2024版新教材高中數學第七章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布同步練習15二項分布新人教A版選擇性必修第三冊

同步練習15二項分布必備學問基礎練一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1．[2024·河北唐山高二期中]在100件產品中有5件次品，接受有放回的方式從中隨意抽取10件，設X表示這10件產品中的次品數，則()A．X～B(100，0.05)B．X～B(10，0.05)C．X～B(1000，95)D．X～B(10，0.95)2．某一批種子的發(fā)芽率為eq\f(2,3).從中隨機選擇3顆種子進行播種，那么恰有2顆種子發(fā)芽的概率為()A．eq\f(2,9)B．eq\f(8,27)C．eq\f(4,9)D．eq\f(2,3)3．[2024·河南洛陽高二期中]已知隨機變量ξ聽從二項分布ξ～B(6，eq\f(1,3))，即P(ξ＝2)＝()A．eq\f(3,16)B．eq\f(1,243)C．eq\f(13,243)D．eq\f(80,243)4．2024年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊與法國隊在120分鐘競賽中3∶3戰(zhàn)平，經過四輪點球大戰(zhàn)阿根廷隊以總分7∶5戰(zhàn)勝法國隊，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內斯撲出法國隊員的點球，表現神勇，撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方始終撲點球，而且門將即使方向推斷正確也有eq\f(1,2)的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點球的個數X的期望為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．25．[2024·山東青島高二期末]假如一次伯努利試驗中，出現“成功”的概率為eq\f(1,3)，記6次獨立重復試驗中出現“成功”的次數為X，則D(X)＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C．2D．46．已知隨機變量X～B(n，p)，若E(X)＝1，D(X)＝eq\f(4,5)，則P(X＝4)＝()A．eq\f(4,625)B．eq\f(32,125)C．eq\f(1,125)D．eq\f(1,25)7．設隨機變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，則P(η≥2)的值為()A．eq\f(32,81)B．eq\f(11,27)C．eq\f(65,81)D．eq\f(16,81)8．[2024·河南開封高二期中]甲、乙兩名同學進行羽毛球競賽，競賽實行5局3勝制，假設每局競賽相互獨立且沒有平局，若每局競賽甲勝的概率為eq\f(3,5)，則競賽在第4局結束的概率為()A．eq\f(72,625)B．eq\f(162,625)C．eq\f(234,625)D．eq\f(324,625)二、多項選擇題(每小題5分，共10分)9．[2024·江西宜春高二期中]若隨機變量X聽從參數為4，eq\f(2,3)的二項分布，則()A.P(X＝1)＝P(X＝3)B．P(X＝2)＝3P(X＝1)C．P(X＝0)＝2P(X＝4)D．P(X＝3)＝4P(X＝1)10．設a，b∈R＋，且eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝1，隨機變量X～B(6，eq\f(2,3))，隨機變量Y＝aX－b，則()A．E(X)＝4B．D(Y)＝a2D(X)－bC．E(X2)＝eq\f(52,3)D．當E(Y)取得最大值時，D(Y)＝eq\f(1,3)三、填空題(每小題5分，共10分)11．已知隨機變量X聽從二項分布B(n，p)，且X的期望E(X)＝4，方差D(X)＝2，則n＝________．12．在3重伯努利試驗中事務出現的概率相同，若事務A至少出現1次的概率為eq\f(19,27)，則事務A在1次試驗中出現的概率為________．四、解答題(共20分)13．(10分)[2024·河北石家莊高二期中]某籃球運動員投籃的命中率為0.7，現投了6次球．(1)求恰有4次命中的概率；(2)求至多有4次命中的概率；(3)設命中的次數為X，求E(X).14．(10分)[2024·廣東佛山高二期末]某商家為了提高服務質量，特地開設了顧客反饋熱線電話．熱線電話共有3個分機專供與顧客通話．設每個分機在每一時刻占線的概率為eq\f(1,3)，并且各個分機是否占線是相互獨立的．(1)求在某一時刻恰好有一個分機占線的概率；(2)求任一時刻占線的分機個數X的分布列與數學期望．關鍵實力綜合練15．(5分)[2024·江蘇南通高二期中]歐洲空中客車公司設計并制造了A340，它是一種有四臺發(fā)動機的遠程雙過道寬體客機，取代只有兩臺發(fā)動機的A310，假設每一架飛機的引擎在飛行中出現故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨立的，已知A340飛機至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；A310飛機須要2個引擎全部正常運行，飛機才能成功飛行．若要使A340飛機比A310飛機更平安，則飛機引擎的故障率應限制的范圍是()A．(eq\f(2,3)，1)B．(eq\f(1,3)，1)C．(0，eq\f(2,3))D．(0，eq\f(1,3))[答題區(qū)]題號1234567891015答案16.(15分)某中學為宣揚傳統(tǒng)文化，特實行一次《詩詞大賽》學問競賽．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競賽中小組兩人分別答兩題．若小組答對題數不小于3，則獲得“優(yōu)秀小組”稱號．已知甲、乙兩位同學組成一組，且甲同學和乙同學答對每道題的概率分別為p1，p2.(1)若p1＝eq\f(4,5)，p2＝eq\f(3,4)，求在第一輪競賽中，他們獲得“優(yōu)秀小組”稱號的概率；(2)若p1＋p2＝eq\f(5,4)，且每輪競賽結果互不影響．假如甲、乙同學想在此次競賽活動中獲得6次“優(yōu)秀小組”稱號，那么理論上至少要進行多少輪競賽？同步練習15二項分布1．解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是eq\f(5,100)＝0.05，相當于10次獨立重復的伯努利試驗，所以聽從二項分布X～B(10，0.05).答案：B2．答案：C3．解析：因為隨機變量ξ聽從二項分布ξ～B(6，eq\f(1,3))，所以P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,6)·(eq\f(1,3))2·(eq\f(2,3))4＝eq\f(80,243).答案：D4．解析：依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).門將在前四次撲出點球的個數X可能的取值為0，1，2，3，4.X～B(4，eq\f(1,6))，期望E(X)＝4×eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).答案：C5．解析：伯努利試驗中隨機變量聽從二項分布，即X～B(n，p)，因為出現“成功”的概率為eq\f(1,3)，所以p＝eq\f(1,3)，因為6次獨立重復試驗，所以n＝6，所以D(X)＝np(1－p)＝6×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,3).答案：B6．解析：由E(X)＝1，D(X)＝eq\f(4,5)，得np＝1，np(1－p)＝eq\f(4,5)，解得n＝5，p＝eq\f(1,5)，所以P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(4)×(1－eq\f(1,5))＝eq\f(4,625).答案：A7．解析：因為隨機變量ξ～B(2，p)，所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以η～B(4，eq\f(1,3))，則P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－(1－eq\f(1,3))4－Ceq\o\al(1,4)(1－eq\f(1,3))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(11,27).答案：B8．解析：打完第4局競賽結束，包含以下兩種狀況，(1)第4局甲贏，前三局甲贏兩局，概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(162,625)；(2)第4局乙贏，前三局乙贏兩局，概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(72,625)；∴打完第4局競賽結束的概率為eq\f(162,625)＋eq\f(72,625)＝eq\f(234,625).答案：C9．解析：由題意，依據二項分布中概率的計算公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n，則P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)(1－eq\f(2,3))4＝eq\f(1,81)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)(1－eq\f(2,3))3＝eq\f(8,81)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)(1－eq\f(2,3))2＝eq\f(8,27)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)(1－eq\f(2,3))1＝eq\f(32,81)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)(1－eq\f(2,3))0＝eq\f(16,81)，因此P(X＝2)＝3P(X＝1)，P(X＝3)＝4P(X＝1)，P(X＝4)＝16P(X＝0).答案：BD10．解析：E(X)＝np＝6×eq\f(2,3)＝4，A正確；D(Y)＝D(aX－b)＝a2D(X)，B不正確；D(X)＝np(1－p)＝6×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，因為D(X)＝E(X2)－(E(X))2，所以E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝eq\f(4,3)＋16＝eq\f(52,3)，C正確；E(Y)＝aE(X)－b＝4a－b＝(4a－b)(eq\f(1,a)－eq\f(1,b))＝5－(eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b))≤5－2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝1，當且僅當eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(1,2)，b＝1時取等號，此時D(Y)＝a2D(X)＝eq\f(1,3)，D正確．答案：ACD11．解析：依題意X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝2，解得p＝eq\f(1,2)，n＝8.答案：812．解析：記“A至少發(fā)生1次”為事務M，則eq\o(M,\s\up6(－))表示其對立事務“A發(fā)生0次”，事務A的發(fā)生符合二項分布，設事務A在1次試驗中出現的概率為p，P(M)＝1－P(eq\o(M,\s\up6(－)))＝1－Ceq\o\al(0,3)p0(1－p)3＝eq\f(19,27)，所以(1－p)3＝eq\f(8,27)，所以(1－p)＝eq\f(2,3)，解得p＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)13．解析：(1)某籃球運動員投籃的命中率為0.7，則未命中的概率為1－0.7＝0.3，現投了6次球，恰有4次投中的概率為：P＝Ceq\o\al(4,6)×(0.7)4×(1－0.7)2＝eq\f(64827,200000).(2)至多有4次投中的概率為：P＝Ceq\o\al(0,6)×0.36＋Ceq\o\al(1,6)×0.71×0.35＋Ceq\o\al(2,6)×0.72×0.34＋Ceq\o\al(3,6)×0.73×0.33＋Ceq\o\al(4,6)×0.74×0.32＝eq\f(23193,40000).(3)由題意可知X～B(6，0.7)，所以E(X)＝6×0.7＝4.2.14．解析：(1)設事務A＝“恰好有一個分機占線”，則P(A)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))2＝eq\f(4,9).(2)由于各個分機是否占線是相互獨立的，則X～B(3，eq\f(1,3))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)×(1－eq\f(1,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×(1－eq\f(1,3))0＝eq\f(1,27).故X的分布列為：X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)所以X的期望E(X)＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1.15．解析：若A340飛機正常飛行，至少3個引擎正常運行，概率P1＝Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4＝p3(4－3p)，若A310飛機正常飛行，2個引擎都正常運行，概率P2＝p2，由題意可知，Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4＝p3(4－3p)>p2，解得：eq\f(1,3)<p<1，則0<1－p<eq\f(2,3)，所以飛機引擎的故障率應限制的范圍是(0，eq\f(2,3)).答案：C16．解析：(1)甲答對1題，乙答對2題，其概率為Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)×Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,50)；甲答對2題，乙答對1題，其概率為Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(6,25)；甲答對2題，乙答對2題，其概率為Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,25)；所以在第一輪競賽中，他們獲得“優(yōu)秀小組”稱號的概率為P＝eq\f(9,50)＋eq\f(6,25)＋eq\f(9,25)＝eq