2025屆吉林省長春市第72中學九年級數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆吉林省長春市第72中學九年級數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．把兩個同樣大小的含45°角的三角板如圖所示放置，其中一個三角板的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點，且另三個銳角頂點在同一直線上，若，則的長是（）A． B． C．0.5 D．2．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為（）A． B． C． D．3．在△ABC中，∠C=90°，則下列等式成立的是（）A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=4．若點A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜5．一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根6．我市某家快遞公司，今年8月份與10月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為6萬件和8.64萬件，設該快遞公司這兩個月投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A．6（1+x）＝8.64B．6（1+2x）＝8.64C．6（1+x）2＝8.64D．6+6（1+x）+6（1+x）2＝8.647．關于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一個解為x＝﹣1，則m的值為（）A．﹣2 B．2 C．5 D．﹣48．二次函數(shù)的圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列結(jié)論不正確的是（）A．B．當時，頂點的坐標為C．當時，D．當時，y隨x的增大而增大9．用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是（）．A． B． C． D．10．⊙O的半徑為5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,則AB與CD之間的距離為（）A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm二、填空題(每小題3分,共24分)11．若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是___________．12．如圖，一段拋物線：記為，它與軸交于兩點，；將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于；將繞旋轉(zhuǎn)得到，交軸于；如此進行下去，直至得到，若點在第段拋物線上，則___________．13．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，點C在⊙O上，∠CAB＝30°，D為的中點，P是直徑AB上一動點，則PC+PD的最小值為_____．14．已知袋中有若干個小球，它們除顏色外其它都相同，其中只有2個紅球，若隨機從中摸出一個，摸到紅球的概率是，則袋中小球的總個數(shù)是_____15．如圖所示，在中，，垂直平分，交于點，垂足為點，，，則等于___________．16．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，并且關于的一元二次方：有兩個不相等的實數(shù)根，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有__________．17．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，點C為OA的中點，CE⊥OA交于點E，以點O為圓心，OC的長為半徑作交OB于點D，若OA=2，則陰影部分的面積為.18．如圖，在半徑為3的⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點E，連接AC，BD．若AC＝2，則cosD＝________.三、解答題(共66分)19．（10分）拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過點A（﹣1，0），B（1，0），與y軸交于點C．點D（xD，yD）為拋物線上一個動點，其中1＜xD＜1．連接AC，BC，DB，DC．（1）求該拋物線的解析式；（2）當△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍時，求點D的坐標；（1）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．20．（6分）如圖，P是平面直角坐標系中第四象限內(nèi)一點，過點P作PA⊥x軸于點A，以AP為斜邊在右側(cè)作等腰Rt△APQ，已知直角頂點Q的縱坐標為﹣2，連結(jié)OQ交AP于B，BQ＝2OB．（1）求點P的坐標；（2）連結(jié)OP，求△OPQ的面積與△OAQ的面積之比．21．（6分）如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩觀景臺，A在B的正東方向，BP＝5（單位：km），有一艘小船停在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．（1）求A、B兩觀景臺之間的距離；（2）小船從點P處沿射線AP的方向進行沿途考察，求觀景臺B到射線AP的最短距離．（結(jié)果保留根號）22．（8分）計算：|1﹣|+．23．（8分）先化簡，再從中取一個恰當?shù)恼麛?shù)代入求值．24．（8分）定義：點P在△ABC的邊上，且與△ABC的頂點不重合．若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個三角形與△ABC相似（但不全等），則稱點P為△ABC的自相似點．如圖①，已知點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（3，0）、（0，1）．（1）若點P的坐標為（2，0），求證點P是△ABC的自相似點；（2）求除點（2，0）外△ABC所有自相似點的坐標；（3）如圖②，過點B作DB⊥BC交直線AC于點D，在直線AC上是否存在點G，使△GBD與△GBC有公共的自相似點？若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．25．（10分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）過點D作DE⊥BD，交BC的延長線于點E，若BC＝5，BD＝8，求四邊形ABED的周長．26．（10分）某單位準備組織員工到武夷山風景區(qū)旅游，旅行社給出了如下收費標準（如圖所示）：設參加旅游的員工人數(shù)為x人．（1）當25＜x＜40時，人均費用為元，當x≥40時，人均費用為元；（2）該單位共支付給旅行社旅游費用27000元，請問這次參加旅游的員工人數(shù)共有多少人？

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】過點D作BC的垂線DF，垂足為F，由題意可得出BC=AD=2，進而得出DF=BF=1，利用勾股定理可得出AF的長，即可得出AB的長．【詳解】解：過點D作BC的垂線DF，垂足為F，由題意可得出，BC=AD=2，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得出，DF=BF=1利用勾股定理求得：∴故選：D．【點睛】本題考查的知識點是等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)是解此題的關鍵．2、D【分析】證明BE：EC＝1：3，進而證明BE：BC＝1：4；證明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴，∴S△DOE：S△AOC＝，故選：D．【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)BE：EC＝1：3得到同高兩個三角形的底的關系是解題的關鍵，再利用相似三角形即可解答.3、B【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，進而分析得出答案．詳解：如圖所示：sinA=．故選B．點睛：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確記憶邊角關系是解題的關鍵．4、D【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中k＞1判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標的特點即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y＝中k＞1，∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。擤?＜1，∴點C（﹣2，y2）位于第三象限，∴y2＜1，∵1＜1＜2，∴點A（1，y1），B（2，y2）位于第一象限，∴y1＞y2＞1．∴y1＞y2＞y2．故選：D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象所在象限及增減性是解答此題的關鍵．5、B【分析】直接利用判別式△判斷即可．【詳解】∵△=∴一元二次方程有兩個不等的實根故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況，注意在求解判別式△時，正負號不要弄錯了．6、C【分析】設該快遞公司這兩個月投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)今年8月份與10月份完成投遞的快遞總件數(shù)，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設該快遞公司這兩個月投遞總件數(shù)的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：6（1+x）2＝8.1．故選：C．【點睛】此題主要考查一元二次方程的應用，解題的關鍵是熟知增長率的問題.7、B【分析】把x＝﹣1代入方程x1﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，然后解關于m的方程即可．【詳解】解：把x＝﹣1代入方程x1﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝1．故選：B．【點睛】本題主要考查對一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握8、C【解析】根據(jù)對稱軸公式和二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】解：∵二次函數(shù)∴對稱軸為直線∴，故A選項正確；當時，∴頂點的坐標為，故B選項正確；當時，由圖象知此時即∴，故C選項不正確；∵對稱軸為直線且圖象開口向上∴當時，y隨x的增大而增大，故D選項正確；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù).9、D【分析】根據(jù)配方法的原理，湊成完全平方式即可.【詳解】解：，，，故選D．【點睛】本題主要考查配方法的掌握，關鍵在于一次項的系數(shù)等于2倍的二次項系數(shù)和常數(shù)項的乘積.10、D【分析】分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況求得AB與CD的距離．構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出即可.【詳解】當弦AB和CD在圓心同側(cè)時，如圖①，過點O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點E，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；當弦AB和CD在圓心異側(cè)時，如圖②，過點O作OE⊥AB于點E，反向延長OE交AD于點F，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF+OE=7cm．故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理；熟練掌握垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關鍵，要注意有兩種情況．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)根的判別式可得方程有實數(shù)根則，然后列出不等式計算即可．【詳解】根據(jù)題意得：解得：故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程的根的情況確定與0的關系是關鍵．12、-1【分析】將這段拋物線C1通過配方法求出頂點坐標及拋物線與x軸的交點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道C1與C2的頂點到x軸的距離相等，且OA1＝A1A2，照此類推可以推導知道點P（11，m）為拋物線C6的頂點，從而得到結(jié)果．【詳解】∵y＝?x（x?2）（0≤x≤2），∴配方可得y＝?（x?1）2＋1（0≤x≤2），∴頂點坐標為（1，1），∴A1坐標為（2，0）∵C2由C1旋轉(zhuǎn)得到，∴OA1＝A1A2，即C2頂點坐標為（3，?1），A2（4，0）；照此類推可得，C3頂點坐標為（5，1），A3（6，0）；C4頂點坐標為（7，?1），A4（8，0）；C5頂點坐標為（9，1），A5（10，0）；C6頂點坐標為（11，?1），A6（12，0）；∴m＝?1．故答案為：-1．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是求出拋物線的頂點坐標，學會從一般到特殊的探究方法，屬于中考?？碱}型．13、3【分析】作出D關于AB的對稱點D'，則PC+PD的最小值就是CD'的長度．在△COD'中根據(jù)邊角關系即可求解．【詳解】作出D關于AB的對稱點D'，連接OC，OD'，CD'．又∵點C在⊙O上，∠CAB=30°，D為的中點，∴∠BAD'∠CAB=15°，∴∠CAD'=45°，∴∠COD'=90°．∴△COD'是等腰直角三角形．∵OC=OD'AB=3，∴CD'=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了圓周角定理以及路程的和最小的問題，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．14、8個【解析】根據(jù)概率公式結(jié)合取出紅球的概率即可求出袋中小球的總個數(shù)．【詳解】袋中小球的總個數(shù)是：2÷=8（個）．故答案為8個．【點睛】本題考查了概率公式，根據(jù)概率公式算出球的總個數(shù)是解題的關鍵．15、3cm【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出，求出，求出∠EAC，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵在△ABC中，∵垂直平分，故答案為：3cm．【點睛】本題考查了三角形的邊長問題，掌握三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．16、③【分析】①利用可以用來判定二次函數(shù)與x軸交點個數(shù)，即可得出答案；②根據(jù)圖中當時的值得正負即可判斷；③由函數(shù)開口方向可判斷的正負，根據(jù)對稱軸可判斷的正負，再根據(jù)函數(shù)與軸交點可得出的正負，即可得出答案；④根據(jù)方程可以看做函數(shù)，就相當于函數(shù)(a0)向下平移個單位長度，且與有兩個交點，即可得出答案.【詳解】解：①∵函數(shù)與軸有兩個交點，∴，所以①錯誤；②∵當時，,由圖可知當，，∴，所以②錯誤；③∵函數(shù)開口向上，∴，∵對稱軸，，∴，∵函數(shù)與軸交于負半軸，∴,∴，所以③正確；④方程可以看做函數(shù)當y=0時也就是與軸交點，∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴函數(shù)與軸有兩個交點∵函數(shù)就相當于函數(shù)向下平移個單位長度∴由圖可知當函數(shù)向上平移大于2個單位長度時，交點不足2個，∴，所以④錯誤.正確答案為:③【點睛】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系：可以用來判定二次函數(shù)與x軸交點的個數(shù)，當時，函數(shù)與x軸有2個交點；當時，函數(shù)與x軸有1個交點；當時，函數(shù)與x軸沒有交點.；二次函數(shù)系數(shù)中決定開口方向，當時，開口向上，當時，開口向下；共同決定對稱軸的位置，可以根據(jù)“左同右異”來判斷；決定函數(shù)與軸交點.17、.【解析】試題解析：連接OE、AE，∵點C為OA的中點，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO為等邊三角形，∴S扇形AOE=∴S陰影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-S△COE）===．18、【解析】試題分析：連接BC，∴∠D=∠A，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=3×2=6，AC=2，∴cosD=cosA===．故答案為．考點：1．圓周角定理；2．解直角三角形．三、解答題(共66分)19、（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）點D坐標（2，1）；（1）M坐標（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)解析式先求出△AOC的面積，設點D（xD，yD），由直線BC的解析式表示點E的坐標，求出DE的長，再由△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍，列出關于xD的方程得到點D的坐標；（1）設點M（m，0），點N（x，y），分兩種情況討論：當BD為邊時或BD為對角線時，列中點關系式解答.【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過點A（﹣1，0），B（1，0），∴，解得：∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）如圖，過點D作DH⊥x軸，與直線BC交于點E，∵拋物線y＝﹣x2+2x+1，與y軸交于點C，∴點C（0，1），∴OC＝1，∴S△AOC＝×1×1＝，∵點B（1，0），點C（0，1）∴直線BC解析式為y＝﹣x+1，∵點D（xD，yD），∴點E（xD，﹣xD+1），yD＝﹣xD2+2xD+1，∴DE＝﹣xD2+2xD+1﹣（﹣xD+1）＝﹣xD2+1xD，∴S△BCD＝1＝×DE×1，∵△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍∴2＝﹣xD2+1xD，∴xD＝1（舍去），xD＝2，∴點D坐標（2，1）；（1）設點M（m，0），點N（x，y）當BD為邊，四邊形BDNM是平行四邊形，∴BN與DM互相平分，∴，∴y＝1，∴1＝﹣x2+2x+1∴x＝2（不合題意），x＝0∴點N（0，1）∴，∴m＝1，當BD為邊，四邊形BDMN是平行四邊形，∴BM與DN互相平分，∴，∴y＝﹣1，∴﹣1＝﹣x2+2x+1∴x＝1±，∴，∴m＝±，當BD為對角線，∴BD中點坐標（，），∴，，∴y＝1，∴1＝﹣x2+2x+1∴x＝2（不合題意），x＝0∴點N（0，1）∴m＝5，綜上所述點M坐標（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，動線、動圖形與拋物線的結(jié)合問題，在（1）使以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，要分情況討論：當BD為邊時或BD為對角線時，不要有遺漏，平行四邊形的性質(zhì)：對角線互相平分，列中點坐標等式求得點M的坐標.20、（1）點P的坐標（1，﹣4）；（2）△OPQ的面積與△OAQ的面積之比為1．【分析】（1）過Q作QC⊥x軸于C，先求得AC＝QC＝2、AQ＝2、AP＝4，然后再由AB∥CQ，運營平行線等分線段定理求得OA的長，最后結(jié)合AP=4即可解答；（2）先說明△OAB∽△OCQ，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得AB和PB的長，然后再求出△OPQ和△OAQ的面積，最后作比即可．【詳解】解：（1）過Q作QC⊥x軸于C，∵△APQ是等腰直角三角形，∴∠PAQ＝∠CAQ＝41°，∴AC＝QC＝2，AQ＝2，AP＝4，∵AB∥CQ，∴，∴OA＝AC＝1，∴點P的坐標（1，﹣4）；（2）∵AB∥CQ，∴△OAB∽△OCQ，∴，∴AB＝CQ＝，∴PB＝，∴S△OAQ＝OA?CQ＝×1×2＝1，S△OPQ＝PB?OA+PB?AC＝1，∴△OPQ的面積與△OAQ的面積之比＝1．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理以及三角形的面積，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關鍵．21、（1）A、B兩觀景臺之間的距離為＝（5+5）km；（2）觀測站B到射線AP的最短距離為（）km．【分析】（1）過點P作PD⊥AB于點D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長，然后根據(jù)BD+AD=AB，即可求解；

（2）過點B作BF⊥AC于點F，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，過點P作PD⊥AB于點D．在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝PD＝BP＝5km．在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝PD＝5km，PA＝1．∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；答：A、B兩觀景臺之間的距離為＝（5+5）km；（2）如圖，過點B作BF⊥AC于點F，則∠BAP＝30°，∵AB＝（5+5），∴BF＝AB＝（）km．答：觀測站B到射線AP的最短距離為（）km．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，難度適中．通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵．22、1．【分析】根據(jù)根式、絕對值、指數(shù)的運算，以及特殊角的三角函數(shù)值，即可求得.【詳解】|1﹣|+（﹣cos60°）2﹣﹣（2+3）0＝﹣1+4﹣+3﹣1＝1【點睛】本題考查根式、絕對值、指數(shù)的運算，以及特殊角的三角函數(shù)值，屬基礎題.23、，0【分析】根據(jù)分式的混合運算法則進行計算化簡，再代入符合條件的x值進行計算.【詳解】解：原式====又∵且，，∴整數(shù)．∴原式=．【點睛】考核知識點：分式的化簡求值.掌握分式的基本運算法則是關鍵.24、（1）見解析；（2）△CPA∽△CAB，此時P（，）；△BPA∽△BAC，此時P(，)；（3）S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點，見解析【分析】（1）利用：兩邊對應成比例且夾角相等,證明△APC∽△CAB即可；（2）分類討論：△CPA∽△CAB和△BPA∽△BAC，分別求得P點的坐標；（3）先求得點D的坐標，說明點G（5，）、S（3，-2）在直線AC：上，證得△ABC△SGB，再證得△GBS∽△GCB，說明點S是△GBC的自相似點；又證得△DBG△DSB，說明點S是△GBD的自相似點．從而說明S（3，-2）是△GBD與△GBC公共的自相似點.【詳解】（1）如圖，∵A（1，0），B（3，0），C（0，1），P（2，0），∴AP=2－1＝1，AC=，AB=3-1=2，∴，，∴=，∵∠PAC=∠CAB，∴△APC∽△CAB，故點P是△ABC的自相似點；（2）點P只能在BC上，①△CPA∽△CAB，如圖，由(1)得：AC，AB，又，∵△CPA∽△CAB，∴，∴，∴，過點P作PD∥y軸交軸于D，∴，，∴，，∴，，P點的坐標為(，)②△BPA∽△BAC，如圖，由前面獲得的數(shù)據(jù)：AB，，∵△BPA∽△BAC，∴，∴，∴，過點P作PE∥y軸交軸于E，∴，∴，∴，，∴，P點的坐標為(，)；（3）存在．當點G的坐標為（5，）時，△GBD與△GBC公共的自相似點為S（3，）．理由如下：如圖：設直線AC的解析式為：，

∴，解得：，∴直線AC的解析式為：，過點D作DE⊥x軸于點E，

∵∠CBO+∠DBE=90，∠EDB+∠DBE=90，∴∠CBO=∠EDB，∴，∴，設BE=a，則DE=3a，∴OE=3-a，∴點D的坐標為(3-a，-3a)，∵點D在直線AC上，∴，解得：，∴點D的坐標為(，)；如下圖：當點G的坐標為（5，）時，△GBD與△GBC公共的自相似點為S（3，）．直線AC的解析式為：，

∵，，∴點G、點S在直線AC上，過點G作GH⊥x軸于點H，∵，∴，由S（3，）、B（3，0）知BS⊥x軸，∴△AED、△ABS、△AHG為等腰直角三角形，∵D(，)，S，G(，∴，，B，，，，，，，，在△ABC和△SGB中∵，，∴，∵∴∴△ABC△SGB∴∠SBG=∠BCA，又∠SGB=∠BGC，∴△GBS∽△GCB，∴點S是△GBC的自相似點；在△DBG和△DSB中，∵，，∴，且，∴△DBG△DSB；∴點S是△GBD的自相似點．∴S（3，）是△GB