備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)5.1三角函數(shù)的定義(精講)(原卷版+解析)

5.1三角函數(shù)的定義（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一扇形的弧長與面積【例1-1】（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【例1-2】（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，是圓：上兩點(diǎn)，動點(diǎn)從出發(fā)，沿著圓周按逆時(shí)針方向走到，其路徑長度的最小值為（

）A． B．C． D．【例1-3】（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（文））在長方體中，，，，點(diǎn)P在長方體的面上運(yùn)動，且滿足，則P的軌跡長度為（

）A．12π B．8π C．6π D．4π【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長為________.3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若球的半徑為（為常量），且球面上兩點(diǎn)，的最短距離為，經(jīng)過，兩點(diǎn)的平面截球所得的圓面與球心的距離為，則在此圓面上劣弧所在的弓形面積為___________.考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（

）A． B．或 C． D．【例2-2】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知角，的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，角的終邊過點(diǎn)，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，角和角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線對稱，若，則（

）A． B． C． D．2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與圓相交于點(diǎn)，角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)在第一象限內(nèi).若，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三判斷三角函數(shù)值的正負(fù)【例3-1】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【例3-2】（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A． B． C． D．【例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若，的化簡結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）（多選）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則下列各式的符號無法確定的是（

）A． B． C． D．2（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是第二象限角，則下列選項(xiàng)中一定正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為陰影區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)（不包括邊界），這里，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四三角函數(shù)線【例4-1】（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知，，，則（

）A． B． C． D．【例4-2】（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè),則下列命題:①;②;③是單調(diào)減函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．33．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．5.1三角函數(shù)的定義（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一扇形的弧長與面積【例1-1】（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：【例1-2】（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)，是圓：上兩點(diǎn)，動點(diǎn)從出發(fā)，沿著圓周按逆時(shí)針方向走到，其路徑長度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)在的終邊，在的終邊上，設(shè),，優(yōu)弧的圓心角為弧長=，故選:C【例1-3】（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（文））在長方體中，，，，點(diǎn)P在長方體的面上運(yùn)動，且滿足，則P的軌跡長度為（

）A．12π B．8π C．6π D．4π【答案】C【解析】如圖，在左側(cè)面的軌跡為弧，在后側(cè)面的軌跡為弧，在右側(cè)面的軌跡為弧，在前側(cè)面內(nèi)的軌跡為弧.易知，，又，，∴，則，∴P的軌跡長度為6π，故選：C.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，如圖所示，由正弦定理得，所以，內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對應(yīng)的圓心角為，則弓形的面積為，外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，則月牙形的面積為.故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為6的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是正方形（包括邊界）上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)的軌跡周長為________.【答案】【解析】如圖，在棱長為6的正方體中，則平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如圖，在平面中，以為原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由，知，化簡整理得，，圓心，半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡為圓與四邊形的交點(diǎn)，即為圖中的其中，，，則由弧長公式知故答案為：.3．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若球的半徑為（為常量），且球面上兩點(diǎn)，的最短距離為，經(jīng)過，兩點(diǎn)的平面截球所得的圓面與球心的距離為，則在此圓面上劣弧所在的弓形面積為___________.【答案】【解析】因?yàn)榍虻陌霃綖?，球面上兩點(diǎn)，的最短距離為，所以，設(shè)經(jīng)過，兩點(diǎn)的平面截球所得的圓面為圓，則平面，且，所以截面圓圓的半徑，連接，因?yàn)?，，所以線段，在中，，，由余弦定理可得：，所以，所以在此圓面上劣弧所在的弓形面積為扇形的面積減去的面積，即為：，故答案為：.考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（

）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】．因?yàn)椋?，，所以，所以，故選：D．【例2-2】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知角，的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，角的終邊過點(diǎn)，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，，，.故選：C.【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，角和角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線對稱，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】角和角的終邊關(guān)于直線對稱，則，．．故選：C．2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與圓相交于點(diǎn)，角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義可知，，，，，故選：．3．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)在第一象限內(nèi).若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以，.因?yàn)?，所以，即，將代入，得，即，解得，?dāng)時(shí)，（舍）；當(dāng)時(shí)，；所以.故選：C.考點(diǎn)三判斷三角函數(shù)值的正負(fù)【例3-1】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)榻堑诙笙藿?所以，所以，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．【例3-2】（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，所以另解：因?yàn)?，所以，，所以．故選：C【例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若，的化簡結(jié)果是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由，，得，故選：C．【一隅三反】1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）（多選）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若，則下列各式的符號無法確定的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由三角函數(shù)定義，，所以，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以選項(xiàng)A符號無法確定；對于B選項(xiàng)，，所以選項(xiàng)B符號確定；對于C選項(xiàng)，，故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以選項(xiàng)C的符號無法確定；對于D選項(xiàng)，，所以選項(xiàng)D符號確定.所以下列各式的符號無法確定的是AC選項(xiàng).故選：AC.2（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是第二象限角，則下列選項(xiàng)中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，則，，所以為第三或第四象限角或終邊在軸負(fù)半軸上，所以選項(xiàng)A不一定正確；可能不存在，選項(xiàng)B也不一定正確；又，，是第一象限或第三象限角，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不一定正確.故選:C．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為陰影區(qū)域內(nèi)的動點(diǎn)（不包括邊界），這里，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，則．設(shè)與相平行的直線的方程為，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線過點(diǎn)和時(shí)，；直線過點(diǎn)和時(shí)，．則由圖中陰影部分可得或，這里．則一定有．考點(diǎn)四三角函數(shù)線【例4-1】（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)，，，所以，又，所以故選：D【例4-2】（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先證明：當(dāng)0＜x＜時(shí)，如圖，角x終邊為OP，其中點(diǎn)P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸，交x軸與點(diǎn)M，A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，AT⊥x軸，交角x終邊于點(diǎn)T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即所以＜＜，即所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以又由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則所以所以，即故選：C．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知點(diǎn)在第一象限得：，，即，，當(dāng)，可得，．當(dāng)，可得或，．或，．當(dāng)時(shí)，或．，或．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè),則下列命題:①;②;③是單調(diào)減函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】對于①，在如圖所示的單位圓中，設(shè)，則,因?yàn)?，所以由可得，即，所以①正確；對于②，令，所以，因?yàn)?/p>