2022-2023學(xué)年人教A版（2019）高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達標(biāo)測評卷（B卷）

2022-2023學(xué)年人教A版(2019)

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達標(biāo)測評卷（B卷）

【滿分：150分】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.在四棱錐P—45CD中，底面A3CD是正方形，E為的中點，若發(fā)l=a,

UUuuu_LU.B1

PB=h,PC=c,則用基底｛a,b,c｝表示向量8《為()

2.已知直線ox-出+14=0平分圓C:d+y2-4x-2y-ll=0的面積，過圓外一點

PQ力向圓作切線，切點為Q,則|PQ|的最小值為（）.

A.4B.5C.6D.7

3.設(shè)雙曲線1-1=1（4>0力>0）的左、右焦點分別為不￡,若雙曲線上存在一

a~

點P,使N/線耳=方，且仍用=4|P段,則雙曲線的離心率為（）

A.—B.—C.—D.V2

223

4.如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，平面ABCZXQ為線段好的中

點，AB=3,3C=4,PA=2,則點P到平面BQO的距離為（）

5.已知圓4+y2-6x+4y+12=0與圓C?:爐+y2-14x-2y+a=0,若圓G與圓C2

有且僅有一個公共點，則實數(shù)。等于（）

A.14B.34C.14或45D.34或14

22

6.已知0為坐標(biāo)原點，橢圓E：［+與=13＞。＞0）的左、右焦點分別是耳,耳，離

CTb~

心率為乎，M,尸是橢圓E上的點，M耳的中點為N,|ON|+|N用=2,過P作

圓。：/+（＞-4）2=1的一條切線，切點為B,則|P3|的最大值為（）

A.20B.2A/6C.2蓬D.5

7.已知雙曲線C:=-1=l（a＞0,b＞0）的右焦點為凡右頂點為A,虛軸的兩個端

a"b"

點分別為綜鳥，以尸為圓心，10Al（0為原點）為半徑的圓與C的右支在第一

象限交于點P,西?理'=0,則C的漸近線方程為（）

A.y=±0xB.y=±2\/2x

C.y=±A/3JCD.y=i2乖ix

8.設(shè)拋物線y2=8x的焦點為尸，過戶的直線，與拋物線交于點A,B,與圓

丁+丫2_4》+3=0交于點P,Q,其中點A,P在第一象限，則21Api+|沙|的最

小值為（）

A.2夜+3B.272+5C.40+5D.4及+3

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.

2222

9.已知圓G:（x-3）+（y-l）=4,C2:x+（y+3）=l,直線/:y=A（x-l）,點MN分別

在圓G，G上.則下列結(jié)論正確的有（）

A.圓G，G沒有公共點

B.|MN|的取值范圍是［1,7］

C.過N作圓G的切線，則切線長的最大值是4近

D.直線/與圓G，G都有公共點時，哈

丫22

10.已知點P為雙曲線C:二-占=15＞0力＞0）所在平面內(nèi)一點，耳（-c,0）,工（c,0）分

ab~

別為C的左、右焦點，PF.lF^PF^Ac,線段PJPK分別交雙曲線于M,N兩

點，器=2,熠=〃.設(shè)雙曲線的離心率為e,則下列說法正確的有（）

A.若/￥；平行漸近線，則e=2

8.若4=4,則e=x/5+2

C.若〃=3,則e=G

D彳_6（2+e）

〃3

11.已知正方體A8CO-A4CQ的棱長為1,E,F分別為線段與R，8G上的動

點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.DB,，平面acn

B.平面AGBP平面4cA

C.點尸到平面ACA的距離為定值。

D.直線AE與平面B8QO所成角的正弦值為定值g

22

12.已知橢圓。=+與=1（〃＞。＞0）與直線/:x-y-l=0交于A,B兩點，記直線I與

atr

x軸的交點）E,點E,尸關(guān)于原點對稱，若ZAFB=90",則（）

A.2a2+/?2=a2b2

B.橢圓。過4個定點

C.存在實數(shù)a,使得|A8|=3

7

D.|A8|＜-

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知a=(3,24—1,1),A=(〃+1,0,2〃).右，a_1_)，則〃=；右al/b,則2+〃=

14.已知圓C:Y+y2+2x_4y+l=0,若存在圓C的弦A8,使得|相|=2扃，且其

中點M在直線2x+y+Z=0上，則實數(shù)k的取值范圍是.

15.已知點和拋物線C:丁=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于

A,8兩點.若拉WB=90。，則左=.

22I

16.已知雙曲線［-?E儂〉。,?！怠?的左焦點為F,過戶且斜率為2的直線交雙

ab4a

曲線于點A(x”yJ,交雙曲線的漸近線于點8(占,為)且占<0<%.若|FB|=3|E4|,

則雙曲線的離心率是.

四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知過點尸(0,-2)的圓M的圓心為(a,0)(〃40),且圓M與直線

x+y+2應(yīng)=0相切.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵若過點。(0,1)且斜率為后的直線/交圓M于A,B兩點,若△PA8的面積為

斗，求直線/的方程.

18.(12分)如圖，在四棱臺ABCD-A始CQ中，底面ABCD是正方形，DDtI

平面ABC。，A4=QR=2AB,2e(0,l).

(2)若二面角B-AR-C的大小為30。，求力的值.

19.(12分)已知橢圓C:￡+￡=l(a>b>0)的離心率為坦,其右頂點為A,下

a"b~2

頂點為8,定點C(0,2),八鉆。的面積為3,過點C作與y軸不重合的直線/交

橢圓C于P,。兩點，直線BP,8。分別與x軸交于M,N兩點.

(1)求橢圓。的方程.

(2)試探究點M,N的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，若是，請求出該定值；若不

是，請說明理由.

22

20.(12分)已知雙曲線C:￡T=l(a>0,b>0)的右焦點為尸(2,0),點尸到。的

漸近線的距離為1.

(1)求C的方程.

(2)若直線《與C的右支相切，切點為P4與直線4：x=|交于點Q，問x軸上是

否存在定點M,使得MP_LMQ?若存在，求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由.

21.(12分)在四棱錐P—中，PZ)_L底面ABC。，CD//AB,

AD=DC=CB=l,AB=2,￡)P=73.

(1)證明：BD工PA;

(2)求PO與平面所成的角的正弦值.

22.(12分)已知拋物線C:x2=2p)，(p>0)的焦點為為坐標(biāo)原點，橫坐標(biāo)為

夜的點尸在拋物線。上，滿足IPFRP。.

(1)求拋物線。的方程.

(2)過拋物線C上的點A作拋物線C的切線/,A與。不重合，過。作/的垂線，

垂足為8,直線80與拋物線C交于點D當(dāng)原點到直線4)的距離最大時，求點

A的坐標(biāo).

答案以及解析

1.答案：c

解析：連接8。，QE為PO的中點，

uun1iiiruuntuiruuuitiwnruunutr

.-.BE=-(BP+BD)=-(-b+BA+BC)=--b+-(PA-PB+PC-PB)=

iioruurinnuirii131工心3

——b+-(PA-PB+PC-PB)=——b+-(a+c-2b)=-a--b+-c.MJ&C.

2222222

2.答案：A

解析:將圓C:/+y2-4x-2y-ll=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x-2)2+(y-l>=16,

所以圓心C(2,l),半徑r=4,因為直線or-物，+14=0平分圓

C:f+y2_4x-2y-11=0的面積，所以圓心C(2,l)在直線or-孫+14=0上，故

2a—%+14=0,即6=a+7.

在RtAPgC中，|P012=|PC|2-r2=(a-2)2+(Z>-1)2-16=(a-2)2+(a+6)2-16

=2a2+8a+24=2(?+2)2+16,

所以當(dāng)a=-2時，IP。/的最小值為16,故|PQ|的最小值為4.故選A.

3.答案:C

?2,,2

解析：因為點尸在雙曲線/-方=13>08>0)上，且冏卜41P周，

所以附卜歸閭=2”,

所以冏|號,陶卷,

因為NPB耳=會

所以|啕2+忸聞=忸聞2,

即用+.唁卜

整理得°2=*〃2,

3

所以離心率用樣=半.故選C.

4.答案:B

解析：如圖，以A為原點，分別以A氏A￡>,AP所在直線為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，則3(3,0,0),￡)(0,4,0),尸(0,0,2),Q(0,0,1),

UUUUUU1UUU

QB=(3,0,-1),BD=(一3,4,0),。尸=(0,0,1).

min

〃V即。+?=0,

("3=0,13—=0.

令x=4,則z=12,y=3,.?.”=(4,3,12).

UUU

.?.點P到平面3QD的距離4=叱包=上.

|n|13

5.答案：D

解析：設(shè)圓G、圓G的半徑分別為4、4?圓G的方程可化為

(x-3)2+(y+2)2=l,

圓G的方程可化為(X-7)2+(y-1)2=50-“.

由兩圓相切得，[C￡|=4+4或|(7￡]=,-訃

22

0|q02|=74+3=5,

.1乃+1=5或|1一引=5n乃=4或4=6或弓=T(舍去).

因止匕，50-。=16或50—。=36=。=34或。=14,故選D.

6.答案：B

解析：連接“心，QMK的中點為N,

:\ON\=^\MF2\,

:\ON\+\NFt\=-[\MF2\+\MF^=-x2a=a=2,

Qe=—=,r.c=G,.,.橢圓E:土+)*=1.

a24

設(shè)P(x。，％)，則本+必=1，.,.x：=4-4y：,-1<y0<1.

連接Q3,PQ,由題知，Q(0,4),QBLPB,

|Q81=1,PB|=^\PQ\2-1=&+(%-4)2-1

="-4y：+(%-4/-1=-8%+19

=p(%+g)+暫(TW%41),

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)為=-1時，|P8|取得最大值，且|「8|皿、=2而，故選B.

7.答案：A

UUllUUUUUlluuu

解析：因為PB「PBLO,所以PAIPB],連接產(chǎn)。，PF,設(shè)。的左焦點為F',

ULOUIILIUUUUUL1UUUU

連接尸尸，^\PO\=b,\PF\=a,\PF'\-\PF\=2a,所以|尸產(chǎn)|=3a,因為

ULM1UUUUIHU__...,n

\PO\=b,\PF\=a,\OF\=c,所以VOP尸是直角三角形，因為cosNPFF=—,所以在

C

VPFF'中由余弦定理得9a2=4c2+a2-2x2cxaxcosNP/7;'',即c=6a,所以

b=?,所以C的漸近線方程為y=±夜x.

解析：由拋物線方程，得/?=4,因此F(2,0).

設(shè)直線/的方程為了=歿+2,聯(lián)立了="‘得＞2_8沖76=0.

[X=my+2,

設(shè)A（%,yJ（占>0,y>0）,8（孫％）（%>°，%<。），則%必=-16,

“…蘭.》普=%從而

又|AP|=x,+-^-1=%1+2-1=%,+1>|QB|=X2+-^-1=X2+2-1=JC,+1,

4

.■.2\AP\+\QB\=2xl+x2+3=2x1+—+3（xl>0）.

玉

因止匕21Api+|。8|42,工「：+3=4收+3,當(dāng)且僅當(dāng)占=拒時取等號.故選D.

9.答案：AC

解析：本題考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.圓G的圓心G(3,l),半徑4=2,

圓的圓心。2(0，-3),半徑4=1.對于選項A,圓心距

d=J(0-3)2+(-3-1)2=5>{+",所以圓G，G外離，選項A正確；對于選項B,

|MN|的最小值為4-({+4)=2,最大值為d+?+4)=8,選項B錯誤；對于選

項C,連接GG與圓交于點M外側(cè)交點)，過N作圓G的切線，切點為P，

此時|NP|最長，在RtVc/N中，|NP|=+一片=五-2。=40,選項C正

確；對于選項D,直線/方程化為：kx-y-k=0,圓心G到直線/的距離

先1^2,解得--』，圓心C,到直線/的距%^41,解得所以直線

7F714-VFTi3

/與圓G，G都有公共點時，k>^,選項D錯誤.故選AC.

10.答案：ACD

解析：本題考查雙曲線的定義、離心率問題、焦半徑問題.由題意△尸耳用為直角

三角形，點P坐標(biāo)為(。,±2其)，直線附斜率％=±后,々6g=60;不妨設(shè)點/>在

第一象限，如圖.

選項A,若歷平行漸近線，則2=石，得e=2,故A正確.

a

選項B,若;1=4,則=連接M鳥（圖略），由/尸/詔=60。，解得

\MF2\=>j3c,:.2a=\MF2\-\MFt\=（>j3-l）c,得e=6+l,故B錯誤.

選項C,若〃=3,則|叫|=半。.連接樣（圖略），由NPKR=90。，解得

|^|=4^1G...2a=\NF,\-\NF2\=,得e=K,故C正確.

選項D,Q|尸用=4c=X阿I，.?』岬|=',點M的坐標(biāo)為為="-c,y“=*,

4AA,

代入雙曲線方程得彳=2（2：Y）,Q|N用=?,則

禺=""4=/=回且，故D正確.故選ACD.

2

\NF2\bAV33

11.答案：ABC

解析：以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)ryz,

由題意知，A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),50,1,0)，A(。，?！?，4(1，。，1)，

uuuuuuu

q(1,1,1),0,(0,1,1),則BQ=(-1,1,0),BCt=(0,1,1),

、uuuuuuu

設(shè)E(x,y,l),B]E=AB,D],^1,

則(x-l,y,0)=(—；M,0),

x-1=-2,Jx=l-2,

y=4,[y=2,

E(1—A,A,1).

設(shè)F(l,y',z),BF=RBG，硼1,則(0,y；z)=(0,〃,〃).

UUUUUUiLlUU

對于A,QDB,=(1,-1,1),AC=(1,1,0),=(0,1,1),

uuiruuu

DB.AC=0,

5uuiruuir「.。旦-LAC,DB】_LAR,

DB1?A?=0,

又AC,AQu平面AC〃，ACr>AD,=A,

.?.￡>4_L平面ACQ,故A正確;

uuuuuuuuuu

對于B,QAG=(1，1，。)，AB=(l，0，T)，OB,=(1,-1,1),

:.DBtLA.Q,DBt,

又AC，ABu平面AC],AGCAB=A，

.?.。q_L平面AG8,

又Q￡)4_L平面ACDt,

平面AG8P平面ACQ,故B正確;

對于C,QO81_L平面AC〃，線=(1,-1,1)為平面ACR的一個法向量，

|UumuiaTi

uiui_lA.F',DB,i/q

QAF=(1,〃,〃)，.■.點尸到平面4CR的距離d=—HH^=7=在，為定值，故C

網(wǎng)G3

正確；

對于D,易知ACJ_平面

.-.AC=(1,1,0)是平面陰。Q的一個法向量，

設(shè)直線AE與平面88Q。所成的角為3,

U11U

又QAE=(1-Z九1),

UlUUUlU

.八\AC-AE\1

sin"=-tw_ttt?-=——,--------

\AC\\AE\后,2萬-22+2

不是定值，故D錯誤.故選ABC.

12.答案：ABC

22

尸+>-1

解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系.設(shè)4(不必),8(七,必).由靛瓦'得

y=x-l,

(a2+Z?2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,A=4a4-4(a2+i2)(a2-a2b2^=4a2b2(^a2+b2-l)>0,

2a2

%+%=-->rr,wULt

貝<f+,,因為E(l,0),所以F(—l,0),又FAFB=G,所以

a2-a2b2

(x,+1)(*2+1)+X%=(%+1)(*2+1)+(-^-1)(^2-1)=2玉W+2=0,所以名

22222

X「W="””=T，2a+h=ah,故A正確；所以二+馬=1,即橢圓過定點

-a2+b2a2b2

工(1,揚，4(1,-&)，4(-1,0),7；(-1,-立)，故B正確；

|A8|=a?歸一々|=&,J(%+W)一4占占=20(―^-)2+1,由2/+從="從得

2

從=/_>0,貝卜2>1,所以4=3,則有|A8|=2/.|(—4)、1,因為

CI—1UC141--

\a2-\

a2>\,所以|AB|的取值范圍為(2夜,4),故C正確，D錯誤.故選ABC.

13.答案:—

510

解析：由aD,得eb=3(〃+l)+2〃=O,解得〃=-1.由a//b,得怨=斗，且

22—1=0，解得〃=1，2=—>所以義+〃=工.

5210

14.答案：—A/5<k<>/5

解析：圓C的方程可化為(x+l>+(y-2)2=4,圓心C(-1,2),半徑廠=2,

由于弦滿足|AB|=2百，且其中點為M,則|CM|=

因此M點在以C(-L2)為圓心，1為半徑的圓上,

又點、M在直線2x+y+A=0上，

故直線2x+y+A=0與圓(x+l)?+(y-2)2=l有公共點，于是解得

A/5

-75<A:<x/5.

15.答案:2

解析：解法一：由題意可知C的焦點坐標(biāo)為(1,0),所以過焦點(1,0),斜率為々

的直線方程為*=菅+1,設(shè)4傅+1,小8修+1,%)將直線方程與拋物線方程

聯(lián)得*，2=-4?

K

NAM3=90。，

.-.MAMB=0,即[5+2)(亳+2)+(y—1)(丫2-1)=0，

即公一4%+4=0,解得5=2.

解法二:設(shè)A(X],y),8(占,乃)，

#=4%,①

￡=4X2,②

②-①得代-犬=4(七一%)，從而左=互q=」一.

々一士乂+%

設(shè)45的中點為,連接W」.?直線A8過拋物線)，、4x的焦點，

，以線段A8為直徑的0”與準(zhǔn)線/:x=T相切.

ZAMB=90°,

，點M在準(zhǔn)線/:x=-l上，同時在0”上，

.?.準(zhǔn)線/是O"的切線，切點為M,且A/WU,即MW與x軸平行,

.?.點的縱坐標(biāo)為1,即"^=1=%+必=2,

解析：結(jié)合題意作出圖形如圖所示，由題意知，過左焦點尸(-G0)且斜率為2的

(x+c)

直線的方程為y=2(x+c),由心"，解得:,所以B:冬.因為

4ahbe133aJ

y=~x]

5c

%=---

|FB|=3|FA|,所以麗=3而，即(竺，"]=3(x+c,y),得J,所以

I33a)pF

將jw,人〕代入雙曲線方程馬一耳=1,可得31-12吐=i,

[99a)199a)a2b2a2b2

結(jié)合離心率心得，卷,又所以雙曲線的離心率為手.

(2)直線/的方程為丫=±》+1.

解析：⑴設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=，(a40,r>0).

圓心M到直線x+y+2夜=0的總巨離為

a2+4=r,

由題意得+所以a=0或.=4立(舍去)，所以產(chǎn)=4,

---夜7=~=r，

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2+/=4.

(2)易知直線I的斜率存在.設(shè)直線I的方程為y=fcc+l,

由⑴知圓心M的坐標(biāo)為(0,0),半徑為2,則圓心M到直線/的距離為r二

VF+1

所以|AB|=2/-=2J爺q，設(shè)點P(0,-2)到直線/的距離為4,則

所以與叩乎，解得々=土1,

，2，左+17k+1L

則直線/的方程為y=±x+l.

18.答案：(1)見解析

⑵彳=遮

2

解析：(1)設(shè)四棱臺ABO-AAGR的側(cè)棱交于點P，

連接8。交AC于點0,

因為四邊形A3CO是正方形，所以。為8。的中點，

因為A8//A4，A4=gA8,所以用為PB的中點，

連接0耳，所以O(shè)BJ/DR.

因為OR_L平面ABCD,所以04d.平面ABCD,

因為。與u平面AB。，所以平面ABC-L平面ABCD.

(2)由題可以。為坐標(biāo)原點，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

JkZ

X

設(shè)筋=1,則力&=AS=2,AG(O,I),

所以50,0,0),A(l,0,0),D,(0,0,2),C(0,l,0),

所以而；=(-l,0"),AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0).

設(shè)平面ABD、的法向量為n}=(%,y,4),

則卜=0,即戶;名=0,得％=o,令玉=2,則4=1,

"「AB=01y=°

所以馬=(2,0,1)為平面ABA的一個法向量.

設(shè)平面ACQ的法向量為%=(%2，》2,22)，

則心明=0,即尸+電=0,令人則z,=l,

“AC=0[-x2+y2=0

所以%=(2,2,1)為平面ACDt的一個法向量.

因為二面角B-AD,-C的大小為30°,

所以|cos(nl，4)|=?/芻.=g，

整理得2萬+矛-1=0,得力」，

2

因為/le(0,l),所以；1=也.

2

19.答案：(1)￡+丁=1

4

(2)是定值，g

解析：(1)由已知，A,8的坐標(biāo)分別是4。,0),,由于ZVWC的面積

為3,

,g(2+A)a=3①，又由e=等=2=J1-(?,化簡得q=2Z>②，

①②兩式聯(lián)立解得：b=l或6=-3(舍去)，."=2,b=l,

橢圓方程為1+丁=1;

4

(2)設(shè)直線P。的方程為、=履+2,P,0的坐標(biāo)分別為P(XQJ,Q(x2,%)

則直線8P的方程為y=X土\-1,令y=0,得點M的橫坐標(biāo)％=一三,

為M+1

直線8。的方程為、=口>1,令y=0,得點N的橫坐標(biāo)4=上、，

W%+1

_x,x2_x{x2_x^x2

29

“'(y+l)(%+l)(3+3)(優(yōu)+3)kx]x2+3^(x)+x2)+9

把直線丫="+2代入橢圓千+V=1得(1+4/*+16西+12=0,

由韋達定理得不々=n,,玉+々=一1%

1?1?^TK,

12

"Xm%=12k248^一-=12--48-2+9+36r=]，是7E值.

-------------1-9

1+4公1+4公

20.答案：⑴5-V=1

(2)M(2,0)

解析：（1）易知。的漸近線方程為for土ay=0,c=2,

所以F（2,0）到漸近線的距離公下3=="=b=l,

\/a2+b2c

所以a?=/-/=3,

所以C的方程為1->2=1.

（2）由題意易知直線4的斜率存在，設(shè)其方程為y=fcr+,〃，聯(lián)立《與。的方程,

消去y,得（3公一l）d+6Amr+3/+3=0,

因為直線4與C的右支相切，所以13&2一1>°,

1［加<0

A=36公M-12（3-一1）（"+］）=］2（病+1-3爐）=0

得m2=3k2-1,則0.

設(shè)切點尸（2j,則「一瓷廠子，

,3d2-3k21

X=但+機=---+m=-m-------=---.

mmm

設(shè)。（4,%），因為。是直線/|與直線4的交點，所以超=5,%=?+小

假設(shè)X軸上存在定點M（%,0）,使得MP_LMQ,

UUUUUU

則MPMQ=(xt%，乂）?（々一%,必）=（占-兌）（±-Xo）+%%

=xlx2+yly2-x0(xl+x2)+xl

9k3k,<33八2

=~zzi。J―+%

2m2m(2m)

233k/\

=^o--^-1+—U)-2)

2m

i3〃

二3(x。一2)(2%)+1)+—(x-2)

2m0

=(七一2)1+；+?，

UUUUUU

故