八年級數(shù)學上 冪的運算和整式乘法

-.教學內(nèi)容：

事的運算和整式乘法

二.學習要點：

1.掌握基的三種運算，并能靈活運用其解決一些數(shù)學問題。

2.掌握進行整式乘法的方法。

三.知識講解：

（一）幕的運算

1.同底數(shù)嘉的乘法

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

「nt*n^ni+n

a"（m、n為正整數(shù)）

推廣：aaa=a（m、n、p為正整數(shù)）

2.幕的乘方

嘉的乘方底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

—amn

V/-（m、n為正整數(shù)）

（/am\}n'=anmp

推廣：P7（m、n、p為正整數(shù)）

3.積的乘方

積的乘方是把積中每一個因式分別乘方，然后把所得的嘉相乘。

（町‘（m為正整數(shù)）

b，n

推廣：（曲C）'"=優(yōu),，,c"（m為正整數(shù)）

（二）整式的乘法

1.單項式與單項式相乘

單項式與單項式相乘，用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，相同字母的幕相乘，對于只在一個

單項式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為積的一個因式。

2.單項式乘以多項式

單項式乘以多項式就用這個單項式去乘以多項式的每一項，再把所得的積相加，如

m^a+b+c）=ma+mb+me

3.多項式乘以多項式

多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的

積相加。

如.（?+Z?）（/n+n）=am+an+bm+bn

【典型例題】

例1.下列算式是否正確？如果錯誤指出原因，并加以改正。

⑴/"3=2"(2)x5+x5=X10

⑶"?CJ=”9(4)b?b2?b4=b(,

(5)lOxlO8=1018

分析：要判斷以上各算式是否正確，主要是要搞清楚累的乘法與合并同類項的區(qū)別，而且

還要分清底數(shù)和指數(shù)。

33

解答：(1)錯。錯在將G混同于蘇+。3,正確結(jié)果為

(2)錯。將/+/混同于/?丁,正確結(jié)果為2/。

(3)錯。同底數(shù)嘉相乘的法則運用錯誤，底數(shù)不變，指數(shù)相加，誤為底數(shù)不變，指數(shù)相

乘，正確結(jié)果為。6。

(4)錯。誤認為b的指數(shù)為0,正確結(jié)果為小7。

(5)錯。錯在計算時把底數(shù)10與指數(shù)8相加，正確結(jié)果為10，

例2.計算：

⑴a3,a4,a'"

(2)3?(-4

⑶(一或一獷?(一4

(4)(a-bXb-a)2(a-b)3

⑸3x3?x9+x2,x'°-lx?xi?x8

⑹(a+by',(a+b)"2?(a+b)3+(a+by，+2?(a+b)"2

此例題中主要應用同底數(shù)塞相乘法則。

分析：(1)指數(shù)有常數(shù)有未知數(shù)，但方法是一致的。

(2)(一y)=V注意符號。

(3)第一項指數(shù)為1,相加時不要忘。

(4)底數(shù)是多項式，并且是互為相反數(shù)，可適當變形。

(5)(6)此兩題都為混合運算，在計算時，要注意運算順序和正確運用相應的計算法則，

并要正確區(qū)分同底數(shù)幕的乘法和整式的加減法的計算法則，在第(6)題的計算過程中要把

("+")看成一個整體計算。

解：⑴a3-a4?am=a3+4+m=a1+m

(2)?㈠)，=-J??/*=一/

⑶(W?(r)4=(-?+*=(-?=y8

(4)(a-bXb-a)2(a-b)3

二(Q-b)[a_/?)2(a-4

=(a-b)1+2+3

=("b)6

⑸原式=3x3+9+x2+,°—2X""8

=3X,2+X12-2X12

=2x'2

/7\//?-l+?-2+3/.\/H+2+n-2

(6)原式=("+")+(a+與

m+nm+n

=(a+b)+(a+b)

=2(a+h)"'+n

例3.已知22i=2'x26x2,且I。''?10、"=10”,求％+y的值。

分析：本題把同底數(shù)基相乘與解方程聯(lián)系起來，利用“同底數(shù)基相等，幕指數(shù)也相等”列

方程，從而解決問題。

例4.計算：

⑴（打⑵（-行

⑶KT（4）（叫2

⑹［（x+y）『［（"y）T

35332324

（7）a?a+a?（-a）+（-a）+（-a）

分析：此例題主要練習舞的乘方法則。

（1）中直接運用球的乘方法則運算。

（2）（3）注意一人與（一%）勿混淆。

（4）指數(shù)可含字母。

（5）題可按不同的順序進行計算，但要正確運用幕的乘方等性質(zhì)。

（6）題，要把（”+＞）視為一個整體。

（7）要注意按照運算順序逐級運算。

二3、43x4\2

a]=a=a

解：（1）

-%2\=-x2x7=-x14

(2)

[(-X)2]3=(X2)「=x2x3=X6

(3)

(4)

（5）解法1：

6]2]2

-a2一/『=a?a=々24

原式一

解法2：

2

-a6a6}2=a12?a'2a24

原式

(6)原式=(x+y)6(x+yr=a+?s

(7)原式=。8—。6—=2a8—2。6

例5.計算:

3

⑴Q班(a2an)2bnb

(2)

2

“J—2(m+n)3

(3)

a"5(a"+l.83”,-2)2_(優(yōu)一方“_2)3.(牙,"+2)

⑷

分析：（1）此題主要應用積的乘方法則。

（2）題、（3）題，是同底數(shù)嘉的乘法，積的乘方和靠的乘方三個性質(zhì)的交替運用，計算

時要分清運算順序，可根據(jù)本題特點，靈活選擇解題順序。

（3）、（4）題要注意符號問題。

（4）題要注意合并同類項法則。

解：⑴Q孫2丫=23邛2）3=8壯6

?“3"

(a2aH)2^'=[a2+n)~bn+'

(2)

Q6/?+12〃3”+3

(3)氏+〃)11-2(加+〃)]

=33(/n+z?)~3(-2)"(m+

=27(/7?+H)6?4(m+〃)"

=108(m+n)12

⑷小51向?產(chǎn)-2)2_@T0吁2)3?1產(chǎn)+2)

a3n~3b6m~4+a3n~3b6m~4

例6.計算（一“）（。/°，〃為自然數(shù)）

分析：考慮到n是一個字母，它可以為偶數(shù)也可以為奇數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，要對

n分為偶數(shù)和奇數(shù)的情況進行討論，才能作出正確的計算。

解答：（1）當n為偶數(shù)時，（一"）”=（-1）"優(yōu)=a"

（2）當n為奇數(shù)時，（一。）“=（T）"a"=一優(yōu)

例7,計算：已知10'"=2,10"=3,求io3m+2n。

分析：這一道題直接計算較為復雜，根據(jù)其特點逆向運用幕的運算法則較為簡便。

103m+2“=103m.=的”丫.付丫

用?？冢?/\/

=23x32=8x9=72

例8.計算：

⑴（-9八（一|）x（l+J

22OO32005

（2）8X4X（-O.25）

分析：（1）將指數(shù)3、6、3化為同指數(shù)3,然后逆用積的乘方性質(zhì)。（2）將不同底數(shù)8、4、

-025化成相同的底數(shù)，然后重新組合逆用積的乘方性質(zhì)。

解答：（1）

43

XX

--

=(-6)3=9-2126

②82X42003X(^0.25)20°5

2005

=(23『x42003X

2005

4x4x

4x(-1)2005

4x(-1)=-4

例9.已知"=3",0=4",c=5",試比較a、b、c的大小。

分析：比較a、b、c直接計算太繁，a、b、c又不同底，經(jīng)觀察我們可以從a、b、c的指

數(shù)變形入手。累的大小比較（底數(shù)、指數(shù)都為正整數(shù)）常通過1化不同底為同底，或化不同指

數(shù)為相同指數(shù)兩種方法進行。

a=355=35X"=(35)"=243"

解答:

0=4"=44X11=(44)"=256"

C=533=53*U=(53)"=125”

V125<243<256,：.c<a<b

例10.求N=2"x58是幾位正整數(shù)。

分析：題中N值較大，直接求解很困難，所以應考慮運用累的有關(guān)性質(zhì)先化簡，寫成科

學記數(shù)法的形式，即可確定N的位數(shù)。

解答：V212x58=24x28x58=24x(2x5)8=16xlO8=1.6xl09

'N=2/x58是一個io位正整數(shù)

例11.已知2x+5y-3=0,求4*?32＞的值。

分析：已知條件是2x與5y的關(guān)系，而所求代數(shù)式的指數(shù)是x及y,故要求'32'的

值，需將它的指數(shù)轉(zhuǎn)化為（2尤+5力的形式，這根據(jù)哥的運算性質(zhì)即可得。

解答.***2x+5y-3=0,/.2x4-5y=3

：.4X?32'=Q2）*?（25）y=22r?25y=22x+5y=2?=8

例12.下列計算中錯誤的是（）

A-5m?（-IO///4）2=-500w9

B-3x'n+n?（4x'n-n）=-12x2m

C3a°。7c2-2/可_9a203c『=7594607c2

D（-1.25xIO?）x（TxQ）x（3x109）=-1.5xIO23

分析：從單項式乘以單項式的法則及運算的步驟來判斷以上的運算是否正確。

解答：D

例例當'一片時,求代數(shù)式乂丁-6y+9）-y（y2-8y-15）+2y（3-y）的值。

分析：先化簡，合并同類項，再求值，使得在求值時代數(shù)式達到最簡化。

解答.y{y2一6y+9）-y^y2-8y-15）+2y（3-y）

=y3-6y2+9y-y3+Sy2+15y+6y-2y2

=30y

」=30x］」）=—5

當.6時，原式I67

/+衣+@（%2_3%+2）中不含/和一項，求b的值。

例14.已知

3232

分析：不含方、X項就是說按多項式乘法法則展開，再合并同類項后，式子中廣、X項

32

的系數(shù)為0,故本題可先將多項式按多項式乘法法則展開，合并同類項，然后令工、廠項的

系數(shù)為0,得到關(guān)于a、b的方程組，從而通過解方程組求出a、b的值。

x+ux+Z7)(x~-3x+2)

解答:

=x4-3x3+2x2+ax3-3ax2+2ax+bx2-3bx+2h

=/+g_3)/+(2_3〃+力了+QQ_3b)x+2b

a—3=0

<

根據(jù)題意得：[2-3a+b=0

a=3

<

解得：l"=7

例15.設a+Z?+c=abc,試證明：

a[\—b2)(]一c?)+力(1_42)(]一c?)+電一42)(]_〃)=4abe

分析：解答證明題時，先觀察等式，看等式的左、右兩邊哪一邊形式復雜，就從哪一邊開

始朝另一邊證明。本題顯然應從等式的左邊開始計算。

解答：

,.,a(l-/72)(l-c2)+Z?(l-?2)(l-c2)+c(l-a2)(l-/?2)

=a(l-c2-b1+b2c2^+b(l-c2-a2+a2c2)+c(l-a2-b2+a2Z72)

=a—CLC~-cib~+cib~c~+b—bc~-ci~b+ci~bc~+c—ci~c—be+ci~b~c

=a+b+c-ac2-ab2+bc(a+b+c)-a2b-be2+ac(a+b+c)-a2c-

b2c+ab[a+b+c)

-a+b+c-ac2-ab2+abc+b2c+bc2-a2b-be2+a2c+abc+ac~-

a'c—b'c+a'b+ab2+ahc

—4abe

a(l-/J?)(1—c?)+Z?0—〃)(1—c?)+《1-/)(1_/?2)=4abe

【模擬試題】（答題時間：70分鐘）

選擇題。

1.下列等式正確的是（）

A5a2?7as=35a5B.5a5+7a5=35a5

21

（-3*.（一30=9/-an—am=-anni

cD.452

計算（一孫的結(jié)果是（

2.X,J*)

A.xR。B.x'y

C.WD.x6y

f-"-a2y^?（10a2y2）

3.k107的計算結(jié)果為（）

----48y5

A.100-B.

185

—a8/---ay

C.100-D.10

4計算（OS*】。戶Qi叫2的結(jié)果是（）

A.2xl013B.0.5xlO14

C.8xl021D.2x1021

5.下面計算中，錯誤的是（）

-4a（2a2+%-1）=-Sa3-12/+4。

A.

B.

一

7）4/1+1）=72/+9-3/

C.

2a2-"

?（-9a）=-l&J+6CJ+4。

D.39

6,計算2m~~機Qm-5n）-n（5m-〃）的結(jié)果是（）

A.-n2B.n2

C.-10m/?+7i2D.10m/i+n2

3m+6（4m2--—\-4

7.計算I237的結(jié)果是（）

A.24m2-4B.24m?+6m+4

C.24M+6mD.24m2

8.計算（一3孫2）,（2/fz+1）的結(jié)果是（）

A-3xy4+3x2y3+3Ay2

B-6xy4-k3x2y3z-3xy2

Q—6xy4—y^z—3xy~

D-6孫4+3元2y

9適合2》a一1）一》（2》-5）=12的*的值為（）

A.2B.1C.4D.0

10.一個二項式與一個三項式相乘，在合并同類項之前，積的項數(shù)是（）

A.二項B.三項

C.五項D.六項

11.下列計算，結(jié)果錯誤的是（）

A（〃+h）（x+y）=QX+ay++by

B（a-Z?Xx-y）=cix-ay+bx-by

C（a-b\xy）=axay-bx-by

D（a+Z?）（x-y）=ax-ay+bx-by

12.計算I2八3/得（）

5151

X2d--X---X2---X---

A.66B.66

1111

X2H--X---X2d--XH—

C.66D.66

13.計算'一（"+1）（”一5）的結(jié)果是（）

A.-4x_5B.4x+5

c.X2-4x+5D.X1+4x-5

14.當x=2時,代數(shù)式（冗+12）（/_2）+（%+7）卜+8）_（%+5）（%-10）的值是（）

A.146B.145C.144D.143

15若（x+叼與'5,的積不含有*的一次項，則m的值為（）

A.5B,5C.5D.-5

二.填空題。

16.計算：（一7/力（74+4力=。

y2一；孫_1

-3x3

17.計算：

18.方程6x（7-x）=36—2x（3x-15）的解是。

19.已知梯形的上底長為（a+2b）,下底長為（2。+3力），高為S+匕），則梯形的面積為

___________O

20.一個正方形的邊長增加了3cm,它的面積就增加39c機2,則這個正方形的邊長是

三.解答題。

21.計算：

(1)5/y3.(-3x2y)

(4)(-2-)2?(-3孫2)3

⑸?(ab)?(-lab)

22

(6)5/y?(-3y)+(-xy)?(-6xy)

⑺(一1?(_4*+0

一(Q+6)”?(a-b)4?—(Q+b)4(a-b)s

(8)8'9

22.計算：

(1)(-4y)-(2/+3y-l)

仁孫2_2xy].xy

(2)13)2

(3)(—2ab”?(3a?b-2ab-4t>3)

3町6xy-9缶

(4)L'3yJ

-2a2.{—ab+b2\-5a(a'b-ab2^

(5)12)

23.計算：

⑴(y+4，y-5)

(2)(5m+2)(4〃2_3)

24.先化簡，再求值：

(1)4.7+1)+2(2/—1)+4(心)其中.1。

⑵(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=_2。

25.小明家果園里有一塊長方形的橘子林，橫向栽了5x棵，縱向栽了8x棵，請你計算一下,

小明家一共有橘子樹多少棵？

26.有一種打印紙長acm、寬bcm,打印某文檔時設置的上下邊距均為2.5cm,左右邊距

均為2.8cm,那么一張這樣的打印紙的實際打印面積是多大？