第4章 第2課時(shí)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式[考試要求]1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝sinα2．誘導(dǎo)公式角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限[常用結(jié)論]基本關(guān)系常用變形平方關(guān)系sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)商數(shù)關(guān)系sinα＝tanαcosαα≠k和積互化(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα弦切互化sin2α＝sin2αsincos2α＝cos2αsinsinαcosα＝sinαcosαsin2α+cos2α＝tanα一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1． ()(2)若α∈R，則tanα＝sinαcosα(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角． ()(4)若sin3π2?α＝13，則cosα＝－[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P183例6改編)已知sinα＝55，π2≤αA．－2 B．2C．12 D．－D[因?yàn)棣?≤α≤π，所以cosα＝－1?sin2α＝－1?552＝－22．(人教A版必修第一冊(cè)P186習(xí)題5.2T15改編)已知tanα＝13，則sin－27[原式＝tanα?1tanα3．(人教A版必修第一冊(cè)P194練習(xí)T3(1)改編)化簡(jiǎn)cosα?π2sin－sinα[原式＝sinαcosα(－cosα4．(人教A版必修第一冊(cè)P185習(xí)題5.2T12改編)已知sinα·cosα＝38，且π4＜α＜π2，則cosα－12[因?yàn)棣?＜α＜π2，所以sinα＞cosα，而(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×38＝14，所以cosα考點(diǎn)一同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式“知一求二”問(wèn)題[典例1](1)若α∈π2，π，sin(π－α)＝35A．－43 B．4C．－34 D．(2)(2023·全國(guó)乙卷)若θ∈0，π2，tanθ＝12，則sin(1)C(2)－55[(1)因?yàn)棣痢师?，π，sin(π－α)＝sinα所以cosα＝－45，所以tanα＝－3(2)由tanθ＝sinθcosθ＝12，sin2關(guān)于sinα，cosα齊次式的求值問(wèn)題[典例2]已知tanx＝3，則sinx+2cosx2sin53310[法一：因?yàn)閠anx＝3，所以sinx所以sinx+2cosx2sin因?yàn)閟in2x＋cos2x＝1，所以sin2x＋cos2x＝9cos2x＋cos2x＝1，解得cos2x＝110所以sinx·cosx＝3cosx·cosx＝3cos2x＝3×110＝3法二：sinx+2cosxsinx·cosx＝sinx·cosxsinsinα±cosα與sinαcosα關(guān)系的應(yīng)用[典例3](多選)(2024·浙江金華模擬)已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈A．sinθcosθ＝－1225 B．sinθ－cosθ＝C．sinθ－cosθ＝75 D．tanθ＝－ACD[對(duì)于A，因?yàn)閟inθ＋cosθ＝15所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝125即sinθcosθ＝－1225對(duì)于B，C，(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925因?yàn)棣取?0，π)，且sinθcosθ＝－1225所以sinθ>0，cosθ<0，即sinθ－cosθ>0，所以sinθ－cosθ＝75對(duì)于D，聯(lián)立sinθ解得sinθ＝45，cosθ＝－3所以tanθ＝－43(1)利用“方程”思想，解決知弦求切，知切求弦問(wèn)題．(2)應(yīng)用“弦切互化”思想，解決同角三角函數(shù)基本關(guān)系的齊次式求值問(wèn)題．(3)sinα±cosα與sinαcosα互化，可解方程組sinα+cosα=[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝3x上，則cos2θ＝()A．－45 B．－2C．25 D．(2)(2024·山東濟(jì)南模擬)已知θ為第三象限角，sinθ－cosθ＝－15，則cosA．－425 B．－3C．325 D．(1)A(2)B[(1)因?yàn)榻K邊在直線y＝3x上，所以分別在第一象限、第三象限取點(diǎn)(1，3)，(－1，－3)，∴tanθ＝3，∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ?sin2θcos故選A.(2)由sinθ－cosθ＝－15，且sin2θ＋cos2θ解得sinθ又因?yàn)棣葹榈谌笙藿?，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sinθ所以cosθ1?2sin2θ考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[典例4](1)下列各數(shù)中，與sin2024°的值最接近的是()A．22 B．3C．－22 D．－(2)(2024·東北師大附中模擬)已知cosπ6?α＝13，則sin5A．－89 B．8C．－229 (1)C(2)A[(1)∵2024°＝5×360°＋180°＋44°，∴sin2024°＝－sin44°.故選C.(2)由題意可知，將角進(jìn)行整體代換并利用誘導(dǎo)公式得sin5π6+α＝sinπ?π6?α＝sin所以sin5π6+αcos2π3?α＝－sin2π6常見(jiàn)的互余和互補(bǔ)的角互余的角π3－α與π6＋α；π3＋α與π6－α；π4＋互補(bǔ)的角π3＋θ與2π3－θ；π4＋θ[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知cos(75°＋α)＝13，則cos(105°－α)＋sin(15°－α(2)(2024·寧夏吳忠模擬)已知角α終邊上一點(diǎn)P(1，－2)，則2sin(1)0(2)3[(1)因?yàn)?105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝1所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13+(2)因?yàn)榻铅两K邊上一點(diǎn)P(1，－2)，所以tanα＝?21又2sinπ?α?cosπ+α考點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用[典例5](1)已知α為銳角，且sinα+π3sinA．π12 B．πC．π4 D．(2)(多選)α為第一象限角，cosα?π8＝A．sin5π8B．cosα+7C．sin13π8D．tanπ8?α(1)C(2)BD[(1)由條件得sinα+π又因?yàn)棣翞殇J角，所以sinα?π3＝cos即sinα?π3＝sin所以α－π3＝π2?α+(2)由題意得2kπ<α<π2＋2kπ，k∈則2kπ－π8<α－π8<3π8＋2k若α－π8在第四象限，則cosα?π8>cosπ4＝所以α－π8是第一象限角，所以sinα?π8sin5π8?α＝sin＝cosα?π8＝cosα+7π8＝cosα?πsin13π8?α＝sin3π2+π8tanπ8?α＝－tanα?π8＝－故選BD.](1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形．(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)符號(hào)的影響．(3)利用誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是符號(hào)問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知sin(53°－α)＝15，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α[解]由已知－270°<α<－90°可得，143°<53°－α<323°，所以cos(53°－α)＝－1?sin253°?α＝－1?所以sin(37°＋α)＝sin[90°－(53°－α)]＝cos(53°－α)＝－26【教師備選資源】(2023·全國(guó)甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件B[當(dāng)sin2α＋sin2β＝1時(shí)，例如α＝π2，β＝0，但sinα＋cosβ≠即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；當(dāng)sinα＋cosβ＝0時(shí)，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.綜上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cosβ＝0成立的必要不充分條件．故選B.]課時(shí)分層作業(yè)(二十四)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式一、單項(xiàng)選擇題1．sin1050°＝()A．12 B．－1C．32 D．－B[sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－122．(2024·北京通州模擬)已知cosα＝35，α是第一象限角，且角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則tanβA．34 B．－3C．43 D．－D[∵cosα＝35，α∴sinα＝1?cos2α＝45，tanα＝∵角α，β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴tanβ＝－tanα＝－433．(2024·重慶萬(wàn)州模擬)已知tanα＝2cosα5A．13 B．－2C．－13 D．C[tanα＝2cosα5+sinα?sinαcosα＝2cosα把sin2α＋cos2α＝1代入①，得3sin2α＋5sinα－2＝0，即(3sinα－1)(sinα＋2)＝0，由于sinα∈[－1，1]，所以sinα＋2≠0，故sinα＝13所以cos3π2?α＝－sin4．(2024·河北衡水中學(xué)模擬)已知α∈π2，π，且3cos2α－sinA．cos(π－α)＝23 B．tan(π－α)＝C．sinπ2?α＝53 D．cosB[由題意得3(1－2sin2α)－sinα＝2，解得sinα＝－12或sinα＝1又α∈π2，π，所以sinα＝則cosα＝－1?sin2α＝－223，tanα所以cos(π－α)＝－cosα＝22tan(π－α)＝－tanα＝24sinπ2?α＝cosα＝－223，cosπ2故ACD錯(cuò)誤，B正確．故選B.]5．(2023·山西名校聯(lián)考)已知sinα－cosα＝15，α∈?π2A．－125 B．12C．－1235 D．D[由題意可得：(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝125整理得sinαcosα＝1225且α∈?π2，π2即sinα>0，cosα>0，可得sinα＋cosα>0，因?yàn)?sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝4925可得sinα＋cosα＝75所以sinαcosαsinα6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，則sinθ1A．－65 B．－2C．25 D．C[法一(求值代入法)：因?yàn)閠anθ＝－2，所以角θ的終邊在第二、四象限，所以sinθ=所以sinθ1+sin2θsinθ+cosθ＝sin2θsinθ+cosθsinθ法二(弦化切法)：因?yàn)閠anθ＝－2，所以sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ＝sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ＝sinθ(法三(正弦化余弦法)：因?yàn)閠anθ＝－2，所以sinθ＝－2cosθ.則sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ＝sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ＝sinθ(sin二、多項(xiàng)選擇題7．在△ABC中，下列結(jié)論正確的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sinB+CC．tan(A＋B)＝－tanCC≠D．cos(A＋B)＝cosCABC[在△ABC中，有A＋B＋C＝π，則sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正確；sinB+C2＝sinπtan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCC≠πcos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D錯(cuò)誤．]8．(2023·安徽黃山二模)若sinθ·cos2θsinθ+cosθA．12 B．1C．2 D．3CD[sinθ·cos2θ?sin2＝sinθ·cosθ?si得到5tanθ－5tan2θ＝－3－3tan2θ，即2tan2θ－5tanθ－3＝0，解得tanθ＝－12或tanθ＝當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，tankπ2+θ＝tan(mπ＋當(dāng)k＝2m－1(m∈Z)時(shí)，tanmπ+θ?π2＝tan所以，當(dāng)tanθ＝－12時(shí)，tankπ2+θ當(dāng)tanθ＝3時(shí)，tankπ2+θ＝3或tan三、填空題9．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2023)的值為________．－3[因?yàn)閒(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asinα＋bcosβ＝3，所以f(2023)＝asin(2023π＋α)＋bcos(2023π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－3．]10．已知－π＜x＜0，sin(π＋x)－cosx＝－15，則sin－24175[由已知，得sinx＋cosx＝1兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125整理得2sinxcosx＝－2425∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925由－π＜x＜0知，sinx＜0，又sinxcosx＝－1225∴cosx＞0，∴sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－75∴sin2x+＝2sinx＝－24175四、解答題11．(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，角α的終邊OA與單位