那么事件4發(fā)生的概率為P。)_=

44.如果事件4和8互斥，貝!|P(4+B)=PU)+尸(B)(加法公式)。

45.如果4和8對(duì)立,貝!J：P(4)=1-P(B).

46.條件概率尸(B|)=一(),為在事件4發(fā)生條件下，事件5發(fā)生的概率。

()

47.獨(dú)立事件概率P(AB)=P(A)P(B|)=P(A)P(B),

48.〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生it次的概率

在“次重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，用瞇表示，事件發(fā)生的概率是

P，則在“次試驗(yàn)中恰好成功4次的概率為：P4=無(wú))=P?

49.兩點(diǎn)分布小力”

如果隨機(jī)變量X的分布列為

X01

P1斗P

則稱四艮從兩點(diǎn)分布，并稱尸8尸1)為成功概率。

50.二項(xiàng)分布

“次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件/發(fā)生的次數(shù)4是一個(gè)隨機(jī)變量，其所有可能的取值為0、1、

2、...〃，并且Pk=P(。=上)=

K

01n-k其史.㈣勺,9=1%，隨才1變量.能分;忖列如箝

PqpV+1.???P*產(chǎn)???pq

Q

HU

稱這樣的隨機(jī)變量《服從二項(xiàng)分布，記作4?Bgp),并稱p為成功概率，其中小p為

參數(shù)，并記p(l-P)n,愴，"，P)。

51.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中含有次品數(shù)記為6則事件付=心發(fā)生

的概率為p?=斤)=——二(后=12，…〃=min(",M),且n<N,M<N,n,M,NGN*),

其分布如下表所示：

E01???1

01-1

P???

稱這樣的隨機(jī)變量速?gòu)某瑤缀畏植迹涀鳌?曲,M,N),并將P(4=在」-由

為H(k；n,M,N)。

52.期望=平均數(shù)=_i(xi+xz+…+x?)

53.方差：s±(X2—)+...+(x?—)]

=i[(xi-)

54.標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(離散系數(shù))：2

55.離散型隨機(jī)變量的期望

E(0=pm+mx2+...+pM+...為強(qiáng)數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，簡(jiǎn)稱為期望。

00

E(X)=>

=1

若n=*+b,其中a.b為常數(shù)，則T1也是隨機(jī)變量，且E(n)=E(a^b)=aE^+bo

隨機(jī)變量期望的性質(zhì)：

①E(c>=c(c為常數(shù))；

0E(cX)=cE(X)；

③E(X±Y)=E(X)±E(Y)；

④(>=1)=)=*)；

⑤若X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y)?

56.離散型隨機(jī)變量的方差D(Q=PGLE?計(jì)—E?)+...+pK*—E?)+...+

222

p@-E?)為隨機(jī)變量小方差。

2

若n=*+b,其中a,b為常數(shù)，貝！1n也是隨機(jī)變量，且D(n)=D(*+b)=aD^

2

隨機(jī)變量方差的性質(zhì)：

①千

D(X)=),8()]2=E{[_()]2}；

額”器4常數(shù)工

④DQCWKXX)(c為常數(shù))；

⑤若X,Y相互獨(dú)立，貝！1D(X+Y)=D(X)+D(Y)；

@D(X)=E(X>[E(X)]?

22

役?隗劇蟀翻怛罐數(shù)是任意實(shí)數(shù),

函數(shù)F(x)=P{XWx},-8<X<8,稱為X的分布函數(shù)。

對(duì)于任意實(shí)數(shù)1,<2),

2(1

有P{1<2}=P|r

也就是，只要知道X的分笳普滋強(qiáng)們盛:2落在%。苴間(12]上的概率。

￡伸晶分以不舉法函數(shù)。對(duì)于任意實(shí)數(shù)1,0(2),有F(2)-(l)=p]K<2}>

0.

2.0^F(x)^lfiF(-oo)=lim()=0,F(8)=lim()=1

-?—COT8

3.(+0)=()即()右連續(xù)。

58.如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)()，存在非負(fù)可積函數(shù)(),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有(

￡?(),則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量，()稱為x的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度概率。

概率密度函數(shù)()具有以下性質(zhì)：

1.()>0

2;()=1

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)1,<兔，1有叫K<2}=F(2)-(1)=J()

2

4.若()在點(diǎn)x處連續(xù)，則有，()=

()X的概率密度為,1)，若積分切(x)小絕對(duì)收斂，則稱積分

警賈鬻爵翻船變量Y的數(shù)學(xué)期望。記為月⑶。即月⑴=(爐(%)公。

數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量有/)(*〉=Mx)dx,其中“x)是X的概率密度。

J-Z/

0<<3

例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度()={z-23<<4

0其他

(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù)F(x);求P11<夕}

解：由J8（）=1,得J3c+；34（2-J）=1>解得昌于是

—0006

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