《62角》練習(xí)蘇科版數(shù)學(xué)七級(jí)上冊初一數(shù)學(xué)試題試卷網(wǎng)

6.2角一．選擇題1．如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．125° D．135°2．下列關(guān)系式正確的是（）A．35.5°=35°5′ B．35.5°=35°50′ C．35.5°＜35°5′ D．35.5°＞35°5′3．如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，∠ABC=40°，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn)D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（）A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°4．已知∠AOB=70°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC，使∠AOC=42°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．28° B．112° C．28°或112° D．68°5．如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向C．南偏東30°方向 D．南偏東60°方向6．如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時(shí)開工，若干天后公路準(zhǔn)確接通，若公路AB長8千米，另一條公路BC長是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是（）A．6千米 B．8千米 C．10千米 D．14千米7．一艘海上搜救船借助雷達(dá)探測儀尋找到事故船的位置，雷達(dá)示意圖如圖所示，搜救船位于圖中圓心O處，事故船位于距O點(diǎn)40海里的A處，雷達(dá)操作員要用方位角把事故船相對于搜救船的位置匯報(bào)給船長，以便調(diào)整航向，下列四種表述方式中正確的為（）A．事故船在搜救船的北偏東60°方向B．事故船在搜救船的北偏東30°方向C．事故船在搜救船的北偏西60°方向D．事故船在搜救船的南偏東30°方向8．如圖，在一次定向越野活動(dòng)中，“超越”小組準(zhǔn)備從目前所在的A處前往相距2km的B處，則相對于A處來說，B處的位置是（）A．南偏西50°，2km B．南偏東50°，2kmC．北偏西40°，2km D．北偏東40°，2km二．填空題9．1.45°=．10．北偏東30°與南偏東50°的兩條射線組成的角的度數(shù)為°．11．計(jì)算33°52′+21°54′=．12．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB，若∠COB=35°，則∠AOD=°．13．上午8：30鐘表的時(shí)針和分針構(gòu)成角的度數(shù)是．14．如圖，C島在A島的北偏東60°方向，在B島的北偏西45°方向，則∠ACB=．15．如圖所示，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)，沿東北方向航行至B，再從B點(diǎn)出發(fā)沿南偏東15°方向航行至C點(diǎn)，則∠ABC等于度．16．甲看乙的方向是北偏東40°，那么乙看甲的方向是度．三．解答題（共14小題）17．用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”．如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角．求證∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．證法1：∵，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．18．問題引入：（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，則∠BOC=（用α表示）；如圖②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則∠BOC=（用α表示）拓展研究：（2）如圖③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC=（用α表示），并說明理由．類比研究：（3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC=．19．如圖，已知同一平面內(nèi)∠AOB=90°，∠AOC=60°，（1）填空∠BOC=；（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接寫出∠DOE的度數(shù)為°；（3）試問在（2）的條件下，如果將題目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α＜45°），其他條件不變，你能求出∠DOE的度數(shù)嗎？若能，請你寫出求解過程；若不能，請說明理由．20．某電視臺(tái)錄制的“奔跑吧兄弟第四季”將在周五21：10播出，此時(shí)時(shí)鐘上的分針與時(shí)針?biāo)傻慕鞘嵌嗌俣?？在如圖中大致標(biāo)出此時(shí)的角（用短箭頭、長箭頭分別表示時(shí)針和分針），并用至少兩種方式寫出這個(gè)角？（可在表盤上標(biāo)注相應(yīng)的字母或數(shù)字）21．如圖，在A、B兩處之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東46°，公司要求A、B兩地同時(shí)開工，并保證若干天后公路準(zhǔn)確接通．（1）B地修公路的走向應(yīng)該是；（2）若公路AB長12千米，另一條公路BC長6千米，且BC的走向是北偏西44°，試求A到公路BC的距離？22．如圖，是小明家（圖中點(diǎn)O）和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA=2cm，OB=，OP=4cm，C為OP的中點(diǎn)．①請用距離和方位角表示圖中商場、學(xué)校、公園、停車場分別相對小明家的位置；②若學(xué)校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？23．如圖，點(diǎn)O是直線FA上一點(diǎn)，OB，OD，OC，OE是射線，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC．（1）若∠AOE=15°，求∠FOC的度數(shù)；（2）若∠AOB=86°，求∠DOE的度數(shù)．24．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線OC，已知∠AOC≠90°，射線OD平分∠AOC，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠DOE．求：（1）當(dāng)0°＜∠AOC＜90°時(shí)，求∠FOB+∠DOC的度數(shù)；（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度數(shù)．25．（1）在圖1中，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)畫∠P，使∠P的兩邊分別與∠1的兩邊垂直，則∠P和∠1之間的存在的數(shù)量關(guān)系是；（2）在圖2和圖3中，作同樣的∠P，則兩圖中∠P和∠1的數(shù)量關(guān)系是，理由是；（3）由上述三種情形可以得到一個(gè)結(jié)論：如果一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊垂直，那么這兩個(gè)角（只需寫出結(jié)論即可）．（4）如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊且這兩個(gè)角的差為40°，那么這兩個(gè)角的度數(shù)分別是．26．（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖1中有個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖2中有個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有個(gè)不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角．27．如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時(shí)，在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫作法）；（2）若圖中有一艘漁船D，且∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，畫出表示漁船D方向的射線OD，則漁船D在貨輪O的（寫出方位角）28．生活經(jīng)驗(yàn)：因?yàn)槟阍诒卑肭?，用走時(shí)準(zhǔn)確的手表可以幫你辨別方向．將時(shí)針指向太陽所在方向，畫它與12點(diǎn)夾角的平分線，這條平分線所指的方向就是南方，如圖．題目：沙漠探險(xiǎn)隊(duì)員用手表定好方位，∠COB=48°，發(fā)現(xiàn)一處水源D在7點(diǎn)指的方向，如圖．營地E在水源D的北偏東40°方向．（1）水源D在探險(xiǎn)隊(duì)員的偏度的方向（方位角）；（2）在圖中畫出營地E所在的方向；（3）求∠EDO的度數(shù)．29．把一副三角板的直角頂點(diǎn)O重疊在一起．（1）如圖（1），當(dāng)OB平分∠COD時(shí)，則∠AOD和∠BOC的和是多少度？（2）如圖（2），當(dāng)OB不平分∠COD時(shí)，則∠AOD和∠BOC的和是多少度？30．（1）如圖1所示，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，OD、OE分別平分∠AOC、∠COB，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）中把“OC平分∠AOB”改為“OC是∠AOB內(nèi)任意一條射線”，其他任何條件都不變，試求∠DOE的度數(shù)；（3）如圖3，在（1）中把“OC平分∠AOB”改為“OC是∠AOB外的一條射線且點(diǎn)C與點(diǎn)B在直線AO的同側(cè)”，其他任何條件都不變，請你直接寫出∠DOE的度數(shù)．答案與解析一．選擇題1．（2016?北京）如圖所示，用量角器度量∠AOB，可以讀出∠AOB的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．125° D．135°【分析】由圖形可直接得出．【解答】解：由圖形所示，∠AOB的度數(shù)為55°，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關(guān)鍵．2．（2016?百色）下列關(guān)系式正確的是（）A．35.5°=35°5′ B．35.5°=35°50′ C．35.5°＜35°5′ D．35.5°＞35°5′【分析】根據(jù)大單位化小單位乘以進(jìn)率，可得答案．【解答】解：A、35.5°=35°30′，35°30′＞35°5′，故A錯(cuò)誤；B、35.5°=35°30′，35°30′＜35°50′，故B錯(cuò)誤；C、35.5°=35°30′，35°30′＞35°5′，故C錯(cuò)誤；D、35.5°=35°30′，35°30′＞35°5′，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了度分秒的換算，大單位化成效單位乘以進(jìn)率是解題關(guān)鍵．3．（2016?煙臺(tái)）如圖，Rt△ABC的斜邊AB與量角器的直徑恰好重合，B點(diǎn)與0刻度線的一端重合，∠ABC=40°，射線CD繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)，與量角器外沿交于點(diǎn)D，若射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)是（）A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140°【分析】如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO，易知點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度數(shù)即可解決問題．【解答】解：如圖，點(diǎn)O是AB中點(diǎn)，連接DO．∵點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD，∵當(dāng)射線CD將△ABC分割出以BC為邊的等腰三角形時(shí)，∠BCD=40°或70°，∴點(diǎn)D在量角器上對應(yīng)的度數(shù)=∠DOB=2∠BCD=80°或140°，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角與圓周角的關(guān)系，量角器、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解∠BOD=2∠BCD，學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考?？碱}型．4．（2016?恩施州）已知∠AOB=70°，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OC，使∠AOC=42°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．28° B．112° C．28°或112° D．68°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C1重合時(shí)，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)C2重合時(shí)，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角的計(jì)算，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．5．如果從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，那么從乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向C．南偏東30°方向 D．南偏東60°方向【分析】根據(jù)題意正確畫出圖形進(jìn)而分析得出從乙船看甲船的方向．【解答】解：如圖所示：可得∠1=30°，∵從甲船看乙船，乙船在甲船的北偏東30°方向，∴從乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角，根據(jù)題意畫出圖形是解題關(guān)鍵．6．如圖，在A、B兩地之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東48°，A，B兩地同時(shí)開工，若干天后公路準(zhǔn)確接通，若公路AB長8千米，另一條公路BC長是6千米，且BC的走向是北偏西42°，則A地到公路BC的距離是（）A．6千米 B．8千米 C．10千米 D．14千米【分析】根據(jù)方位角的概念，圖中給出的信息，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度求解．【解答】解：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ABG=48°，∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣48°﹣42°=90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距離是AB=8千米，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題是一道方向角問題，結(jié)合生活中的實(shí)際問題，將解三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．7．一艘海上搜救船借助雷達(dá)探測儀尋找到事故船的位置，雷達(dá)示意圖如圖所示，搜救船位于圖中圓心O處，事故船位于距O點(diǎn)40海里的A處，雷達(dá)操作員要用方位角把事故船相對于搜救船的位置匯報(bào)給船長，以便調(diào)整航向，下列四種表述方式中正確的為（）A．事故船在搜救船的北偏東60°方向B．事故船在搜救船的北偏東30°方向C．事故船在搜救船的北偏西60°方向D．事故船在搜救船的南偏東30°方向【分析】根據(jù)點(diǎn)的位置確定應(yīng)該有方向以及距離，進(jìn)而利用圖象得出即可．【解答】解：如圖所示：事故船A在搜救船北偏東30°方向，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置，注意方向角的確定方法．8．如圖，在一次定向越野活動(dòng)中，“超越”小組準(zhǔn)備從目前所在的A處前往相距2km的B處，則相對于A處來說，B處的位置是（）A．南偏西50°，2km B．南偏東50°，2kmC．北偏西40°，2km D．北偏東40°，2km【分析】直接利用方向角的定義得出相對于A處來說，B處的位置．【解答】解：如圖所示：相對于A處來說，B處的位置是：南偏西50°，2km．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角，利用方向角確定位置是解題關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）9．（2016?雅安）1.45°=87′．【分析】直接利用度分秒的轉(zhuǎn)化將0.45°轉(zhuǎn)會(huì)為分即可．【解答】解：1.45°=60′+×60′=87′．故答案為：87′．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了度分秒的轉(zhuǎn)化，正確掌握度分秒之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．北偏東30°與南偏東50°的兩條射線組成的角的度數(shù)為100°．【分析】根據(jù)方向角的表示方法，可得答案．【解答】解：如圖：北偏東30°與南偏東50°的兩條射線組成的角的度數(shù)為180﹣30﹣50=100°，故答案為：100．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵．11．計(jì)算33°52′+21°54′=55°46′．【分析】相同單位相加，分滿60，向前進(jìn)1即可．【解答】解：33°52′+21°54′=54°106′=55°46′．【點(diǎn)評(píng)】計(jì)算方法為：度與度，分與分對應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為1度．12．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB，若∠COB=35°，則∠AOD=110°．【分析】首先根據(jù)角平分線定義可得∠BOD=2∠BOC=70°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵射線OC平分∠DOB．∴∠BOD=2∠BOC，∵∠COB=35°，∴∠DOB=70°，∴∠AOD=180°﹣70°=110°，故答案是：110．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線定義，關(guān)鍵是掌握角平分線把角分成相等的兩部分．13．上午8：30鐘表的時(shí)針和分針構(gòu)成角的度數(shù)是75°．【分析】本題考查了鐘表里的旋轉(zhuǎn)角的問題，鐘表表盤被分成12大格，每一大格又被分為5小格，故表盤共被分成60小格，每一小格所對角的度數(shù)為6°．分針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，時(shí)間為60分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)1大格，即時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30°．也就是說，分針轉(zhuǎn)動(dòng)360°時(shí)，時(shí)針才轉(zhuǎn)動(dòng)30°，即分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°，時(shí)針才轉(zhuǎn)動(dòng)（）度，逆過來同理．【解答】解：∵8時(shí)30分時(shí)，時(shí)針指向8與9之間，分針指向6．鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為30°，∴8時(shí)30分時(shí)分針與時(shí)針的夾角是2×30°+15°=75°．故答案為：75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是鐘表表盤與角度相關(guān)的特征．能更好地認(rèn)識(shí)角，感受角的大?。?4．如圖，C島在A島的北偏東60°方向，在B島的北偏西45°方向，則∠ACB=105°．【分析】過點(diǎn)C作CD∥AE，從而可證明CD∥BF，然后由平行線的性質(zhì)可知∠DCA=∠CAE，∠DCB=∠CBF，從而可求得∠ACB的度數(shù)．【解答】解：過點(diǎn)C作CD∥AE．∵CD∥AE，BF∥AE，∴CD∥BF．∵CD∥AE，∴∠DCA=∠CAE=60°，同理：∠DCB=∠CBF=45°．∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=105°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是方向角的定義和平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握此類問題輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．15．如圖所示，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)，沿東北方向航行至B，再從B點(diǎn)出發(fā)沿南偏東15°方向航行至C點(diǎn)，則∠ABC等于60度．【分析】根據(jù)南北方向是平行的得出∠ABF=45°，再和∠CBF相加即可得出答案．【解答】解：∵AE∥BF，∴∠ABF=?EAB=45°，∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=45°+15°=60°，故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角和角的有關(guān)計(jì)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．16．甲看乙的方向是北偏東40°，那么乙看甲的方向是南偏西40°度．【分析】甲看乙的方向是北偏東40°，是以甲為標(biāo)準(zhǔn)，反之乙看甲的方向是甲相對于乙的方向與位置．方向完全相反，角度不變．【解答】解：甲看乙的方向是北偏東40°，則乙看甲的方向是南偏西40°，故答案為：南偏西40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角的定義，理解定義是關(guān)鍵．三．解答題（共14小題）17．（2016?南京）用兩種方法證明“三角形的外角和等于360°”．如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角．求證∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．證法1：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．請把證法1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．【分析】證法1：根據(jù)平角的定義得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系即可得到結(jié)論；證法2：要求證∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，則∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：證法1：∵平角等于180°，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣（∠1+∠2+∠3）．∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°．證法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．故答案為：平角等于180°，∠1+∠2+∠3=180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的外角和：n邊形的外角和為360°．也考查了三角形內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)．18．（2016?內(nèi)江）問題引入：（1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A=α，則∠BOC=90°+α（用α表示）；如圖②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，則∠BOC=120°+α（用α表示）拓展研究：（2）如圖③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC=120°﹣α（用α表示），并說明理由．類比研究：（3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，請猜想∠BOC=﹣α．【分析】（1）如圖①，根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+α；如圖②，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+α；（2）如圖③，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣α；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得∠BOC=﹣α．【解答】解：（1）如圖①，∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+α；如圖②，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+α；（2）如圖③，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣α；（3）在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=﹣α．故答案為90°+α，120°+α；120°﹣α；﹣α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．19．如圖，已知同一平面內(nèi)∠AOB=90°，∠AOC=60°，（1）填空∠BOC=150°；（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接寫出∠DOE的度數(shù)為45°；（3）試問在（2）的條件下，如果將題目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α＜45°），其他條件不變，你能求出∠DOE的度數(shù)嗎？若能，請你寫出求解過程；若不能，請說明理由．【分析】（1）直接根據(jù)已知利用∠BOC=∠AOB+∠AOC求出即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)和（1）中所求得出答案即可；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)∠DOC=∠BOC=45°+α，∠COE=∠AOC=α，進(jìn)而求出即可．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°，故答案為：150°；（2）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠COD=∠BOC=75°，∠COE=∠AOC=30°，∴∠DOE的度數(shù)為：∠COD﹣∠COE=45°；故答案為：45；（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，∴∠BOC=90°+2α，∵OD、OE平分∠BOC，∠AOC，∴∠DOC=∠BOC=45°+α，∠COE=∠AOC=α，∴∠DOE=∠DOC﹣∠COE=45°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及有關(guān)角的計(jì)算，熟練利用角平分線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．20．某電視臺(tái)錄制的“奔跑吧兄弟第四季”將在周五21：10播出，此時(shí)時(shí)鐘上的分針與時(shí)針?biāo)傻慕鞘嵌嗌俣?？在如圖中大致標(biāo)出此時(shí)的角（用短箭頭、長箭頭分別表示時(shí)針和分針），并用至少兩種方式寫出這個(gè)角？（可在表盤上標(biāo)注相應(yīng)的字母或數(shù)字）【分析】直接利用時(shí)針每分鐘走0.5°，分鐘每分鐘走6°，進(jìn)而求出答案．【解答】解：如圖所示：∵時(shí)針每分鐘走0.5°，分鐘每分鐘走6°，21點(diǎn)時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°，∴10×6°=60°，10×0.5°=5°，21點(diǎn)時(shí)夾角為：90°+60°﹣5°=145°．可以表示為∠1，∠AOB，∠O等．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了鐘面角以及角的表示方法，正確得出時(shí)針與分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)速度是解題關(guān)鍵．21．如圖，在A、B兩處之間要修一條筆直的公路，從A地測得公路走向是北偏東46°，公司要求A、B兩地同時(shí)開工，并保證若干天后公路準(zhǔn)確接通．（1）B地修公路的走向應(yīng)該是南偏西46°；（2）若公路AB長12千米，另一條公路BC長6千米，且BC的走向是北偏西44°，試求A到公路BC的距離？【分析】根據(jù)方位角的概念，圖中給出的信息，再根據(jù)已知轉(zhuǎn)向的角度求解．【解答】解：（1）由兩地南北方向平行，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，可知B地所修公路的走向是南偏西46°．（2）∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣46°﹣44°=90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距離是AB=12千米．故答案為：南偏西46°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方向角問題，結(jié)合生活中的實(shí)際問題，將解三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．22．如圖，是小明家（圖中點(diǎn)O）和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA=2cm，OB=，OP=4cm，C為OP的中點(diǎn)．①請用距離和方位角表示圖中商場、學(xué)校、公園、停車場分別相對小明家的位置；②若學(xué)校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？【分析】①根據(jù)方位角定義及圖中線段的長度即可得知；②根據(jù)學(xué)校距離小明家400m而圖中對應(yīng)線段OA=2cm可知圖中1cm表示200m，再根據(jù)OB、OP的長即可得．【解答】解：①商場在小明家西偏北60°方向，距離位置，學(xué)校在小明家東偏北45°方向，距離2cm位置，公園在小明家東偏南30°方向，距離2cm位置，停車場在小明家東偏南30°方向，距離4cm位置；②∵學(xué)校距離小明家400m，且OA=2cm，∴圖中1cm表示200m，∴×200=500m，停車場距離小明家4×200=800m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方向角的概念，用方位角描述方向時(shí)，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以對象所處的射線為終邊，故描述方位角時(shí)，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．23．如圖，點(diǎn)O是直線FA上一點(diǎn)，OB，OD，OC，OE是射線，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC．（1）若∠AOE=15°，求∠FOC的度數(shù)；（2）若∠AOB=86°，求∠DOE的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)角平分線，求得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角求得∠FOC的度數(shù)；（2）先根據(jù)角平分線得到∠EOC=∠AOC，∠DOC=∠BOC，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵∠AOE=15°，OE平分∠AOC，∴∠AOC=2×15°=30°，∵點(diǎn)O是直線FA上一點(diǎn)，∴∠FOC=180°﹣30°=150°；（2）∵OE平分∠AOC，OD平分∠BOC，∴∠EOC=∠AOC，∠DOC=∠BOC，∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=∠AOB=×86°=43°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角平分線定義得出所求角與已知角的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．24．如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線OC，已知∠AOC≠90°，射線OD平分∠AOC，射線OE平分∠BOC，射線OF平分∠DOE．求：（1）當(dāng)0°＜∠AOC＜90°時(shí)，求∠FOB+∠DOC的度數(shù)；（2）若∠DOC=3∠COF，求∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)射線OD平分∠AOC，∠AOD=∠COD，射線OE平分∠BOC，得∠COE=∠BOE，再根據(jù)∠AOC+∠BOC=180°，得出∠DOE=90°，由射線OF平分∠DOE，得∠DOF=∠EOF=45°，從而求得∠FOB+∠DOC的度數(shù)；（2）設(shè)∠AOD=∠COD=x°，分∠AOC為銳角和鈍角兩種情況，根據(jù)∠DOC=3∠COF，得出x的值，即可求得∠AOC的度數(shù)．【解答】解：如圖1，（1）∵射線OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠COD，∵射線OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE，∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=90°，∵OF平分∠DOE，∴∠DOF=∠EOF=∠DOE=45°，∴∠FOB+∠DOC=∠BOF+∠AOD=180°﹣∠DOF=180°﹣45°=135°；（2）設(shè)∠AOD=∠COD=x°，則∠AOC=2x°，由（1）的證明過程可知∠DOE=90°，∠DOF=∠EOF=45°，∠AOC≠90°，分情況考慮如下：①當(dāng)∠AOC為銳角時(shí)，如圖1，∠COF=∠DOF﹣∠COD=45°﹣x，∵∠DOC=3∠COF，∴x=3?（45°﹣x），解得x=33.75°，∴∠AOC=2x=67.5°．②當(dāng)∠AOC為鈍角時(shí)，如圖2，∠COF=∠COD﹣∠DOF=x﹣45°，∵∠DOC=3∠COF，∴x=3?（x﹣45°），解得x=67.5°，∴∠AOC=2x=135°．綜合，可得∠AOC=67.5°或135°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的計(jì)算和角平分線的定義，一定要注意角平分線的幾種表示方法．如：∠1=∠2，∠1=∠AOB，∠AOB=2∠1．25．（1）在圖1中，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)畫∠P，使∠P的兩邊分別與∠1的兩邊垂直，則∠P和∠1之間的存在的數(shù)量關(guān)系是互補(bǔ)；（2）在圖2和圖3中，作同樣的∠P，則兩圖中∠P和∠1的數(shù)量關(guān)系是相等，理由是同角（或等角）的余角相等；（3）由上述三種情形可以得到一個(gè)結(jié)論：如果一個(gè)角的兩邊分別和另一個(gè)角的兩邊垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)（只需寫出結(jié)論即可）．（4）如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊且這兩個(gè)角的差為40°，那么這兩個(gè)角的度數(shù)分別是110°和70°．【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理即可判斷．（2）根據(jù)同角（或等角）的余角相等，即可判斷．（3）由（1）（2）可知結(jié)論．（4）理由（3）中結(jié)論即可解決問題．【解答】解：（1）∠P與∠1互補(bǔ)．故答案為互補(bǔ)．（2）∠P=∠1相等．理由：同角（或等角）的余角相等．故答案為相等，同角（或等角）的余角相等．（3）相等或互補(bǔ)．故答案為相等或互補(bǔ)．（4）由題意這兩個(gè)角互補(bǔ)，不妨設(shè)這兩個(gè)角分別為α、β．（α＞β）則解得故答案為110°和70°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的計(jì)算，互余、互補(bǔ)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)正確畫好圖形，學(xué)會(huì)利用結(jié)論解決問題，屬于中考?？碱}型．26．（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖1中有3個(gè)不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖2中有6個(gè)不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有10個(gè)不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有66個(gè)不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個(gè)不同的角．【分析】（1）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（2）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（3）根據(jù)圖形數(shù)出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11=66個(gè)角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個(gè)不同的角，故答案為：3．（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個(gè)不同的角，故答案為：6．（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有10個(gè)不同的角，故答案為：10．（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+10+11=66個(gè)不同的角，故答案為：66．（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=個(gè)不同的角．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的有關(guān)概念的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出規(guī)律．27．如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時(shí)，在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B和海島C．（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫作法）；（2）若圖中有一艘漁船D，且∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，畫出表示漁船D方向的射線OD，則漁船D在貨輪O的D在O南偏東15°或北偏東75°（寫出方位角）【分析】（1）根據(jù)方向角的度數(shù)，可得答案；（2）根據(jù)余角與補(bǔ)角的關(guān)系，可得∠AOD的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得方向角．【解答】解：（1）如圖1：，（2）如圖2：，由∠AOD的補(bǔ)角是它的余角的3倍，得180°﹣∠AOD=3（180°﹣∠AOD）．解得∠AOD=45°．故D在O南偏東15°或北偏東75°．故答案為：D在O南偏東15°或北偏東75°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方向角，利用余角與補(bǔ)角的關(guān)系得出∠AOD的度數(shù)是解題關(guān)鍵．28．生活經(jīng)驗(yàn)：因?yàn)槟阍诒卑肭?，用走時(shí)準(zhǔn)確的手表可以幫你辨別方向．將時(shí)針指向太陽所在方向，畫它與12點(diǎn)夾角的平分線，這條平分線所指的方向就是南方，如圖．題目：沙漠探險(xiǎn)隊(duì)員用手表定好方位，∠COB=48°，發(fā)現(xiàn)一處水源D在7點(diǎn)指的方向，如圖．營地E在水源D的北偏東40°方向．（1）水源D在探險(xiǎn)隊(duì)員的西偏北72度的方向（方位角）；（2）在圖中