華東師大版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章勾股定理素養(yǎng)綜合檢測(cè)課件

第14章素養(yǎng)綜合檢測(cè)(滿分100分,限時(shí)60分鐘)一、選擇題(每小題3分,共30分)1.(分類討論思想)(2024貴州六盤水期末)若直角三角形的三

邊長(zhǎng)分別為a、b、c,其中a=9,b=12,則c2的值為

(

)A.15

B.225C.63

D.225或63D解析當(dāng)b=12是直角邊長(zhǎng)時(shí),c2的值=92+122=225;當(dāng)b=12是斜

邊長(zhǎng)時(shí),c2的值=122-92=63.綜上,c2的值為225或63.故選D.2.(2024福建泉州永春期末)已知△ABC中,∠B≠∠C,求證:AB

≠AC.若用反證法證這個(gè)結(jié)論,應(yīng)先假設(shè)

(

)A.∠B=∠C

B.∠A=∠BC.AB=AC

D.AB=BCC解析用反證法證這個(gè)結(jié)論,應(yīng)先假設(shè)結(jié)論不成立,即AB=

AC.故選C.3.(勾股樹模型)(2024四川成都青羊期末)如圖,在Rt△ACB中,

∠ACB=90°,正方形AEDC和正方形BCFG的面積分別為25和

144,則AB的長(zhǎng)度為

(

)A.13

B.169C.119

D.

A解析由正方形的面積得AC2=25,BC2=144,∴在Rt△ACB中,

AB=

=

=13.故選A.4.下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是

(

)A.6,7,8

B.5,8,13C.1.5,2,2.5

D.5,12,13D解析

A.62+72≠82,故6,7,8不是勾股數(shù);B.52+82≠132,故5,8,13

不是勾股數(shù);C.1.52+22=2.52,但1.5和2.5不是正整數(shù),故1.5,2,2.5

不是勾股數(shù);D.52+122=132,且5,12,13是正整數(shù),故5,12,13是勾

股數(shù).故選D.5.(2023山東棗莊嶧城東方國(guó)際學(xué)校月考)三角形的三邊長(zhǎng)為

a,b,c,且滿足(a+b)2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是

(

)A.等邊三角形

B.鈍角三角形C.直角三角形

D.銳角三角形C解析∵(a+b)2=c2+2ab,∴a2+2ab+b2=c2+2ab,∴a2+b2=c2,∴這

個(gè)三角形是直角三角形.故選C.6.(2023山西太原實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,

BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,則點(diǎn)D到BC的距

離是

(

)A.3

B.4

C.5

D.6A解析∵∠A=90°,AB=4,BD=5,∴AD=

=3.∵BD平分∠ABC,∴點(diǎn)D到BC的距離=AD=3.故選A.7.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,則能作為判定△ABC為直角

三角形的條件是

(

)A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5B.a∶b∶c=1∶2∶3C.a=5,b=12,c=13D.a=4,b=6,c=8C解析∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°×

=75°,∴△ABC不是直角三角形,故A不符合題意;∵a∶b∶c=1∶2∶3,∴可設(shè)a=k,b=2k,c=3k,∴a+b=

k+2k=3k=c,∴不能組成三角形,故B不符合題意;∵a2+b2=52+122=169,c2=1

32=169,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故C符合題意;∵a2+b2=42+

62=52,c2=82=64,∴a2+b2≠c2,∴△ABC不是直角三角形,故D不符合題意.故選C.8.(教材變式·P127T5)如圖,所有的四邊形都是正方形,所有的

三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面積分別

是6、10、4、6,則最大正方形E的面積是

(

)

A.20

B.26

C.30

D.52B解析根據(jù)勾股定理的幾何意義,可得最大正方形E的面積=

A、B的面積和+C、D的面積和,即6+10+4+6=26.故選B.9.(易錯(cuò)題)(2023福建寧德博雅培文學(xué)校月考)在△ABC中,AB

=15,AC=13,BC邊上的高AD的長(zhǎng)為12,則△ABC的面積為

(

)A.84

B.24C.24或84

D.42或84C解析解題時(shí)想當(dāng)然認(rèn)為此三角形是銳角三角形而導(dǎo)致漏

解.分兩種情況:①△ABC為銳角三角形時(shí),高AD在△ABC的內(nèi)

部,如圖1,∴BD=

=9,CD=

=5,∴△ABC的面積=

×(9+5)×12=84.

圖2圖1②△ABC為鈍角三角形時(shí),高AD在△ABC的外部,如圖2,∴

BD=

=9,CD=

=5,∴△ABC的面積=

×(9-5)×12=24.綜上,△ABC的面積為24或84.故選C.10.(情境題·數(shù)學(xué)文化)美國(guó)數(shù)學(xué)家加菲爾德在1876年提出了

證明勾股定理的一種巧妙方法,如圖,在直角梯形ABCD中,AB

∥CD,∠B=90°,E是邊BC上一點(diǎn),且BE=CD=a,AB=EC=b.如果

△ABE的面積為1,且a-b=1,那么△ADE的面積為

(

)

A.1

B.2

C.2.5

D.5C解析∵AB∥CD,∠B=90°,∴∠C=∠B=90°,∵BE=CD=a,AB=EC=b,∴△ABE≌△ECD,∴AE=DE,∠AEB=∠EDC,∵∠EDC+∠DEC=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°,∴∠AED=90°,∴△AED是等腰直角三角形,∴△ADE的面積=

AE2,∵△ABE的面積為1,∴

ab=1,∴ab=2,∵a-b=1,∴(a-b)2=a2+b2-2ab=1,∴a2+b2=5,AE2=AB2+BE2=a2+b2=5,∴△ADE的面積=

×5=2.5.故選C.11.(2023四川宜賓敘州期末)命題:“三角形中至少有兩個(gè)角

是銳角”,用反證法第一步需要假設(shè)

.二、填空題(每小題4分,共24分)最多有一個(gè)內(nèi)角是銳角解析假設(shè)結(jié)論不成立,即假設(shè)在△ABC中,最多有一個(gè)內(nèi)角

是銳角.12.在△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24,則BC=

.7解析由勾股定理得BC=

=

=7.13.(最短路徑模型)(2024四川成都青羊?qū)嶒?yàn)中學(xué)期中)如圖,

圓柱體的底面圓周長(zhǎng)為16cm,高AB為6cm,BC是上底面的直

徑.一只螞蟻從圓柱的表面點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到

點(diǎn)C,則爬行的最短路程為

cm.10解析圓柱體的側(cè)面展開圖如圖所示(示意圖),∵底面圓周

長(zhǎng)為16cm,∴AD=BC=8cm,又∵AB=6cm,∴在Rt△ABC中,

AC=

=10cm,即螞蟻爬行的最短路程為10cm.

14.(新考法)(2024湖南長(zhǎng)沙雅禮教育集團(tuán)期末)如圖,數(shù)軸上

的點(diǎn)O、A、B分別對(duì)應(yīng)數(shù)字0、2、3,過(guò)點(diǎn)B作PQ⊥AB,以點(diǎn)

B為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交PQ于點(diǎn)C,以原點(diǎn)O為圓心,OC

長(zhǎng)為半徑畫弧,交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)為

.

解析本題將尺規(guī)作圖與實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、勾股定理綜

合在一起考查,比較新穎.由題意,得BC=AB=1,在Rt△OCB中,

∵OB=3,BC=1,∴OC=

=

=

,∴OM=

,即點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是

.15.(新考向·數(shù)學(xué)文化)(2023江蘇南通中考)勾股數(shù)是指能成

為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù),世界上第一次給出勾

股數(shù)公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)

a,b,c,其中a,b均小于c,a=

m2-

,c=

m2+

,則b=

(用含m的式子表示).

m解析∵a,b,c是勾股數(shù),其中a,b均小于c,a=

m2-

,c=

m2+

,∴b2=c2-a2=

-

=

m4+

+

m2-

=

m4+

+

m2-

m4-

+

m2=m2,易知m是大于1的奇數(shù),∴b=m.16.(新考向·規(guī)律探究試題)圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)

(ICME)的會(huì)徽,主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角

形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,現(xiàn)把圖2中的

直角三角形繼續(xù)作下去,則OA4=

,OAn=

;若

OA3·OAn的值是整數(shù),且1≤n≤80(n≠3),則符合條件的n有

個(gè).2

4解析由勾股定理得OA2=

=

=

,同理可得OA3=

,OA4=

=2,……,∴OAn=

,∴OA3·OAn=

,當(dāng)1≤n≤80(n≠3),且

為整數(shù)時(shí),整數(shù)n可以是12、27、48、75,共4個(gè).17.(2023湖北隨州曾都期末)(8分)已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c.(1)若∠C=90°,a=24,c=25,求b的值.(2)若a,b,c滿足|a-5|+(b-12)2+

=0,試判斷△ABC的形狀.三、解答題(共46分)解析

(1)∵∠C=90°,a=24,c=25,∴b=

=

=7.(2)∵|a-5|+(b-12)2+

=0,∴a-5=0,b-12=0,c-13=0,∴a=5,b=12,c=13,∴a2+b2=52+122=169,c2=132=169,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.18.(新獨(dú)家原創(chuàng))(8分)如圖,已知△ABC中,AB=17,BC=13,D是

AB上一點(diǎn),連結(jié)CD,且CD=12,BD=5,求AC的長(zhǎng).

解析在△BCD中,CD=12,BD=5,BC=13,∴CD2+BD2=122+52=169,BC2=132=169,∴CD2+BD2=BC2,∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.在Rt△ACD中,AD=AB-BD=17-5=12.∴AC=

=

=12

.19.(2024江蘇鎮(zhèn)江丹陽(yáng)期中)(9分)滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整

數(shù),稱為勾股數(shù).(1)請(qǐng)把下列三組勾股數(shù)補(bǔ)充完整:①

,8,10;②5,

,13;③8,15,

.(2)任取兩個(gè)正整數(shù)m和n(m>n),請(qǐng)你證明這三個(gè)正整數(shù)2mn,

m2+n2,m2-n2是勾股數(shù).61217解析

(1)①6②12③17.(2)證明:∵(2mn)2=4m2n2,(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2,(m2-n2)2=m4+n4-2

m2n2,∴(2mn)2+(m2-n2)2=(m2+n2)2,∴任取兩個(gè)正整數(shù)m和n

(m>n),這三個(gè)正整數(shù)2mn,m2+n2,m2-n2是勾股數(shù).20.(跨學(xué)科·美術(shù))(2023福建龍巖漳平期末)(10分)意大利著名

畫家達(dá)·芬奇用如圖所示的方法證明了勾股定理,其中圖1的

空白部分由兩個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形組成,圖2的空白

部分由兩個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成.設(shè)圖1中空白部

分的面積為S1,圖2中空白部分的面積為S2.圖1圖2(1)請(qǐng)用含a,b,c的代數(shù)式分別表示S1,S2.(2)請(qǐng)利用達(dá)·芬奇的方法證明勾股定理.解析

(1)根據(jù)題意得,S1=a2+b2+2×

ab=a2+b2+