四川省眉山市東坡區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題

東坡區(qū)23級高一下期校校期末聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科注意事項：1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（共計40分，每小題5分）1.已知向量，，且，則（）A.8 B.2 C.4 D.2.設(shè)復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列說法錯誤的是（）A.向量與的長度相等 B.向量的模可以比較大小C.共線的單位向量都相等 D.只有零向量的模等于04.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位5.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.6.若直線平面，直線，則（）A. B.l與a異面 C.l與a相交 D.l與a沒有公共點7.如圖，在中，設(shè)，，，，則（）A. B. C. D.8.一圓臺上、下底面的直徑分別為4，12，高為10，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.二、多選題（共計18分，每小題6分）9.下列說法正確的是（）A.圓柱的所有母線長都相等 B.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點10.下列等式成立的是（）A. B.C. D.11.設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)，，），若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，且，則下列說法中正確的是（）A.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心B.函數(shù)的最小正周期為C.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個單位長度得到第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（共計15分，每小題5分）12.若用與球心的距離為的平面截球體所得的圓面半徑為2，則球的半徑為______.13.已知向量，，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為______.14.若方程在有解，則a的取值范圍是______.四、解答題（共計77分，15題13分，16、17題15分，18、19題17分）15.（13分）已知向量，.（1）若，求實數(shù)k的值；（2）若，求實數(shù)k的值.16.（15分）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值時x的取值集合.17.（15分）如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是BC的中點，O為底面中心，.（1）求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長；（2）求六棱錐的表面積和體積.18.（17分）在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知，.（1）若的面積等于，求邊a，b；（2）若，求的面積；（3）求周長的最大值.19.（17分）若函數(shù)，則稱向量為函數(shù)的特征向量，函數(shù)為向量的特征函數(shù).（1）若函數(shù)，求的特征向量；（2）若向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)，且時的值；（3）已知點，，設(shè)向量的特征函數(shù)為，函數(shù).在函數(shù)的圖象上是否存在點Q，使得？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

東坡區(qū)23級高一下期校校期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1-4：AACB5-8：BDCD1.A【分析】由向量垂直得到方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A.2.A【詳解】試題分析：，對應(yīng)的點為，在第一象限，故答案為A.考點：復(fù)數(shù)的四則運算及幾何意義.3.C【分析】了解向量的模的意義即可判斷A，B，D選項，非零共線向量方向可相同或相反，即可判斷C項.【詳解】對于A項，因向量與是一對相反向量，長度相等，方向相反，故A項正確；對于B項，因向量的模是向量的長度，是一個非負(fù)數(shù)，故可以比較大小，故B項正確；對于C項，共線的單位向量的方向可以相同或相反，故它們可以是一對相反向量，故C項錯誤；對于D項，向量的模等于0即說明它是零向量，故D項正確.故選：C.4.B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.【詳解】因為，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，即函數(shù)的圖象.故選：B.5.B【分析】先求出，再由正弦定理進(jìn)行求解.【詳解】因為，所以，由正弦定理得，即，所以.故選：B.6.D【分析】由線面位置關(guān)系結(jié)合異面直線的概念可直接得到答案.【詳解】若直線平面，直線，則或l與a異面，故l與a沒有公共點.故選：D.7.C【分析】結(jié)合圖形由向量的線性運算可得.【詳解】因為，，所以，，又因為，所以，所以，故選：C.8.D【分析】先將圓臺補(bǔ)形為圓錐，利用圓錐的性質(zhì)，可得圓錐的側(cè)面積，進(jìn)而可得圓臺的側(cè)面積.【詳解】如圖，將圓臺補(bǔ)形為圓錐，可得圓錐的底面半徑為.因為圓臺的高為，根據(jù)圓錐的性質(zhì)可得，所以圓錐的高，可得圓錐的母線長，.則該圓臺的側(cè)面積為.故選：D.9.ABD10.AD11.ACD9.ABD【分析】利用圓柱的性質(zhì)判斷選項A；利用棱柱的性質(zhì)判斷選項B；利用正棱錐的定義判斷選項C；利用棱臺的性質(zhì)判斷選項D.【詳解】選項A：圓柱的所有母線長都相等.判斷正確；選項B：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形.判斷正確；選項C：底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.判斷錯誤；選項D：棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點.判斷正確.故選：ABD.10.AD【詳解】利用兩角和差公式和二倍角公式依次判斷各個選項即可.【解答過程】對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD.11.ACD【分析】根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性以及，求得的對稱中心、對稱軸、最小正周期，再三角函數(shù)圖象變換的知識確定正確選項.【詳解】對于B，因為函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，所以，，故B錯誤；對于A，因為，所以是的零點，所以是圖象的一個對稱中心，故A正確；對于C，因為，所以是的一條對稱軸，所以，，則，因為，，所以，又，故，則，所以是圖象的一條對稱軸，故C正確；對于D，因為是的一條對稱軸，所以，，，所以，解得，所以，因為向左平移個單位長度得，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的突破口是利用余弦函數(shù)的對稱性，結(jié)合條件求得的對稱軸與對稱中心，進(jìn)而求得，，由此得解.12.313.14.12.3【分析】直接由勾股定理計算可得.【詳解】由于球心到平面的距離為，所得圓面的半徑為2，則球的半徑為.故答案為：3.13.【分析】根據(jù)投影向量公式可得.【詳解】因，為單位向量，，所以在方向上的投影向量為，故答案為：.14.【分析】根據(jù)題意，將原式化為，由正弦函數(shù)的值域列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由轉(zhuǎn)化為，即，因為，則，則，所以，則，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.15.（1）6（2）【分析】（1）由得到，然后即可解出k；（2）由得到，然后用數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可解出k.【詳解】（1）由知，……4’即……6’（2）由，，知……8’由知，……10’故，即，從而.……13’16.（1）（2）最大值為0，.【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最小正周期；（2）由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最大值及取得最大值時x的取值集合.【詳解】（1）.……5’所以的最小正周期.……7’（2），則函數(shù)最大值為0.……11’當(dāng)取得最大值時，，，即，.……13’所以的最大值為0，取得最大值時x的取值集合為.……15’17.（1）高為6，斜高為，側(cè)棱長為（2）表面積為，體積為【分析】（1）依據(jù)圖象，根據(jù)底邊是正六邊及邊長可求出OH，進(jìn)而在中，可求出SO，即正六棱錐的高及斜高，繼而在等腰中可求得側(cè)棱長；（2）求出底面積，利用棱錐體積計算公式求解即可.【詳解】（1）如圖：在正六棱錐中，，H為BC中點，所以.因為O是正六邊形ABCDEF的中心，所以SO為正六棱錐的高.，在中，，所以.……3’在中，.……6’在中，，，所以.……9’故該正六棱錐的高為6，斜高為，側(cè)棱長為.（2）的面積為，的面積為，所以正六棱錐的表面積為，……12’體積為……15’18.（1），（2）（3）6【分析】（1）借助余弦定理與面積公式計算即可得；（2）借助正弦定理與三角恒等變換化簡，結(jié)合面積公式計算即可得；（3）借助正弦定理將邊化為角后，借助輔助角公式與正弦型函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.【詳解】（1）由余弦定理得：，……1’由，則，即，……2’聯(lián)立方程組，解得，；……4’（2）由題得，即，……5’當(dāng)時，，則，故，，……7’當(dāng)時，，即，則有，即，則，……9’則；……11’（3）由正弦定理得，……14’又，則當(dāng)時，有，……16’故周長的最大值為……17’19.（1）（2）（3）不存在理由見解析【分析】（1）由三角函數(shù)的和差公式可得，再結(jié)合特征向量的定義，即可得出答案.（2）由特征向量的定義可得，代入解得，再計算，最后利用兩角和差公式即可得出答案.（3）由特征向量的定義可得，三角函數(shù)倍角公式可得，若函數(shù)的圖象上是否存在點Q，使得；再計算其數(shù)量積可得，再利用整體法結(jié)合余弦型函數(shù)的值域即可判斷.【詳解】（1）因為，……2’所以函數(shù)的特征向量……3’（2）因為，所以.又.所以.因為，所以，所以.……