高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件：2 4 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(人教A版)

第二章

§2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1.掌握?qǐng)A的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)條件：圓心為C(a，b)，半徑長(zhǎng)為r.(2)方程：

.(3)特例：圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為r的圓的方程是

.(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷方法位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)M在圓外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)M在圓內(nèi)|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圓.(

)2.確定一個(gè)圓的幾何要素是圓心和半徑.(

)3.圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圓心坐標(biāo)是(1,2)，半徑是4.(

)4.(0,0)在圓(x－1)2＋(y－2)2＝1上.(

)×√××2題型探究PARTTWO一、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1

(1)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圓心坐標(biāo)為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.一、求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1

(1)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________.(x＋5)2＋(y＋3)2＝25解析∵圓心坐標(biāo)為(－5，－3)，又與y軸相切，∴該圓的半徑為5，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(2)以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________________.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析∵AB為直徑，∴AB的中點(diǎn)(1,2)為圓心，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.反思感悟直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等.跟蹤訓(xùn)練1求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4,0)，且過點(diǎn)(2,2)；解r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝8.(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)(3，－4).解設(shè)圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圓心為(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2

(1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是A.點(diǎn)P在圓內(nèi) B.點(diǎn)P在圓外C.點(diǎn)P在圓上 D.不確定√解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點(diǎn)P在圓外.二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例2

(1)點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是A.點(diǎn)P在圓內(nèi) B.點(diǎn)P在圓外C.點(diǎn)P在圓上 D.不確定√解析由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點(diǎn)P在圓外.[0,1)反思感悟判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大小.(2)代數(shù)法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷.跟蹤訓(xùn)練2已知點(diǎn)A(1,2)和圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，試分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍：(1)點(diǎn)A在圓的內(nèi)部；解因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，且a不為0，解得a<－2.5.(2)點(diǎn)A在圓上；解因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－2.5.(3)點(diǎn)A在圓的外部.解因?yàn)辄c(diǎn)A在圓的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，且a不為0，解得a>－2.5且a≠0.核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN待定系數(shù)法與幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn)，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解方法一

(待定系數(shù)法)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.方法二(幾何法)由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.∵弦的垂直平分線過圓心，即圓心坐標(biāo)為(4，－3)，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.素養(yǎng)提升(1)待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(2)幾何法即是利用平面幾何知識(shí)，求出圓心和半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)像本例，理解運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.若某圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心和半徑長(zhǎng)分別為√123452.圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9√12345解析由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3.點(diǎn)P(1,3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定√123454.圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1√解析方法一(直接法)∴b＝2，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(數(shù)形結(jié)合法)作圖(如圖)，根據(jù)點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為1易知，圓心為(0,2)，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＋(y－2)2＝1.123455.若點(diǎn)P(5a＋1,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的外部，則a的取值范圍為________________.解析∵P在圓外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，123451.知識(shí)清單：(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系.2.方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法.3.常見誤區(qū)：幾何法求圓的方程出現(xiàn)漏解情況.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.圓心為(3,1)，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25C.(x－3)2＋(y－1)2＝5D.(x－3)2＋(y－1)2＝25√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.圓(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周長(zhǎng)是√123456789101112131415163.已知點(diǎn)A(3，－2)，B(－5,4)，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100√12345678910111213141516解析由題意得圓心坐標(biāo)為(－1,1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故選B.4.若點(diǎn)A(a＋1,3)在圓C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(0，＋∞) B.(－∞，5)C.(0,5) D.[0,5]√12345678910111213141516解析由題意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，又易知m>0，所以0<m<5，故選C.5.已知一圓的圓心為點(diǎn)A(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52√解析如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，原點(diǎn)在圓上，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.12345678910111213141516解析∵P點(diǎn)在圓x2＋y2＝m2上，12345678910111213141516±2∴m＝±2.7.圓(x－3)2＋(y＋1)2＝1關(guān)于直線x＋y－3＝0對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________.12345678910111213141516(x－4)2＋y2＝1解析設(shè)圓心A(3，－1)關(guān)于直線x＋y－3＝0對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a，b)，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝1.8.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點(diǎn)C，則以點(diǎn)C為圓心，

為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________________.12345678910111213141516(x＋1)2＋(y－2)2＝5解析將直線方程整理為(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，可知直線恒過點(diǎn)(－1,2)，從而所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5.9.已知圓C過點(diǎn)A(3,1)，B(5,3)，圓心在直線y＝x上，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.12345678910111213141516解設(shè)圓心C(a，a)，半徑為r，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－3)2＝4.10.已知點(diǎn)A(－1,2)和B(3,4).求：(1)線段AB的垂直平分線l的方程；解由題意得線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,3).∵A(－1,2)，B(3,4)，∵直線l垂直于直線AB，∴直線l的方程為y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.12345678910111213141516(2)以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.12345678910111213141516解∵A(－1,2)，B(3,4)，又圓心為C(1,3)，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5.11.已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過A(3,1)，B(1,5)兩點(diǎn)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.(x＋4)2＋y2＝50 B.(x＋4)2＋y2＝25C.(x－4)2＋y2＝50 D.(x－4)2＋y2＝25√綜合運(yùn)用解析根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心C的坐標(biāo)為(m，0)，若圓C經(jīng)過A(3,1)，B(1,5)兩點(diǎn)，則有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圓心C為(－4,0)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋4)2＋y2＝50，故選A.1234567891011121314151612.已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程為A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0√12345678910111213141516解析圓x2＋(y－3)2＝4的圓心坐標(biāo)為(0,3).因?yàn)橹本€l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1.由點(diǎn)斜式得直線l的方程是y－3＝x－0，化簡(jiǎn)得x－y＋3＝0.13.已知直線(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒過定點(diǎn)P，則與圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圓心且過點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，∵圓C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圓心坐標(biāo)是(2，－3)，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故選B.1234567891011121314151615.已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.12345678910111213141516拓廣探究x2＋(y＋1)2＝112345678910111213141516解析由已知圓(x－1)2＋y2＝1，設(shè)其圓心為C1，則圓C1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長(zhǎng)r1＝1.設(shè)圓心C1(1,0)關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，即圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝1.16.已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直線l：14x＋8y－31＝0，求圓C1關(guān)于直線l對(duì)稱的圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.解設(shè)圓C2的圓心坐標(biāo)為(m，n).圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝