專題08 二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題（解析版）（人教版）

專題08二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題的四種考法拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標為t.(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S.①求S關(guān)于t的函數(shù)表達式；②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標.(3)如圖2，設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D，在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.y2=①S=t；②點P到直線BC的距離的最大值為此時點P的坐標為(3)存在，M(1,6)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；)，則點F的坐標為(t,t+3)，根據(jù)三角形的面積公式得出②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出當取最大值，最大值為勾股定理求得BC，等面積法求得點P到直線BC的距離，進而得出P的坐標；（3）如圖2，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，因為拋物線y=一x2+bx+c與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點，所以拋物線的對稱軸為直線x=1，由平行四邊形的性質(zhì)及平移規(guī)律可求出點M的坐標；當xP12時，不存在.得解得：（2）①在圖1中，過點P作PF∥y軸，交BC于點F.解得：2∴當t=取最大值，最大值為.+OC2∴點P到直線BC的距離的最大值為2+2×則此時點P的坐標為（3）如圖2，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，:拋物線的對稱軸為直線x=1，:xP=2，:P(2,3)，:C(0,3)，:yC一yD=3，:yM一yP=3，:yM=6，:點M的坐標為(1,6)；當xP12時，不存在，理由如下，若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，:點C的橫坐標為0，點E的橫坐標為1，又:xP12，:不存在，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)的思想求極值，平行四邊形的存在性等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運用平行四邊形的性質(zhì)及判定等.【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側(cè)直線y=x+m與拋物線交于A、C兩點.(1)求點C的坐標；(2)點P為直線AC下方拋物線上一點，過點P作y軸平行線交AC于E點，當EP最長時求此時點P的坐標；(3)拋物線頂點為M，在平面內(nèi)是否存在點N，使以A,B,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出N點坐標并在備用圖中畫出圖形；若不存在，請說明理由.【答案】(1)C(4,5)【詳解】（1）解：在y=x2-2x-3中，令y=0，得x2-2x-3=0，:A(-1,0),B(3,0)，:直線y=x+m經(jīng)過點A(-1,0)，:直線AC的解析式為y=x+1，聯(lián)立方程組，得2x-3，解得:C(4,5)；（2）如圖1，設(shè)點P(n,n2-2n-3)，則點E(n,n+1)，:PE=n+1-=-n2+3n+4=-，:-1<0，:當n=時，PE取得最大值，此時，P（3）:y=x2-2x-3=(x-1)2-4，如圖2，點A,B,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形時，設(shè)N(m,n)，分三種情況：①BM為對角線時，AN的中點與BM的中點重合，②AM為對角線時，BN的中點與AM的中點重合，:N2(-3，③AB為對角線時，MN的中點與AB的中點重合，:N3(1,4)，【點睛】本題考查了求拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，要分情況討論求解，以防遺漏.【變式訓(xùn)練2】如圖，拋物線y=ax2+bx-經(jīng)過A兩點.(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使得PA+PC值最小，求最小值；(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.x2-2x-【分析】（1）把A(-1,0)，B(5,0)兩點代入求出a、b的值即可；（2）因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點B的坐標為(5,0)，連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論.【詳解】（1）解：:拋物線y=ax2+bx-經(jīng)過A兩點，：，:此拋物線的解析式為x2-2x-（2）如圖，連接BC，交對稱軸于點P，:拋物線的解析式為x2-2x- :其對稱軸為直線當x=0時又:B(5,0)，:設(shè)BC的解析式為y=kx+b(k≠0)，：，:BC的解析式為（3）存在，如圖所示：①當點N在x軸下方時，:拋物線的對稱軸為x=2，C，②當點N在x軸上方時，如圖，過點N2作N2D丄x軸于點D，在△AN2D和△M2CO中:△AN2D≌△M2CO:N2D=OC=，即N2點的縱坐標為x2-2x-解得：x=2+或x=2-，綜上所述符合條件的N的坐標有【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，兩點間距離的求解，在解答（3）時要注意進行分類討論.【變式訓(xùn)練3】綜合與實踐如圖，拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)與y軸交于點C，點B的坐標是(4，0)，點C的坐標是(0，2)，拋物線的對稱軸交x軸于點D．連接CD.(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)點E在x軸上運動，點F在拋物線上運動，當以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點E的坐標.存在，或或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況：以C為頂點，即CP=CD；以D為頂點，即CD=PD，利用勾股定理及等腰三角形的定義建立方程即可完成；（3）分三種情況：當BC是對角線時；當BE是對角線時；當BF是對角線時；分別設(shè)點E與F的坐標，利用中點坐標公式即可求解.解得：∴所求拋物線解析式為x+2；（2）解：存在2(2,由拋物線解析式知，其對稱軸為直線x=3，D(|32(2,2①以C為頂點，即CP=CD時；(3)∴點P的坐標|(2,4,|(3)②以D為頂點，即CD=PD時，則t2=，((35)(35)∴點P的坐標為|(2,2,|或|(2,-2,|，((3)(35)(35)綜上，點P的坐標為|,4|或|-綜上，點P的坐標為|,4|或|--|或|-|；（3）解：設(shè)點E的坐標為(m,0)，點F的坐標為①當BC是對角線時；解得：或∴點E的坐標(1,0)；②當BE是對角線時；解得：(-5+·41)(-5-·41)(2,(2,∴點E的坐標為|,0|或(2,(2,③當BF是對角線時；解得：或∴點E的坐標(7,0)；綜上，點E的坐標為或或或【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中點坐標公式，勾股定理等知識，本題有一定的綜合性，注意分類討論.為D.(1)求拋物線的表達式；(2)若點E在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形ODEB的面積為7·3，求點E的坐標；(3)在（2）的條件下，若點F是對稱軸上一點，點H是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點G，使以E，F(xiàn)，G，H為頂點的四邊形是菱形，且LEFG=60。，如果存在，請直接寫出點G的坐標；如果不存在，請說明理由.3x2(3)存在，點G的坐標為或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）方法一：連接DB，過點E作EP∥y軸交BD于點P．先求得直線BD的表達式為：x,-2y3x+6v3)，則+4·3x-3·3，利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；方法二：令拋物線的對稱軸與x軸交于點M，過點E作EN丄x軸于點N，設(shè)E利用面積構(gòu)造一元二次方程求解即可得解；（3）如下圖，連接CG，DG，由菱形及等邊三角形的性質(zhì)證明ΔCEG≌ΔDEF得又連接CG，DG，CF，證ΔDGE≌ΔCFE．得DG=CF，又證ΔCDG≌ΔCEG．得LDCG=LECG=30。．進而求得直線CG的表達式為3x+3聯(lián)立方程組求解即可.∴拋物線的表達式為：y=-3x2+23x+33.（2）解：方法一：如下圖，連接DB，過點E作EP∥y軸交BD于點P.∴D.解得x=-1或x=3，設(shè)直線BD為y=kx+b，解得，， 2整理得x2-4x+4=0，解得x1=x2=2..拋物線的對稱軸與x軸交于點M，過點E作EN丄x軸于點N，)，∴BN=3-x，MN=x-12.(3-x) 2整理得x2-4x+4=0，解得x1=x2=2..（3）解：存在，點G的坐標為或如下圖，連接CG，DG，∴△EFG是等邊三角形.∵E，+12=2，點C與點E關(guān)于對稱軸x=1對稱，∴△DCE是等邊三角形，LEDF=LCDE，∴點G坐標為如下圖，連接CG，DG，CF，同理可證：△EFG是等邊三角形，△DCE是等邊三角形，ΔDGE≌ΔCFE.∴與拋物線表達式聯(lián)立得∴點G坐標為.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，一元二次方程的應(yīng)用，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.(1)求拋物線的表達式；(2)若點D是直線AC上方拋物線上一動點，連接BC，AD和BD，BD交AC于點M，設(shè)△ADM的面積為S1，△BCM的面積為S2，當S1-S2=1時，求點D的坐標；(3)如圖2，若點P是拋物線上一動點，過點P作PQ丄x軸交直線AC于Q點，請問在y軸上是否存在點E，使以P，Q，E，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)y=-x2+2x+3(3)符合條件的點E有三個，坐標為)代入解析式求解即可；程求解即可；（3）分類當CQ為對角線和菱形邊時，利用直線AC與x軸成45。角關(guān)系建立關(guān)于P的橫坐標的方程，進而求出點的坐標.【詳解】（1）把點A(3,0)和B(-1,0)代入得解得：，:拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；（2）設(shè)D(x,y)，對于拋物線y=-x2+2x+3，令x=0，則y=3，:C(0,3).:S-S=112，:S1:S-S=12:點D的坐標是或（3）設(shè)直線AC解析式是y=kx+b，①當CQ為菱形的對角線時，如圖2，PE垂直平分CQ，此時四邊形CEQP是正方形.:PQ=EQ.+3m，=m，解得m=0（不合題意舍去）或m②當CQ為菱形的邊時，如圖3，綜上所述，符合條件的點E有三個，坐標為【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何綜合，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線x2-x+4與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)與y軸交于C點.(1)求△ABC的面積；(2)點P為直線AC上方拋物線上的任意一點，過點P作PDⅡy軸交直線AC于點D，求 PD+CD的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖2，將拋物線沿著水平方向向右平移2個單位長度得到新的拋物線，點E為原拋物線與平移后的拋物線的交點，點M為平移后的拋物線對稱軸上的一動點，點N為坐標平面內(nèi)的一點，直接寫出所有使得以點B、E、M、N為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并把求其中一個點N的坐標的求解過程寫出來.【答案】(1)12；【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式及拋物線與x軸的交點坐標即可解答；最后利用兩點之間的距離公式及等腰直角三角形的性質(zhì)得到2CD=-即可解答；（3）根據(jù)平移規(guī)律得到新拋物線的解析式及對稱軸，再根據(jù)菱形的性質(zhì)分情況討論即可解答.∵拋物線x2-x+4與x軸分別交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)-4-∴設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，：，∴直線AC的解析式為y=x+4；∴設(shè)點P ∴PD+CD的最大值為， ∴當PD+CD的最大值時，m=-3，∵將拋物線x2-x+4沿著水平方向向右平移2個單位長度得到新的拋物線，∴新拋物線為：y=-∴原拋物線與新拋物線的交點，)，當EB為菱形的邊長時，設(shè)M(1，m)，2，∵E、M的中點坐標位∴N、B的中點坐標，∵當BE為對角線時，無法形成菱形，∴點N不存在，或者【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)與特殊圖形，二次函數(shù)的平移規(guī)律，掌握二次函數(shù)與特殊圖形的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.例．已知拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)交x軸于點A(4,0)和點B(-2,0)，交y軸于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P是拋物線上位于直線AC下方的動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線AC于點D，交x軸于點E，當PD+PE取最大值時，求點P的坐標及PD+PE最大值.(3)在拋物線上是否存在點M，對于平面內(nèi)任意點N，使得以A、C、M、N為頂點且AC為一條邊的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出M、N的坐標，不存在，請說明理由.x2-x-4(3)M(-4,8)、N(-8,4)【分析】（1）把點A(4,0)和點B(-2,0)代入拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)，解方程即可得到（2）先用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再設(shè)P然后求出PD+PE=-由函數(shù)的性質(zhì)求出PD+PE取最大值時t的值，即可求出點P的坐標；（3）假設(shè)拋物線上是存在點M，對于平面內(nèi)任意點N，使得以A、C、M、N為頂點且AC為一條邊的四邊形為矩形，過點O作OH丄AC于一點H，可求得AH的解析式，則可設(shè)出過點A且與OH平行的直線解析式，經(jīng)計算驗證可得過點A的直線MA與拋物線有交點M，聯(lián)立方程可求得M的坐標，通過平移即可求得點N的坐標.【詳解】（1）解：把點A(4,0)和點B(-2,0)代入拋物線y=ax2+bx-4(a≠0)，得解得，∴拋物線的解析式為x2-x-4；（2）解：由（1）知，點C的坐標為(0,-4)，設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，解得∴直線AC的解析式為y=x-4，∴當t=時，PD+PE有最大值，最大值為，此時點P的坐標為（3）解：過點O作OH丄AC于一點H，如圖所示：,∴△OAC為等腰直角三角形，∴點H為AC的中點，即H(2,-2)，則OH所在的直線方程為y=-x，∵四邊形AMNC為矩形，∴過A與直線AC相垂直的直線函數(shù)解析式中的k值與OH的解析式的k值相同，∴設(shè)AM所在的直線解析式為y=-x+b1，∵點A在直線AM上，∴可求得b1=4，即AM所在的直線解析式為y=-x+4，聯(lián)立AM的直線方程與拋物線的解析式，得解得或，其中(4,0)為點A的坐標，即M(-4,8)，∵四邊形AMNC為矩形，MNⅡAC且MN=AC，根據(jù)點A與點C的關(guān)系，把點M向下平移4個單位長度，再向左平移4個單位長度，可得到點N的坐標，即N(-8,4).【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，求二次函數(shù)的最值，特殊四邊形的交點坐標，坐標平移，用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線L:y=x-1交x軸于A、B兩點，交y軸于點C.(1)求點A、B、C的坐標；(2)將拋物線L向右平移1個單位，得到新拋物線L9，點E在坐標平面內(nèi)，在新拋物線L9的對稱軸l上是否存在點D，使得以A、C、D、E為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)A(-1,0)，B(3(2)存在，點D的坐標為(2,1)或(2,3)【分析】（1）分別令y=0和x=0，求解即可；（2）先求得平移后的拋物線L9的解析式，再分情況討論：當AD為對角線時，當AC為對角線時，根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可.解：令y=0，則0=x-1，:A(-1,0)，B(3,0)令x=0，則y=-1，:C(0,-1).:L:y=x-1=:對稱軸l為x=2.當AC為邊時，分兩種情況：當AD為對角線時，連接AC，過點C作AC的垂線，交l于點D，交x軸于點G，:A(-1,0)，C(0,-1)，:上OCA=45。:上OCG=45。:G(1,0).設(shè)CG所在直線解析式為y=kx+b，解得:CG所在直線解析式為y=x-1，:D(2,1).當AD為邊時，同理過點A作AC的垂線，交l于點D￠,交y軸于點H，易得AH所在直線解析式為y=x+1，則AH與對稱軸l的交點坐標為D,(2,3).當AC為對角線時，DE也為對角線，易得DE=AC=·,由圖可知此時點D不可能在l上，:此種情況不存在.綜上，在新拋物線L,的對稱軸l上存在點D，使得以A、C、D、E為頂點的四邊形是矩形，點D的坐標為(2,1)或(2,3).【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)，B((1)求拋物線的表達式；(2)若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PBC的面積為S，求S的最大值及此時點P的坐標；(3)已知M是拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)是否存在點N，使以B、C、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)S最大值為，存在，點N或或或【分析】（1）運用拋物線交點式解析式求解，設(shè)拋物線y=a(x+1)(x-3)，點B(0,3)代入求解；（2）如圖，過點P作PD丄AC，垂足為點D，交BC于點E，設(shè)P(m,-m2+2m+3)，確定BC的解析式y(tǒng)=-x+3，于是PE=-m2+3m，從而S=PE.OC=-所以時，S最大值為，進而求得；（3）設(shè)M(1,p)，如圖，BC2=18，BM2=p2-6p+10，CM2=p2+4，分類討論：當BC為對角線時，上BMC=90。，由勾股定理，BM2+CM2=BC2，解得p=設(shè)點,則從而得點或N；另當BM為對角【詳解】（1）解：設(shè)拋物線y=a(x+1)(x-3)，2+2x+3.（2）如圖，過點P作PD丄AC，垂足為點D，交BC于點E，設(shè)P(m,-m2+2m+3)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+h(k10)，得則點E(m,-m+3)，PE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3mPE.OC=∴當m=最大值為（3）存在.設(shè)M(1,p)，如圖，BC2=32+32=18，BM2=(1-0)2+(p-3)2=p2-6p+10，CM2=(1-3)2+(p-0)2=p2+4由勾股定理，BM2+CM2=BC2∴p2-6p+10+p2+4=18，解得p=設(shè)點N(n,q)，則解得或N如圖，當BM為對角線時，上BCM=90。BM2=CM2+BC2，即p2-6p+10=p2+4+18，解得p=-2，則解得∴點N(-2,1)如圖，當CM為對角線時，上MBC=90。BM2+BC2=CM2，即p2-6p+10+18=p2+4，解得p=4，則解得∴點N(4,1)綜上或或或【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與面積最值問題，二次函數(shù)與矩形存在性問題，注意分類討論，運用數(shù)形結(jié)合思想，將圖形信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.例．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點，P是位于對稱軸左側(cè)的拋物線上的一個動點.(1)求拋物線的對稱軸方程；(2)若點P滿足上PAB=上PBA，求點P的坐標；(3)設(shè)M是拋物線的對稱軸上一點，N是坐標平面內(nèi)一點，若四邊形AMPN是正方形，求此正方形的面積.(3)正方形AMPN的面積為或【分析】（1）由y=x+4可知A(-4,0)，B(0,4)，進而求得拋物線解析式為y=-x2-3x+4，即可得拋物線的對稱軸方程；（2）由題意可知上PAB=上PBA，可知PA=PB，進而值OP為線段AB的垂直平分線，設(shè)其與AB交于點Q，可得Q(-2,2)，可求得OP的解析式為y=-x，聯(lián)立y=-x2-3x+4求解（3）由四邊形AMPN是正方形，可知△AMP是等腰直角三角形，可得AM=PM，上AMP=90。，設(shè)M，x=-與x軸交于點C，分當點M在x軸上方時和當點M在x軸下方時分別進行討論求解即可.【詳解】（1）解：∵直線y=x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴拋物線解析式為y=-x2-3x+4，∴拋物線的對稱軸方程為∴OP為線段AB的垂直平分線，設(shè)其與AB交于點Q，則點Q的橫坐標為：xQ==-2，縱坐標為：yQ=，設(shè)OP的解析式為y=kx，代入Q(-2,2)，可得2=-2k，解得k=-1，∴OP的解析式為y=-x，（3）∵四邊形AMPN是正方形，∴△AMP是等腰直角三角形，設(shè)，x=-與x軸交于點C，當點M在x軸上方時，過點P作PD丄MC于D，此時m>0，∴△PDM≌△MCA(AAS)，在拋物線y=-x2-3x+4上，∴正方形AMPN的面積為；當點M在x軸下方時，過點P作PE丄MC于E，此時m<0，∴△PEM≌△MCA(AAS)，在拋物線y=-x2-3x+4上，∴正方形AMPN的面積為；綜上，正方形AMPN的面積為或.【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，垂直平分線的判定，正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，添加輔助線，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】如圖，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)與y軸交于點C．連接BC．點P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為m，過點P作直線PD丄x軸于點D．交BC于點E．過點P作BC的平行線，交y軸于點M.(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；(2)在點P的運動過程中，求使四邊形CEPM為菱形時，m的值；(3)點N為平面內(nèi)任意一點，在（2）的條件下，直線PM上是否存在點Q使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.法解答，即可求解；（2）作CH丄PE于點H，根據(jù)題意可得△BOC是等腰直角三角形，從而得到上DBE=45。，進而得到△CEH是等腰直角三角形，可得到2CH，再由點P(m,-m2+2m+3)，可得PE=-m2+3m，CH=m，CE=然后根據(jù)菱形的性質(zhì)CE=PE，可得到關(guān)于m的方程，即可求解；由得：點P可得PE=32-2，再求出直線PM的解析式為y=-x+32+1，過點E作EQ丄PE交直線PM于點Q，可得PE=EQ，此時點 使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形；過點E作EQ丄PM于點Q，過點Q作SQ^y軸于點S，可得△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形，∴此時點Q使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形，即可. 設(shè)直線BC的函數(shù)表達式為y=kx+b，：，直線BC的函數(shù)表達式為y=-x+3；（2）解：如圖，作CH丄PE于點H，∴△BOC是等腰直角三角形，∴△CEH是等腰直角三角形， 2 ∵四邊形CEPM為菱形， 解得m=32或0（舍去（3）解：存在，根據(jù)題意可設(shè)直線PM的解析式為y=—x+a，把點P(3,42)代入，得： ∴直線PM的解析式為y=—x+32+1，如圖，過點E作EQ丄PE交直線PM于點Q，此時點使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形；如圖，過點E作EQ丄PM于點Q，過點Q作SQ^y軸于點S，∵PMⅡBC，∴△PEQ，△PSQ是等腰直角三角形，∴此時點Q使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形；對于y=x+3，此時點綜上所述，存在點Q(2:2+1,s2)或使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了求一次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】如圖，拋物線x2+bx+c與x軸交于點A和點B(4，0)，與y軸交于點(1)求拋物線的解析式；(2)點E在第一象限內(nèi)，過點E作EF∥y軸，交BC于點F，作EHⅡx軸，交拋物線于點H，點H在點E的左側(cè)，以線段EF,EH為鄰邊作矩形EFGH，當矩形EFGH的周長為11時，求線段EH的長；(3)點M在直線AC上，點N在平面內(nèi)，當四邊形OENM是正方形時，請直接寫出點N的坐標.【答案】(1)拋物線的解析式為x2+x+4；(3)點N的坐標為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線BC的解析式為y=-x+4，設(shè)E利用對稱性質(zhì)求得，推出GH-EF=-x2+2x，GF-EH=2x-2，利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；（3）先求得直線AC的解析式為y=2x+4，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明△OEP≌△MOQ，推出PE=OQ，PO=MQ，設(shè)E則,由點M在直線AC上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質(zhì)即可求解.解得∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4；解得k=-1，∴直線BC的解析式為y=-x+4， ∵解析式的對稱軸為，∴GF-EH=x-(4-x)=2x-2，解得x=5（舍去）或x=3，（3）解：令y=0，則-x2+x+4=0，同理，直線AC的解析式為y=2x+4，∵四邊形OENM是正方形，∵點M在直線AC上，即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形OENM是正方形，此時N(4，4)；當m=-1時，M，5點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，2則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，綜上，點N的坐標為或【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質(zhì)，是一道綜合性較強的題，解題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論.1．如圖1，拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)與x軸交于A(-1,0)，B(3,0)，與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點P、Q為直線BC下方拋物線上的兩點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1，過點P作PM∥y軸交BC于點M，過點Q作QNⅡy軸交BC于點N，求PM+QN的最大值及此時點Q的坐標；(3)如圖3，將拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新的拋物線y,，在y,的對稱軸上有一點D，坐標平面內(nèi)有一點E，使得以點B、C、D、E為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標.【答案】(1)拋物線的解析式為y=x2-2x-3【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法即可解答；（2）設(shè)P(a,a2-2a-3)，則Q(a+1,a2-4)，進而得到M(a,a-3)，N(a+1,a-2)；再表示出PM+QN=-2a2+4a+2=-2(a-1)2+4，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（3）分以BC為矩形一邊和對角線兩種情況，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、平移和矩形的判定定理解答即可.【詳解】（1）解：把A(-1,0)和B(3,0)代入y∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3.（2）解：設(shè)P(a,a2-2a-3)，則Q(a+1,a2-4).又lBC:y=x-3∴Q(2,-3).（3）解：由題意可得：y9=(x-1)2-2(x-1)-3-1=x2-x-=(x-2)2-5，如圖：當BC為矩形一邊時，且點D在x軸的下方，過D作DF丄y軸，∴點C向右平移2個單位、向下平移3個單位可得到點D，則點B向右平移2個單位、向下平移3個單位可得到E(5,-3)；如圖：當BC為矩形一邊時，且點D在x軸的上方，y9的對稱軸為x=2與x軸交于F，∴點B向左平移1個單位、向上平移1個單位可得到點D，則點C向左平移1個單位、向上平移1個單位可得到點E(-1,-2)；如圖：當BC為矩形對角線時，設(shè)D(2,d)，E(m,n)，又∵DE=BC,22，解得：聯(lián)立解得：，的四邊形是矩形.【點睛】本題主要考查了運用待定系數(shù)法求解析式、運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵.2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(-1,0)，B(3,0)兩點，與y軸交于點C，點P為拋物線上的動點.(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點D為直線y=x上的動點，當點P在第四象限時，求四邊形PBDC面積的最大值及此時點P的坐標；(3)已知點E為x軸上一動點，點Q為平面內(nèi)任意一點，是否存在以點P，C，E，Q為頂點的四邊形是以PC為對角線的正方形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=x2-2x-3【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過P作PH丄x軸于點G，交BC于點H．設(shè)P(m,m2-2m-3)，則2從而求出此時四邊形PBDC面積的最大值，P點坐標；（3）設(shè)P(m,m2-2m-3)，E(n,0)，分四種情況畫出圖形，利用正方形性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）解：將A(-1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx-3中，得解得:該拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-2x-3.（2）解：作直線BC，過P作PH丄x軸于點G，交BC于點H.設(shè)直線BC的表達式為：y=kx+n，將得解得△CPH△BPH:當m=時，△BPC面積的最大值為.:BC與直線y=x平行，:四邊形PBDC面積的最大值為.∵四邊形PECQ為正方形，∴點Q(3,3)，作PI丄x軸，垂足為I，作QH丄y軸，垂足為H，∴△OCE三△PEI(ASA)22m3，III.如解圖3-3，當四邊形PECQ為正方形時，IV.如解圖3-4，當四邊形PECQ為正方形時，mm綜上所述：點Q坐標為【點睛】此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、正方形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題.3．如圖，拋物線x2+bx+c與x軸交于兩點，直線y=—與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E.(1)求出拋物線與直線的解析式；(2)已知點K為線段AD上一動點，過點K作y軸的平行線交拋物線于點H，連接DH、AH，求△AHD的最大面積；(3)若點M是x軸上的一動點，點N是拋物線上一動點，當以點E、B、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，請你直接寫出符合條件的點N的坐標.【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）先求得點D的坐標，當KH取得最大值時，△AHD的面積取得最大值則進而表示出KH，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得KH的最大值，即可求解；（3）先求得E點的坐標，分BE為對角線與邊兩種情況討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.解得：∴拋物線解析式為x-2；將點A(4,0)代入y=-x+m，∴直線解析式為：y=-x+2；（2）依題意，聯(lián)立lly1=0ly1∴D(-2,3)△AHD=A-xD)×KH=4-(-2)×KH=3KH,∴當KH取得最大值時，△AHD的面積取得最大值，-a-2),|2∴a=-1時，KH取得最大值為，（3）∵E是y=-x+2與y軸的交點，①當BE為邊時，∵B(-1,0)，E(0,2)，