人教A版普通高中數(shù)學一輪復習第一章第二節(jié)常用邏輯用語學案

第二節(jié)常用邏輯用語考試要求：1．理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．2．理解全稱量詞與存在量詞的意義．3．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．自查自測 知識點一充分條件、必要條件與充要條件1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)若p：x＞1，q：x≥1，則p是q的充分不必要條件．(√)(2)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(√)(3)若a，b∈R，則“a2＋b2≠0”是“a，b不全為0”的充要條件．(√)2．(教材改編題)設x＞0，y＞0，則“x2>y2”是“x>y”的(C)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則a的取值范圍為(－∞，3)．核心回扣 1.充分條件、必要條件與充要條件(1)如果p?q，則p是q的充分條件．(2)如果q?p，則p是q的必要條件．(3)如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p是q的充要條件．2．充分條件、必要條件與對應集合之間的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．自查自測知識點二全稱量詞與存在量詞1．(多選題)(教材改編題)已知命題p：?x∈R，x＋2≤0，則(CD)A．p是真命題?B．?p：?x∈R，x＋2>0C．?p是真命題D．?p：?x∈R，x＋2>02．下列命題中的假命題是()A．?x∈R，lgx＝1B．?x∈R，sinx＝0C．?x∈R，x3>0D．?x∈R，2x>0C解析：當x＝10時，lgx＝1，故A是真命題；當x＝0時，sinx＝0，故B是真命題；當x＝－1時，x3<0，故C是假命題；由指數(shù)函數(shù)的值域知D是真命題．3．若命題“?x∈R，x2＋1＞m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1)．核心回扣 1．全稱量詞與存在量詞名稱常見量詞符號表示全稱量詞所有的、一切、任意一個、每一個、任給等?存在量詞存在一個、至少有一個、有些、對某些等?2．全稱(存在)量詞命題及含一個量詞的命題的否定 名稱語言表示符號表示命題的否定全稱量詞命題對M中任意一個x，p(x)成立?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)存在量詞命題存在M中的元素x，p(x)成立?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)注意點：不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q?若p，則q”為真命題． 【常用結論】 1.命題p和?p的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假． 2.p是q的充分不必要條件等價于?q是?p的充分不必要條件． 應用1命題“?x∈R，x2＋2x＋1＝0”的否定是命題．(填“真”或“假”) 假解析：因為當x＝－1時，(－1)2＋2×(－1)＋1＝0，所以命題“?x∈R，x2＋2x＋1＝0”為真命題，所以命題的否定“?x∈R，x2＋2x＋1≠0”是假命題． 應用2已知命題p：|x|≤1，q：x<a，若?q是?p的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍為． (1，＋∞)解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1.由題意知p是q的充分不必要條件，所以a>1.充分條件、必要條件的判斷1．(2024·煙臺模擬)“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：(x－3)(x－4)＝0?x＝3或x＝4.因為x＝3?(x－3)(x－4)＝0，反之不成立，故“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的充分不必要條件．故選A．2．(2024·黃岡模擬)已知函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，則對實數(shù)a>0，b>0，“a>b”是“f(a)>f(b)”的(C)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．使“a>b”成立的一個充分不必要條件是()A．1a<1b B．a(chǎn)3>C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)c2>bc2D解析：只有當a，b同號時才有1a<1b?a>b，故A錯誤；a3>b3?a>b，故B錯誤；a2>b2推不出a>b，故C錯誤；ac2>bc2?a>b4．已知p：12x<1，q：log2x<0，則p是qA．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B解析：由12x<1，得x>0，所以p對應的集合為(0，＋∞)．由log2x<0，得0<x<1，所以q對應的集合為(0，1)．顯然(0，1)(0，＋∞)，故p是q的必要不充分條件．充分條件、必要條件的判斷方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么、結論是什么．(2)集合法：利用集合中的包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分性、必要性的問題．充分條件、必要條件的應用【例1】(1)已知命題p：x2＋x－6＝0，q：ax－1＝0(a≠0)．若p是q的必要不充分條件，則實數(shù)a的值為()A．－12B．－12或C．－13D．12或－D解析：命題p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.命題q：因為a≠0，所以x＝1a．因為p是q的必要不充分條件，所以1a＝2或1a＝－3，解得a＝12或(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要條件，則實數(shù)kA．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)C解析：由3x+1<1，得x-2x+1>0，即(x＋1)(x－2)>0，解得x<－1或x>2.由題意可得{x|x>k}{x|x<－1，或x>2}，所以k≥2，因此，實數(shù)k的取值范圍是[2，＋∞由充分條件、必要條件求參數(shù)范圍的策略(1)巧用轉化求參數(shù)：把充分、必要條件或充要條件轉化為集合的包含或相等關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出有關參數(shù)的不等式(組)求解，注意條件的等價變形．(2)端點值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要注意區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍．1．若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，則A∩B≠?的一個充要條件是()A．a(chǎn)>－2 B．a(chǎn)≥－2C．a(chǎn)>－1 D．a(chǎn)>1C解析：由x2－x－2<0，解得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|－2<x<a}，故A∩B≠?的等價條件為a>－1，即A∩B≠?的一個充要條件是a>－1.2．(2024·濰坊模擬)已知命題p：|x＋1|>2，命題q：x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]A解析：?p：|x＋1|≤2，解得－3≤x≤1，?q：x≤a.因為?p是?q的充分不必要條件，所以[－3，1](－∞，a]，即a≥1.故選A．全稱量詞與存在量詞考向1含量詞命題的否定【例2】(1)命題p：?n∈N，n2≥2n，則命題p的否定為()A．?n∈N，n2≤2n B．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2<2n D．?n∈N，n2<2nC解析：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，所以命題p的否定應該為“?n∈N，n2<2n”．故選C．(2)(2024·棗莊模擬)已知命題p：?x≥0，ex≥1或sinx<1，則?p為()A．?x<0，ex<1且sinx≥1B．?x≥0，ex<1且sinx≥1C．?x≥0，ex<1或sinx≥1D．?x<0，ex≥1或sinx≤1B解析：該命題是全稱量詞命題，因為命題p：?x≥0，ex≥1或sinx<1，所以?p：?x≥0，ex<1且sinx≥1.故選B．對全稱(存在)量詞命題進行否定的方法(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞．(2)對原命題的結論進行否定．考向2含量詞命題的真假判斷【例3】(多選題)下列命題中的真命題是()A．?x∈R，2x-1>0B．?x∈(0，＋∞)，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2ACD解析：令t＝x－1，y＝2t，因為x∈R，所以y＝2t>0，故A正確；當x＝1時，(x－1)2＝0，故B錯誤；當x＝1時，lg1＝0<1，所以存在x∈R，lgx<1，故C正確；因為y＝tanx的值域為R，所以存在x∈R，使得tanx＝2，故D正確．判斷含量詞命題真假的方法(1)要判斷全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立．(2)要判斷存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內找到一個x，使p(x)成立即可．考向3由含量詞命題的真假求參數(shù)范圍【例4】若“?x∈R，x2－2x－a＝0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為．(－∞，－1)解析：由題意知“?x∈R，x2－2x－a≠0”是真命題，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4＋4a<0，解得a<－1.故實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－1)．根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路與全稱(存在)量詞命題真假有關的參數(shù)取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．1．命題“對于任意正數(shù)x，都有x＋1>0”的否定是()A．對于任意正數(shù)x，都有x＋1<0B．對于任意正數(shù)x，都有x＋1≤0C．存在正數(shù)x，使得x＋1≤0D．存在非正數(shù)x，使得x＋1≤0C解析：因為命題“對于任意正數(shù)x，都有x＋1>0”是全稱量詞命題，所以其否定為“存在正數(shù)x，使得x＋1≤0”．故選C．2．若定義域為R的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題中一定為真命題的是()A．?x∈R，f(－x)≠f(x)B．?x∈R，f(－x)＝－f(x)C．?x∈R，f(－x)≠f(x)D．?x∈R，f(－x)＝－f(x)C解析：由題意知“?x∈R，f(－x)＝f(x)”是假命題，則其否定為真命題，即“?x∈R，f(－x)≠f(x)”是真命題．3．已知命題“?x∈R，ax2－ax＋1>0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為．[0，4)解析：由題意得不等式ax2－ax＋1>0對x∈R恒成立．當a＝0時，不等式1>0在R上恒成立，符合題意．當a≠0時，若不等式ax2－ax＋1>0對x∈R恒成立，則a>0，Δ=a2-4a<0，解得0<a課時質量評價(二)1．下列命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是()A．?x∈R，1＋sinx<0B．每個等腰三角形都有內切圓C．?x∈R，x2＋2x≥－1D．存在一個正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質數(shù)D解析：B與C均為全稱量詞命題，A與D均為存在量詞命題，故B，C錯誤；因為?x∈R，1＋sinx≥0，則“?x∈R，1＋sinx<0”是假命題，故A錯誤；正整數(shù)2既是偶數(shù)又是質數(shù)，則“存在一個正整數(shù)，它既是偶數(shù)又是質數(shù)”是真命題，故D正確．故選D．2．若命題p：?x∈R，3x+2>0，則?pA．?x∈R，3x+2≤B．?x∈R，3x+2≤C．?x∈R，3x+2≥0或xD．?x∈R，3x+2≤0或xD解析：全稱量詞和存在量詞命題的否定，分兩步走，換符號、否結論．存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，故排除AC選項．其中3x+2>0可解得x>－2，因為x>－2的否定應是x≤3．(2024·武漢模擬)“a≤94”是“方程x2＋3x＋a＝0(x∈R)有正實數(shù)根”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B解析：由方程x2＋3x＋a＝0有正實數(shù)根，則等價于函數(shù)f(x)＝x2＋3x＋a有正零點．又因為二次函數(shù)f(x)的對稱軸為直線x＝－32<0，則函數(shù)f(x)只能存在一正一負的兩個零點，則Δ=9-4a>0，f0<0，解得a<0.又(－∞，0)?-∞，94，故“a≤94”是“方程x2＋34．(多選題)(2024·深圳模擬)使“2x≥1成立”A．0<x<1 B．0<x<2C．x<2 D．0<x≤2AB解析：由2x≥1，得2-xx≥0，解不等式得0<x≤2，結合選項知使“2x≥1成立”的一個充分不必要條件是“0<x<1”或“0<x5．(新情境)荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”此名言中的“積跬步”一定是“至千里”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B解析：荀子的名言表明積跬步未必能至千里，但要至千里必須積跬步，故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件．6．(2024·菏澤模擬)已知空間向量a＝(λ，1，－2)，b＝(λ，1，1)，則“λ＝1”是“a⊥b”的條件．充分不必要解析：當λ＝1時，a＝(1，1，－2)，b＝(1，1，1)，a·b＝1＋1－2＝0，可得a⊥b，即充分性成立；若a⊥b，則a·b＝λ2＋1－2＝0，解得λ＝±1，據(jù)此可得必要性不成立．綜上可知，λ＝1是a⊥b的充分不必要條件．7．能夠說明“存在兩個不相等的正數(shù)a，b，使得a－b＝ab是真命題”的一組有序數(shù)對(a，b)為．12，13(答案不唯一)解析：答案不唯一，如128．“不等式ax2＋2ax－1<0恒成立”的一個充分不必要條件是()A．－1≤a<0 B．a(chǎn)≤0C．－1<a≤0 D．－1<a<0D解析：當a＝0時，－1<0恒成立；當a≠0時，則a<0，4a2+4a<0，解得－1<a<0.綜上所述，不等式ax2＋2ax－1<0恒成立時，－1<a≤0.所以選項中“不等式ax2＋2ax－1<0恒成立”的一個充分不必要條件是9．(2023·全國甲卷)設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B解析：甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sin