計(jì)數(shù)原理講義2-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

計(jì)數(shù)原理21．二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題（1）二項(xiàng)式定理定義一般地，對于任意正整數(shù),都有：，這個公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式．式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，（2）二項(xiàng)式的展開式的特點(diǎn)：①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）.（3）兩個常用的二項(xiàng)展開式：①()②（4）二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．注釋：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項(xiàng)是針對在這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．2．二項(xiàng)式展開式中的最值問題（1）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即.=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等，即.=3\*GB3③二項(xiàng)式系數(shù)和令,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式.=4\*GB3④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，則，從而得到：.=5\*GB3⑤最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng),的二項(xiàng)式系數(shù),相等且最大.（2）系數(shù)的最大項(xiàng)求展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來.3．二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題（1）含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立，所以通?？蓪ψ兞抠x予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì).（2）二項(xiàng)式展開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過對變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）的等式.（3）常用賦值舉例：A、設(shè)，二項(xiàng)式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值.①令，可得：②令，可得：，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：.B、若，則①常數(shù)項(xiàng)：令，得.②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得.③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和a.當(dāng)為偶數(shù)時，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”,奇偶交錯搭配）b.當(dāng)為奇數(shù)時，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為.（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”,奇偶交錯搭配）若，同理可得.注：常見的賦值為令，或，然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.考點(diǎn)一二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題考向1求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)1、已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是54，則=．2、的展開式中，的系數(shù)為，則=．3、若的展開式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)=．4、二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為15，則=（）A．4 B．5 C．6 D．75、展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．6、使得的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)最小的為（）A． B． C． D．7、的展開式中常數(shù)項(xiàng)是．8、二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是_______．9、在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有項(xiàng)．10、的展開式中系數(shù)為有理數(shù)項(xiàng)的共有項(xiàng)．11、在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)是．12、從二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)中隨機(jī)選兩項(xiàng)，選得的兩項(xiàng)均是有理項(xiàng)的概率是．13、的展開式中，的系數(shù)是．14、的展開式中的系數(shù)為（）15、二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是．16、在的展開式中，的系數(shù)為（）A．5 B．5 C．10 D．1017、的展開式中,的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．30 D．6018、求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項(xiàng)的系數(shù)為.19式子的展開式中的系數(shù)為．20、的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．21、的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．22、已知的展開式中的系數(shù)為5，則=（）A．4 B．3 C．2 D．123、的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．24、的展開式中的系數(shù)為．25、的展開式中，的系數(shù)為（）A.10B.20C.3026、展開式中的系數(shù)為（）27、的展開式中的系數(shù)為（）28、的展開式中的系數(shù)為（）A.12 29、的展開式中的系數(shù)為（）考點(diǎn)二二項(xiàng)式展開式中的最值問題1、設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則（）A．5 B．6 C．7 D．82、已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）A． B． C． D．3、已知，若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是．4、在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是．5、在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．6、在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為．7、設(shè)則=．8、寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？9、若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？10、在的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？考點(diǎn)三二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題1、的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為()2、已知的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和之比為，則n等于()3、設(shè)，則的值為（）A． B． C．1 D．24、展開式中不含項(xiàng)的系數(shù)的和為（）A． B．0 C．1 D．25、在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于