高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(提升版)(新高考地區(qū)專用)10.1平面向量的線性運(yùn)算及基本定理(精講)(提升版)(原卷版+解析)

10.1平面向量的線性運(yùn)算及基本定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一平面向量的基本定理【例1】(2023·廣東·高三開學(xué)考試）在中，已知，，與交于，則（

）A．

B．

C．

D．【一隅三反】1．(2023·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點(diǎn)、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，若，則滿足（

）A． B．C． D．3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在中，為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．∥ D．考點(diǎn)二平面向量中的共線問(wèn)題【例2-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．【例2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，E為上一點(diǎn)，，P為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．122．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的重心為G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則________.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.考點(diǎn)三最值【例3】2(2023·北京·高三開學(xué)考試）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為圓的直徑，若點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·浙江）已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外的點(diǎn)D，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿足，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四平面向量與其他知識(shí)綜合【例4-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，，D，E是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2【例4-2】(2023·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.【一隅三反】1．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選）在平面四邊形中，的面積是面積的2倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞減數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．2．(2023·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）已知任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn).已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為___________.（用坐標(biāo)作答）10.1平面向量的線性運(yùn)算及基本定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一平面向量的基本定理【例1】(2023·廣東·高三開學(xué)考試）在中，已知，，與交于，則（

）A．

B．

C．

D．答案：C【解析】如圖，過(guò)作直線交于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：C.【一隅三反】1．(2023·廣東·高三開學(xué)考試）在平行四邊形中，點(diǎn)、分別滿足，，若，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，點(diǎn)、分別滿足，，所以，，所以．故選：A2．(2023·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)，若，則滿足（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由得因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以由三點(diǎn)共線知，存在實(shí)數(shù)，滿足，由三點(diǎn)共線知，存在實(shí)數(shù)，滿足，所以，又因?yàn)闉椴还簿€的非零向量，所以，解得，所以，即，所以，故A不正確；，故B正確；D不正確；，故C不正確.故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在中，為中點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．∥ D．答案：BC【解析】因?yàn)?，則三點(diǎn)共線，且，又因?yàn)闉橹芯€，所以點(diǎn)為的重心，連接并延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，所以，所以∥故選：BC．考點(diǎn)二平面向量中的共線問(wèn)題【例2-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，向量，，若O，A，B三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)镺，A，B三點(diǎn)共線，則所以，，即整理得：又∵向量，不共線，則，則故選：A．【例2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，若M、P、Q三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．4 D．－1答案：A【解析】∵M(jìn)、P、Q三點(diǎn)共線，則與共線，∴，即，得，解得.故選：A.【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，E為上一點(diǎn)，，P為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．12答案：D【解析】，，三點(diǎn)共線，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是12.故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的重心為G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則________.答案：3【解析】如圖，設(shè)F為BC的中點(diǎn)，則，又，，則，又G，D，E三點(diǎn)共線，∴，即.故答案為：3.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，不共線，若向量與向量共線，則的值為____________.答案：【解析】因?yàn)榕c共線，可設(shè)，即，因?yàn)椋还簿€，所以，所以.故答案為：考點(diǎn)三最值【例3】2(2023·北京·高三開學(xué)考試）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為圓的直徑，若點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖所示由圖像可知，與夾角的范圍為，所以,所以.故選：B.【一隅三反】1．(2023·浙江）已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外的點(diǎn)D，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】在圓外，則且，又，所以，又三點(diǎn)共線，所以，，而，所以．故選：D．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】單位向量滿足，即，作，以射線OA，OB分別作為x、y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，，設(shè)，則，由得：，令，即，，其中銳角滿足，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故選：D3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面內(nèi)，定點(diǎn)滿足，，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題意知，即點(diǎn)到三點(diǎn)的距離相等，可得為的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以為的垂心，所以的外心與垂心重合，所以為正三角形，且為的中心，因?yàn)?，解得，所以為邊長(zhǎng)為的正三角形，如圖所示，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，可得設(shè)，其中，又因?yàn)椋礊榈闹悬c(diǎn)，可得，所以.即的最大值為.故選：B.考點(diǎn)四平面向量與其他知識(shí)綜合【例4-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，M，N分別是線段，上的點(diǎn)，且，，D，E是線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的的最小值是（

）A．4 B． C． D．2答案：B【解析】設(shè)，，，，則，，，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的的最小值是.故選：B【例4-2】(2023·吉林·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.答案：【解析】由題可知，，，設(shè)，則則所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：.【一隅三反】1．(2023·江蘇·阜寧縣東溝中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）（多選）在平面四邊形中，的面積是面積的2倍，又?jǐn)?shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，恒有，設(shè)的前項(xiàng)和為，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為遞減數(shù)列C．為等差數(shù)列 D．答案：BD【解析】如圖，連交于，則，即，所以，所以，所以，設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，，所以當(dāng)時(shí)，恒有，所以，即，又，所以，所以，所以，因?yàn)椴皇浅?shù)，所以不為等比數(shù)列，故A不正確；因?yàn)椋?，所以為遞減數(shù)列，故B正確；因?yàn)椴皇浅?shù)，所以不為等差數(shù)列，故C不正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BD2．(2023·云南·昆明一中高三開學(xué)考