江西省九江市都昌縣2023-2024學年八年級下學期期末數學試題（解析版）

2023—2024學年度下學期第二次階段性學情評估八年級數學一、選擇題．（每小題3分，共18分）1.下列四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．解：A．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；B．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別．理解中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．2.點關于原點的對稱點是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標；根據關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數，可得答案．解：點關于原點的對稱點是，故選：D．3.下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中分式有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】根據分式的定義分別進行判斷，即可得到答案．解：根據題意，①；③；分母中不含字母，不是分式；是分式的有：②；④；⑤；⑥；共4個．故選：B．【點睛】本題考查了分式的定義，解題的關鍵是掌握分式的定義進行判斷．4.某班同學在學完平行四邊形的判定后,開展了一次課外活動課,課上探索出如下結論,其中正確的是（）A.當四邊形的一組鄰角相等且一組對角互補時,此四邊形一定為平行四邊形B.當四邊形的一組對角相等且一組對邊相等時,此四邊形一定為平行四邊形C.當四邊形的一組鄰角相等且一組對邊平行時,此四邊形一定為平行四邊形D.當四邊形的一組對角相等且一組鄰角互補時,此四邊形一定為平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據給出的條件，利用平行四邊形的判定定理判定即可．A、等腰梯形滿足此條件，但不是平行四邊形，故此選項錯誤；B、根據條件“一組對邊相等，一組對角相等”證不出是平行四邊形，故此選項錯誤；C、等腰梯形也滿足此條件，但不是平行四邊形，故此選項錯誤；D、一組鄰角互補，一組對角相等，可得到任意兩對鄰角互補，那么可得到兩組對邊分別平行，為平行四邊形，故此選項正確；故選D．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定．關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．5.如圖，在中，，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據等邊對等角和三角形內角和定理求出，根據線段垂直平分線的性質得到，則，即可得到．解：∵，∴，∵的垂直平分線交于點D，交于點E，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質與判定，線段垂直平分線的性質，正確求出的度數是解題的關鍵．6.如圖，是等邊三角形，是的平分線上一點，于點，線段的垂直平分線交于點，垂足為點．若，則的長為（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】先求出，再求出，根據所對的直角邊等于斜邊的一半，求出的長．解：∵是等邊三角形，是平分線上一點，∴，∵，為線段的垂直平分線，∴，∴，∴，在中，，∴．故選：C．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，線段垂直平分線的性質，三角函數，所對的直角邊等于斜邊的一半的知識，解題的關鍵是熟練利用相應的定理進行推理．二、填空題（每小題3分，共18分）7.因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=_____．【答案】【解析】mn(n-m)-n(m-n)=mn(n-m)+n(n-m)=n(n-m)(m+1)，故答案為n(n-m)(m+1).8.分式有意義的條件是___．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件為分母不等于零是解題的關鍵．根據分式有意義的條件列不等式計算即可．解：∵分式有意義，∴，即．故答案為：．9.若一個多邊形的內角和是外角和的2倍，則這個多邊形的邊數為______．【答案】6##六【解析】【分析】本題考查了多邊形的內角和，一元一次方程的應用．熟練掌握多邊形的內角和，一元一次方程的應用是解題的關鍵．設多邊形的邊數為，依題意得，，計算求解即可．解：設多邊形的邊數為，依題意得，，解得，，故答案為：6．10.某工廠新引進一批電子產品，甲工人比乙工人每小時多搬運30件電子產品，已知甲工人搬運300件電子產品所用的時間與乙工人搬運200件電子產品所用的時間相同若設乙工人每小時搬運件電子產品，可列方程為__________．【答案】【解析】【分析】設乙工人每小時搬運x件電子產品，則甲每小時搬運（x+30）件電子產品，根據300÷甲的工效＝200÷乙的工效，列出方程．解：設乙工人每小時搬運x件電子產品，則甲每小時搬運（x+30）件電子產品，依題意得：故答案為：．【點睛】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．11.如圖所示，圖①是一個三角形，分別連接三邊中點得圖②，再分別連接圖②中的小三角形三邊中點，得圖③……按此方法繼續(xù)下去．在第個圖形中有______個三角形（用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】分別數出圖①、圖②、圖③中的三角形的個數，可以發(fā)現：第幾個圖形中三角形的個數就是4與幾的乘積減去3．如圖③中三角形的個數為9=4×3-3．按照這個規(guī)律即可求出第n各圖形中有多少三角形．分別數出圖①、圖②、圖③中的三角形的個數，圖①中三角形的個數為1=4×1-3；圖②中三角形的個數為5=4×2-3；圖③中三角形的個數為9=4×3-3；…可以發(fā)現，第幾個圖形中三角形的個數就是4與幾的乘積減去3．按照這個規(guī)律，如果設圖形的個數為n，那么其中三角形的個數為4n-3．故答案為4n-3．【點睛】此題主要考查學生對圖形變化類這個知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據題目中給出的圖形，數據等條件，通過認真思考，歸納總結出規(guī)律，此類題目難度一般偏大，屬于難題．12.如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，點F是BC的中點，作AE⊥CD于點E，點E在線段CD上，連接EF、AF，下列結論：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正確的是_____．【答案】①②④．【解析】【分析】利用平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性質得出對應線段之間關系進而得出答案．解：①∵F是BC的中點，∴BF＝FC，∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正確；②延長EF，交AB延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F為BC中點，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正確；③∵EF＝FM，∴S△AEF＝S△AFM，∴S△ABF＜S△AEF，故③錯誤；④設∠FEA＝x，則∠FAE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正確，故答案為①②④．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，解決本題的關鍵是得出△AEF≌△DME．三、解答題（第13-17題每題6分，第18-20題每題8分，第21、22題每題9分，第23題12分，共84分．）13.（1）解不等式組（2）解分式方程：．【答案】（1）；（2）原分式方程無解【解析】【分析】此題考查了解一元一次不等式組和解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．（1）不等式組整理后，求出解集即可；

（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．解：（1）由①得，即．解得．由②得，即．解得．∴原不等式組的解集是．（2）方程兩邊同乘以，得，，解得，經檢驗：是增根，原分式方程無解．14.化簡分式（+）÷，并在2，3，4，5這四個數中取一個合適的數作為a的值代入求值．【答案】7.【解析】【分析】先根據分式混合運算順序和運算法則化簡原式，再選取是分式有意義的的值代入計算可得．原式=[﹣]÷=（﹣）?=?=a+3，∵a≠﹣3、2、3，∴a=4或a=5，則a=4時，原式=7．【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解題的關鍵是掌握分式混合運算順序和運算法則及分式有意義的條件．15.已知：如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點O，F，G分別是OB，OC的中點，連接DF，FG，EG，DE，求證：DF＝EG．【答案】證明見解析．【解析】【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DEBC，DE=BC，FGBC，FG=BC，從而得到DEFG且DE=FG，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形DEGF是平行四邊形，然后根據平行四邊形的對邊相等證明即可．試題解析：證明：由題意得點E，D分別是AC，AB的中點，∴ED是△ABC的中位線．∴DEBC，DE=BC．∵F，G分別是BO，CO的中點，∴FG是△OBC中位線．∴FGBC，FG=BC，．∴DEFG，DE=FG．∴四邊形EDFG是平行四邊形．∴DF＝EG．【點睛】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定與性質，熟記定理并判斷出四邊形DEGF是平行四邊形是解題的關鍵．16.如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫圖：（1）在甲圖中，畫出一個平行四邊形，使其面積為3；（2）在乙圖中，畫出一個正方形，使其面積為5；（3）在丙圖中，畫出一個菱形，使其面積為6．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了作圖-應用與設計作圖，解此類題目首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．（1）平行四邊形面積為3，則可以為底邊長為3，高為1；（2）要使正方形面積為5，則正方形的邊長為；（3）菱形面積為6，則對角線長度為2和6，據此可畫出菱形．【小問1】解：圖形如下：；【小問2】解：圖形如下：；【小問3】解：圖形如下：．17.貴成高鐵開通后極大地方便了人們的出行，甲、乙兩個城市相距450千米，加開高鐵列車后，高鐵列車行駛時間比原特快列車行駛時間縮短了3小時，已知高鐵列車平均行駛速度是原特快列車平均行駛速度的3倍，求高鐵列車的平均行駛速度．【答案】高鐵列車平均速度為300km/h．【解析】【分析】設原特快列車平均速度為xkm/h，則高鐵列車平均速度為2.8xkm/h，利用高鐵列車行駛時間比原特快列車行駛時間縮短了3小時，這一等量關系列出方程解題即可設原特快列車平均速度為xkm/h，則高鐵列車平均速度為2.8xkm/h，由題意得：+3＝，解得：x＝100，經檢驗：x＝100是原方程的解，則3×100＝300（km/h）；答：高鐵列車平均速度為300km/h．【點睛】本題考查分式方程的簡單應用，本題關鍵在于讀懂題意列出方程，特別注意分式方程求解之后需要檢驗18.如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，延長BN交AC于點D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求證：BN=DN；（2）求△ABC的周長．【答案】（1）見解析，（2）41【解析】【分析】（1）證明△ABN≌△ADN，即可得出結論．（2）先判斷MN是△BDC的中位線，從而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，從而計算周長即可．】（1）證明：∵BN⊥AN于點N，∴，△ABN和△ADN中，

∵，∴△ABN≌△ADN（ASA）．∴BN=DN．（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB．又∵點M是BC中點，∴MN是△BDC的中位線．∴CD=2MN=6．∴△ABC的周長=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．19.如圖所示，在平行四邊形中，延長到點E，延長到點F，使得，連接，分別交，于點M，N，連接，．（1）求證：；（2）求證：與互相平分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、平行四邊形的判定及性質：（1）根據平行四邊形的性質得，，再利用即可求證結論；（2）根據平行四邊形的性質得，且，由（1）得：，可證，進而可證得，，進而可證四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質即可求證結論；熟練掌握相關判定及性質是解題的關鍵．【小問1】證明：∵四邊形是平行四邊形，，，，，在和中，，．【小問2】四邊形是平行四邊形，，且，又由（1）得：，，，且，四邊形是平行四邊形，與互相平分．20.某校為了開展“陽光體育運動”，計劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元.（1）若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球、足球各買了多少個？（2）若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？【答案】（1）籃球、足球各買了20個，40個；（2）最多可購買籃球32個.【解析】【分析】(1)設籃球、足球各買了，個，根據等量關系：籃球、足球共60個，籃球、足球共用4600元，列出方程組，解方程組即可得；(2)設購買了個籃球，根據購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，列出不等式進行求解即可.(1)設籃球、足球各買了，個，根據題意，得，解得，答：籃球、足球各買了20個，40個；(2)設購買了個籃球，根據題意，得，解得，∴最多可購買籃球32個.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，弄清題意，找準等量關系或不等關系列出方程或不等式是解題的關鍵.21.【發(fā)現問題】數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助我們更容易理解數學問題．現有圖1中的A，B，C三種卡片若干，用這些卡片可以拼成各式各樣的圖形，根據這些圖形的面積的不同表示可以將一些多項式因式分解．例：用1張A卡片，2張B卡片，1張C卡片拼成如圖2的圖形，用兩種方法表示該圖形的面積，可以得到等式，這種把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解．（1）【小試牛刀】請把表示圖3面積的多項式因式分解（直接寫出等式即可）．（2）【自主探索】請利用圖1的卡片，將多項式因式分解，并畫出圖形．（3）【拓展遷移】事實上，拼圖不僅限于平面圖形，利用立體圖形的體積也可以將一些多項式因式分解．請你用此方法從體積角度簡要說明如何把進行因式分解并寫出因式分解結果．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）仿照題意把圖3的面積用兩種方法表示出來，然后根據兩種表示方法表示的面積相等即可得到答案；（2）仿照題意畫出對應的圖形即可得到答案；（3）我們可以把看做是一個高為a，底面積為的長方體的體積，只需要仿照題意畫出的示意圖得到其因式分解的結果即可得到答案．【小問1】解：由圖可知，圖3是由1張A卡片，3張B卡片，2張C卡片拼成的，∴圖3的面積為，又∵圖3的面積又等于一個長為，寬為的長方形面積，∴；【小問2】解：如圖所示，下圖是由2張A卡片，5張B卡片，3張C卡片拼成的，∴同理可得；【小問3】解：觀察可知，∴我們可以把看做是一個高為a，底面積為的長方體的體積，如下圖所示，是由1張A卡片，4張B卡片，3張C卡片拼成的，∴，∴．【點睛】本題考查因式分解的實際運用，借助長方形的面積，把因式分解直觀化是解題的關鍵．22.如圖，在中，對角線，交于點，，，垂足分別為，．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）若，，當時，求的面積．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質，三角形全等和勾股定理的運用，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的性質，三角形全等和勾股定理．（1）由平行四邊形的性質得到，由，，可得，，證明，根據全等三角形的性質即可解答；（2）根據求出的長度，然后根據勾股定理求出的長度，即可根據平行四邊形