高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1課時兩個計數(shù)原理、排列與組合學(xué)案

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c：計數(shù)原理、互斥事件與相互獨立事件的概率計算、離散型隨機變量的分布列與期望．(1)從近幾年的考題看，高考中出現(xiàn)的計數(shù)問題的難度與教材例題、習(xí)題的難度相當(dāng)．重在考查對兩個計數(shù)原理的理解及排列、組合知識的簡單應(yīng)用．(2)互斥事件、獨立事件的概率計算，離散型隨機變量的分布列、期望與方差的計算，注重考查應(yīng)用意識、閱讀理解能力，主要考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．2．輪考點：二項式定理、古典概型、條件概率、全概率公式．(1)古典概型的概率計算常與兩個計數(shù)原理、排列與組合知識進行綜合考查，一般難度不大．(2)二項式定理通常以選擇、填空題形式出現(xiàn)在高考試題中，難度較小，屬于易得分題．(3)隨著高考改革的持續(xù)深入，對條件概率和全概率公式的應(yīng)用要有足夠的重視．第1課時兩個計數(shù)原理、排列與組合[考試要求]1．理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理．2．理解排列、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．會用兩個計數(shù)原理及排列、組合分析和解決一些簡單的實際問題．考點一兩個計數(shù)原理及綜合應(yīng)用分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法[典例1](1)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9(2)(2024·四川資陽統(tǒng)考模擬)某社區(qū)計劃在該小區(qū)內(nèi)如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區(qū)域布置的花卉種類不同，且每個區(qū)域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有()A．360種 B．420種C．480種 D．540種(3)(多選)(2024·山東棗莊模擬預(yù)測)現(xiàn)有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B．每組選1名組長的選法種數(shù)為3024C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D．若另有3名學(xué)生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種(1)B(2)D(3)ABC[(1)由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種走法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有6×3＝18(種)走法．(2)如圖，先在區(qū)域A布置花卉，有5種不同的布置方案，再在區(qū)域E布置花卉，有4種不同的布置方案，再在區(qū)域D布置花卉，有3種不同的布置方案．若區(qū)域B與區(qū)域E布置同一種花卉，則區(qū)域C有3種不同的布置方案；若區(qū)域B與區(qū)域E布置不同的花卉，則區(qū)域B有2種不同的布置方案，區(qū)域C有3種不同的布置方案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(種)．故選D.(3)對于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法有6＋7＋8＋9＝30(種)，故A正確；對于B，每組選1名組長的選法有6×7×8×9＝3024(種)，故B正確；對于C，2人需來自不同的小組的選法有6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335(種)，故C正確；對于D，依題意：若不考慮限制，每個人有4種選擇，共有43種選擇，若第一組沒有人選，每個人有3種選擇，共有33種選擇，所以不同的選法有43－33＝37(種)，故D錯誤．故選ABC.][拓展變式]若本例(1)中CD段馬路由于正在維修(如圖)，暫時不通，則從E到G的最短路徑有________條．26[先假設(shè)CD是實線，則從E到G，向上3次，向右4次，最短路徑有C74＝35(條)，其中經(jīng)過CD的，即先從E到C，然后C到D，最后D到G的最短路徑有3×3＝9(條)，所以當(dāng)CD利用兩個計數(shù)原理解決問題的步驟跟進訓(xùn)練1(1)(2023·廣西桂林一模)中國古代的五經(jīng)是指：《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則5名同學(xué)所有可能的選擇有()A．18種B．24種C．36種D．54種(2)(2024·福建三明模擬)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有()A．180種B．192種C．300種D．420種(3)用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小，則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，則在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個數(shù)為________．(1)D(2)D(3)20[(1)因為甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》，乙也沒選《春秋》，則乙可在《尚書》《禮記》《周易》三種書中選擇一種，甲可在除《詩經(jīng)》和乙選擇外的三種書中任選一種，其余三種書可任意排序，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的選擇種數(shù)為3×(2)如圖，將五個區(qū)域表示為①②③④⑤，對于區(qū)域①②③，三個區(qū)域兩兩相鄰，有A53＝60(種)；對于區(qū)域④⑤，若①與⑤顏色相同，則④有3種情況，若①與⑤顏色不同，則⑤有2種情況，④有2種情況，此時區(qū)域④⑤的情況有3＋2×2＝7(種)情況；則一共有60(3)當(dāng)十位上的數(shù)為0時，有4×3＝12(個)；當(dāng)十位上的數(shù)為1時，有3×2＝6(個)；當(dāng)十位上的數(shù)為2時，有2×1＝2(個)，所以“凹數(shù)”的個數(shù)為12＋6＋2＝20.]考點二排列、組合問題1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組2．排列數(shù)與組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Anm＝n(n－1)·(n－2)…(n－mCnm＝A＝n性質(zhì)Ann＝n！Cnn＝1，C[常用結(jié)論](1)排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：Anm＝(2)組合數(shù)的性質(zhì)：①Cnm＝②Cn+1m＝排列問題[典例2]有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法種數(shù)．(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(7)甲、乙、丙三人從左到右順序一定．[解](1)從7人中選5人排列，有A75＝7×6×5×4(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A73種方法，余下4人站后排，有A4(3)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A44種方法，再將女生全排列，有A4(4)(插空法)先排女生，有A44種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A5(5)法一(特殊元素優(yōu)先法)：先排甲，有5種方法，其余6人有A66種排列方法，共有法二(特殊位置優(yōu)先法)：左右兩邊位置可安排另6人中的兩人，有A62種排法，其他位置有A5(6)(間接法)7人全排列，有A77種方法，其中甲在最左邊時，有A66種方法，乙在最右邊時，有A6(7)由于甲、乙、丙的順序一定，則滿足條件的站法共有A7求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法組合問題[典例3]某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？[解](1)從余下的34種商品中，選取2種有C34(2)從34種可選商品中，選取3種，有C34所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．(3)從20種真貨中選取1件，從15種假貨中選取2件有C20所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種．(4)選取2種假貨有C201C152所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．(5)選取3種的總數(shù)為C353，選取3種假貨有C15所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選?。?2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解．跟進訓(xùn)練2有5個男生和3個女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表．[解](1)先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有(C53C32＋C54(2)除去該女生后，先選后排，有C7(3)先安排該男生，再先選后排，有C4(4)先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C63種，再安排該男生有C31種，其余3人全排列有考點三分組、分配問題不同元素的整體均分問題[典例4]教育部為了發(fā)展各地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．90[先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有C62C42不同元素的部分均分問題[典例5](2024·江蘇南通模擬)“碳中和”是指通過植樹造林、節(jié)能減排等形式，以抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心計劃派4名專家分別到A，B，C三地指導(dǎo)“碳中和”工作，每位專家只去一個地方，且每地至少派駐1名專家，則分派方法的種數(shù)為()A．72B．36C．48D．18B[由題意可知有2名專家去一個地方，其余2地方各分派一名專家，故共有C4故選B.]不同元素的不等分問題[典例6]若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．360[將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有C6第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有C5第3步，余下的3名教師作為一組，有C3根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有C6再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有A3故共有60×6＝360(種)不同的分法．]相同元素的分配問題[典例7]把9個完全相同的口罩分給6名同學(xué)，每人至少一個，不同的分法種數(shù)為()A．41B．56C．156D．252B[問題可轉(zhuǎn)化為將9個完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一個，求其方法數(shù)．事實上，只需在上述9個完全相同的口罩所產(chǎn)生的8個“空檔”中選出5個“空檔”插入擋板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．故有C8【教師備用】將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子中，求下列放法的種數(shù)．(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子．[解](1)先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，然后在小球之間的5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有C5(2)法一：恰有一個空盒子，插板分兩步進行．先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C52種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊隔板并放形成空盒，如|0|000||00|，有C4法二：先從4個盒子中選一個空盒子，有C41種選法，然后把6個相同的小球放入剩余3個盒子中，有C5(3)法一：恰有兩個空盒子，插板分兩步進行．先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙插一塊隔板，有C51①這兩塊隔板與前面三塊隔板形成不相鄰的兩個盒子，如||00||0000|，有C3②將兩塊隔板與前面三塊隔板之一并放，如|00|||0000|，有C3故共有C51·(C3法二：先從4個盒子中選2個盒子有C42種選法，然后把6個小球放入剩余的兩個盒子中有C51分組、分配問題是排列與組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解．提醒：對于部分均分問題，若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以Am跟進訓(xùn)練3(1)(2021·全國乙卷)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()A．60種B．120種C．240種D．480種(2)(2024·山東泰安高三模擬)第31屆世界大學(xué)生夏季運動會于2023年7月28日至8月8日在成都舉行，比賽項目包括15個必選項目和武術(shù)、賽艇、射擊3個自選項目．若將3男、3女6名志愿者分成3組，每組一男一女，分別分配到3個自選項目比賽場館服務(wù)，則不同的分配方案共有()A．540種B．36種C．108種D．90種(3)(2024·廣東揭陽高三模擬)為備戰(zhàn)第47屆世界技能大賽，經(jīng)過層層選拔，來自A，B，C，D四所學(xué)校的6名選手進入集訓(xùn)隊，其中有3人來自A學(xué)校，其余三所學(xué)校各1人，由于集訓(xùn)需要，將這6名選手平均分為三組，則恰有一組選手來自同一所學(xué)校的分組方案有________種．(用數(shù)字作答)(1)C(2)B(3)9[(1)根據(jù)題設(shè)中的要求，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，可分兩步進行安排：第一步，將5名志愿者分成4組，其中1組2人，其余每組1人，共有C52種分法；第二步，將分好的4組安排到4個項目中，有A4(2)由題意，將3男、3女6人分成3組，每組1男1女，分組方法有C3將這3組分別分配到3個自選項目比賽場館的分配方法有A33種，故不同的分配方案共有(3)將這6名選手平均分為三組，有C6其中來自A學(xué)校的3名選手都不在同一組，有A3所以恰有一組選手來自同一所學(xué)校的分組方案有15－6＝9種，故答案為：9.]課后習(xí)題(五十)兩個計數(shù)原理、排列與組合1．(人教B版選擇性必修第二冊P24習(xí)題3－1AT5改編)已知某圓上有10個不同的點，過每2個點畫一條弦，則所有這些弦的交點個數(shù)最多為()A．45B．120C．210D．420C[圓上每2個點畫一條弦，每兩條弦相交有1個交點，對應(yīng)圓上的四個不同的點，這些弦的交點個數(shù)最多為C102．(人教A版選擇性必修第三冊P19例4改編)從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中選3個數(shù)字，可以組成的無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為()A．52B．56C．48D．72A[當(dāng)個位為0時，共有A52＝5×4＝20(個)；當(dāng)個位不為0時，共有A21A3．(人教A版選擇性必修第三冊P27習(xí)題6.2T13改編)從2名女生、4名男生中選3人參加學(xué)科競賽，且至少有1名女生入選，則不同的選法共有________種(用數(shù)字作答)．16[法一：可分兩種情況：第一種情況，只有1名女生入選，不同的選法有C21C法二：從6人中任選3人，不同的選法共有C63＝20(種)，從6人中任選3人都是男生，不同的選法有4．(人教A版選擇性必修第三冊P12習(xí)題6.1T84554[五名學(xué)生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學(xué)生落實，每個學(xué)生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法．五名學(xué)生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性．]5．(2024·河南鄭州統(tǒng)考模擬)黃金分割最早見于古希臘和古埃及．黃金分割又稱黃金率、中外比，即把一條線段分成長短不等的a，b兩段，使得長線段a與原線段a＋b的比等于短線段b與長線段a的比，即a∶(a＋b)＝b∶a，其比值約為0.618339….小王酷愛數(shù)學(xué)，他選了其中的6，1，8，3，3，9這六個數(shù)字組成了手機開機密碼，如果兩個3不相鄰，則小王可以設(shè)置的不同密碼個數(shù)為()A．180 B．210C．240 D．360C[先把6，1，8，9排列，然后選兩個空檔插入3，總方法為A46．(2023·廣東深圳二模)現(xiàn)將5個代表團人員安排至甲、乙、丙三家賓館入住，要求同一個代表團人員住同一家賓館，且每家賓館至少有一個代表團入?。暨@5個代表團中A，B兩個代表團已經(jīng)入住甲賓館且不再安排其他代表團入住甲賓館，則不同的入住方案種數(shù)為()A．6B．12C．16D．18A[甲賓館不再安排其他代表團入住，則乙、丙兩家賓館需安排余下的3個代表團入住，所以一個賓館住1個代表團，另一個賓館住2個代表團，共有C37．(2024·江西南昌模擬預(yù)測)四面體的頂點和各棱的中點共10個點．在這10點中取4個不共面的點，則不同的取法種數(shù)為()A．141B．144C．150D．155A[從10個點中任取4個點有C10第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有4C第二類，取任一條棱上的3個點及該棱所對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形(其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱)，它的4個頂點共面，有3種．以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，∴不同的取法共有C104－4故選A.]8．(2024年1月九省聯(lián)考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有()A．20種B．16種C．12種D．8種B[因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾