人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章第3節(jié)第2課時函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用課件

第二章

函數(shù)第三節(jié)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性第2課時函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用單調(diào)性與奇偶性結(jié)合【例1】(1)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是(

)A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3]核心考點提升“四能”√D

解析：由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－2)＝－f(2)＝0，f(0)＝0.當(dāng)x>0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，所以1≤x≤3；當(dāng)x<0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，所以－1≤x≤1，又x<0，所以－1≤x<0；當(dāng)x＝0時，顯然符合題意．綜上，滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.(2)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(2x＋1)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，f(3)＝2，則f(2x－1)<－2的解集為(

)A．{x|x<－2} B．{x|x<－3}C．{x|x<－1} D．{x|x<0}D

解析：因為f(2x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．令x＝1，則f(－1)＝－f(3)．又f(3)＝2，所以f(－1)＝－2.由

f(2x－1)<－2，可得

f(2x－1)<f(－1)．令t＝2x＋1，則函數(shù)t＝2x＋1是R上的增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)f(t)是R上的增函數(shù)，即函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以2x－1<－1，解得x<0，所以f(2x－1)<－2的解集為{x|x<0}．故選D.√[變式]若本例(1)條件中“奇函數(shù)”變?yōu)椤芭己瘮?shù)”，則不等式xf(x－1)≥0的解集為__________．[－1，0]∪[3，＋∞)

解析：由題意知f(－2)＝f(2)＝0.當(dāng)x>0時，由xf(x－1)≥0，得f(x－1)≥f(2)．又偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以|x－1|≥2，解得x≥3或x≤－1，所以x≥3.當(dāng)x<0時，由xf(x－1)≥0，得f(x－1)≤f(－2)，所以x－1≥－2，解得x≥－1，所以－1≤x<0.當(dāng)x＝0時顯然成立．綜上，滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[3，＋∞)．反思感悟1．比較大小問題一般解法是利用函數(shù)的奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為在同一單調(diào)區(qū)間上的有關(guān)自變量的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?．解抽象不等式(1)將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系．(2)利用函數(shù)的單調(diào)性脫去符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題．

√2．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若f(lnx)<f(2)，則x的取值范圍是(

)A．(0，e2) B．(e-2，＋∞)C．(e2，＋∞) D．(e-2，e2)D

解析：根據(jù)題意知，f(x)為偶函數(shù)且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，由f(lnx)<f(2)，得|lnx|<2，即－2<lnx<2，解得e-2<x<e2，即x的取值范圍是(e-2，e2)．√

奇偶性與周期性結(jié)合【例2】(2024·菏澤模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝2－2x，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值為(

)A．－2 B．－1C．0 D．1√D

解析：因為函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．因為f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，即f(x)＋f(2＋x)＝0，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4.當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝2－2x，所以f(0)＝1，f(1)＝0.又f(2)＝－f(0)＝－1，f(3)＝－f(1)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝f(2024)＝f(0)＝1.故選D.反思感悟已知函數(shù)的周期性、奇偶性求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所有函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解．1．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，已知當(dāng)x∈[2，3]時，f(x)＝x，則當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝(

)A．x＋4 B．2－xC．3－|x＋1| D．2－|x＋1|C

解析：因為f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[2，3]時，f(x)＝x，所以當(dāng)x∈[－2，－1]時，2＋x∈[0，1]，4＋x∈[2，3]，此時f(x)＝f(4＋x)＝4＋x；當(dāng)x∈[－1，0]時，－x∈[0，1]，2－x∈[2，3]，此時f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x.綜上可得，當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝3－|x＋1|.√2．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋2)是奇函數(shù)，f(2x＋1)是偶函數(shù)，則一定有(

)A．f(4)＝0B．f(－1)＝0C．f(3)＝0D．f(5)＝0A

解析：因為函數(shù)f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(1－2x)＝f(1＋2x)．令t＝2x，則f(1－t)＝f(1＋t)，即f(1－x)＝f(1＋x)，則f(x)＝f(2－x)．因為函數(shù)f(x＋2)為奇函數(shù)，所以f(2－x)＝－f(x＋2)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，也關(guān)于點(2，0)對稱，則f(2)＝－f(2)，可得f(2)＝0，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，故函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期為4.對于A選項，f(4)＝f(0)＝f(2)＝0，A正確；對于B，C，D選項，f(－1)＝f(3)＝－f(1)，f(5)＝f(1)，但f(1)的值無法確定．故選A.√

奇偶性、周期性與對稱性的結(jié)合【例3】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則(

)A．f(－15)<f(21)<f(90)B．f(90)<f(21)<f(－15)C．f(－15)<f(90)<f(21)D．f(21)<f(－15)<f(90)√D

解析：因為f(x－4)＝－f(x)?f(x＋4－4)＝－f(x＋4)?f(x)＝－f(x＋4)?f(x＋4)＝－f(x＋8)，所以f(x)＝f(x＋8)，因此函數(shù)f(x)的周期是8，f(－15)＝f(－15＋16)＝f(1)，f(21)＝f(24－3)＝f(－3)＝－f(1)，f(90)＝f(88＋2)＝f(2)．因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又因為f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，所以f(2