相似多邊形及位似-知識講解

【學習目標】1、掌握相似多邊形的性質及應用；2、了解圖形的位似，知道位似變換是特殊的相似變換，能利用位似的方法，將一個圖形放大或縮?。?、了解黃金分割值及相關運算.【要點梳理】要點一、相似多邊形相似多邊形的性質：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.（2）相似多邊形的周長比等于相似比.（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方.要點詮釋：用相似多邊形定義判定特殊多邊形的相似情況：（1）對應角都相等的兩個多邊形不一定相似，如：矩形；（2）對應邊的比都相等的兩個多邊形不一定相似，如：菱形；（3）邊數相同的正多邊形都相似，如：正方形，正五邊形.要點二、位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.2.位似圖形的性質:（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；（2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；（3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.要點詮釋：（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.（2）位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.3.平移、軸對稱、旋轉和位似四種變換的異同：圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的；而位似變換之后圖形是放大或縮小的，是相似的.4.作位似圖形的步驟第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；第二步：作位似中心與各關鍵點連線；第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；第四步：順次連接各對應點.要點詮釋：位似中心可以取在多邊形外、多邊形內，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位似中心不同的畫法.要點三、黃金分割位似和黃金分割定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項則P點就是線段AB的黃金分割點（黃金點這種分割就叫黃金分割.要點詮釋：1.黃金分割值：設AB=1，AP=x，則BP=1-x2.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°,恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形.黃金三角形性質：底角平分線將其腰黃金分割.【典型例題】類型一、相似多邊形1.如圖，矩形草坪長20m，寬16m,沿草坪四周有2m寬的環(huán)形小路，小路內外邊緣所形成的兩個矩形相似嗎？為什么？HEHADADBCFGF【答案與解析】因為矩形的四個角都是直角，所以關鍵是看矩形ABCD與矩形EFGH的對應邊的比是否相等.∴矩形ABCD與矩形EFGH的對應邊的比不相等，因而它們不相似.【總結升華】兩個邊數相同的多邊形，必須同時滿足“對應邊的比都相等，對應角都相等”這兩個條件才能相似，缺一不可.舉一反三【變式】如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB=a，寬BC=b．將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：b=()A.2：1B.√區(qū)：1D.3：2【答案】B.提示:∵矩形紙片對折，折痕為EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED與矩形ABCD相似，2=2，∴=．故選B.2.如圖，在長8cm，寬4cm的矩形中截去一個矩形，使留下的矩形（陰影部分）與原矩形相似，那么留下的矩形的面積為().A.2cm2B.4cm2C.8cm2D.16cm2【答案】C.【解析】設留下的矩形的寬為x，∵留下的矩形與原矩形相似，∴留下的矩形的面積為：2×4=8（cm2）故答案為：8．故選C.【總結升華】本題主要考查了相似多邊形的性質，在解題時要能根據相似多邊形的性質列出方程是本題的關鍵.類型二、位似3.利用位似圖形的方法把五邊形ABCDE放大1.5倍.【答案與解析】即是要畫一個五邊形A′B′C′D′E′，要與五邊形ABCDE相似且相似比D1C1D1畫法是：A11．在平面上任取一點O.2．以O為端點作射線OA、OB、OC、=OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.這樣1.5.則五邊形A′B′C′D′E′為所求.另外一種情況，所畫五邊形跟原五邊形分別在位似中心的兩側.【總結升華】由本題可知，利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小.4.如圖，矩形OABC的頂點坐標分別為O（0，0A（6，0B（6，4C（0，4）.面積的，并分別寫出A′、B′、C′三點的坐標.【答案與解析】因為矩形OA′B′C′與矩形OABC是位似圖形，面積比為1：4，所以它們的位似比為1：2.連接OB，矩形OA′B′C′就是所求的圖形.A′，B′，C′三點的坐標分別為A′（3，0B′（3，2C′（0，2）.（2）分別在線段OA，OB，OC的反向延長線上截取OA″、OB″、OC″，使OA″=A″、B″、C″三點的坐標分別為A″（-3，0B″（-3，-2C″（0，-2）.【總結升華】平面直角坐標系內畫位似圖形，若沒有明確指出只畫一個，一定要把兩種情況都畫在坐標系內，并寫出兩種坐標.舉一反三【變式】在已知三角形內求作內接正方形.【答案】作法：（3）連接BF′，延長交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，從F、G分別作BC的垂線FE，GD；∴四邊形DEFG即為所求.A'BEC類型三、黃金分割5.求做黃金矩形（寫出具體做題步驟）并證明.【答案與解析】寬與長的比是的矩形叫黃金矩形心理測試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協調，勻稱的美感.我們以協調，勻稱的美感.)黃金矩形的作法如下（如圖所示第一步：作一個正方形ABCD；第二步：分別取AD，BC的中點M，N，連接MN；第三步：以N為圓心，ND長為半徑畫弧，交BC的延長線于E；第四步：過E作EF⊥AD，交AD的延長線于F.即矩形DCEF為黃金矩形.證明：在正方形ABCD中，取AB=2a，在Rt△DNC中，MDMDABNCE故矩形DCEF為黃金矩形.【總結升華】要求熟練掌握多邊形相似的比例關系．會利用相似比，求未知線段的長度或比值.舉一反三【變式】美是一種感覺，當人的肚臍是人的身高的黃金分割點時，人的下半身長與身高之比約為0.618，人的身段成為黃金比例，給人一種美感．某女士身高165cm，下半身長與身高的比值是0.60，為盡可能達到勻稱的效果，她應穿高跟鞋的高度大約為()A.4cm