高一數學新教材同步配套教學講義(人教A版必修第二冊)第六章平面向量及其應用單元綜合測試卷(原卷版+解析)

第六章平面向量及其應用單元綜合測試卷一、單選題1．(2023·廣西·鹿寨縣鹿寨中學高二階段練習（文））已知平面向量，的夾角為45°，且，，則（）A．3 B．1 C． D．22．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是邊上一點，，則（）A． B．C． D．3．（2023·貴州金沙·高二階段練習）的內角，，的對邊分別為，，，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形4．（2023·浙江義烏·高一期末）設向量與的夾角為，，，則（）A． B．1C． D．5．(2023·廣西河池·高二期末（文））若向量，則向量與的夾角為銳角的充要條件是（）A． B． C． D．6．(2023·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，滿足，，D為線段OA上一點，E為△AOB的外心，則的值為（）A． B． C． D．28．（2023·湖北·武鋼三中高一期中）在銳角中，若，則的范圍（）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）已知平面向量，且，則（）A． B．向量與的夾角為C． D．10．（2023·河北·武安市第一中學高一階段練習）△ABC中，，A=60°，AC=4，則邊AC上的高是（）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三階段練習）人民英雄紀念碑位于北京天安門廣場中心，是中華人民共和國政府為紀念中國近現代史上的革命烈士而修建的紀念碑．正面鐫刻著毛澤東同志所題寫的“人民英雄永垂不朽”八個金箔大字．在中國共產黨百年華誕到來之際，某學校計劃組織學生去瞻仰人民英雄紀念碑，并用學到的數學知識測量其高度．現準備了三種工具：測角儀（可測量仰角與俯角）、米尺（可測量長度）、量角器（可測量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小組設計了如下不同的測量方案，其中一定能測量出紀念碑高度的方案有（）A．在水平地面上任意尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離B．在水平地面上尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離和兩點相對于紀念碑底部的張角C．在紀念碑正東方向找到一座建筑物（低于紀念碑），測得建筑物的高度為，在該建筑物頂部和底部分別測得紀念碑頂端的仰角和D．在紀念碑的正前方處測得紀念碑頂端的仰角，正對紀念碑前行5米到達處再次測量紀念碑頂端的仰角12．（2023·全國·模擬預測）在中，D，E分別是線段BC上的兩個三等分點（D，E兩點分別靠近B，C點），則下列說法正確的是（）A．B．若F為AE的中點，則C．若，，，則D．若，且，則三、填空題13．(2023·廣西玉林·模擬預測（文））已知，則____________.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，則在方向上的投影向量的模為__________.15．（2023·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）如圖，在矩形中，為邊的中點，若為折線段上的動點，則的最小值為___________.16．（2023·陜西·西安市鐵一中學高三階段練習（理））在銳角中，內角所對的邊分別是，，則的取值范圍是________.四、解答題17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的對邊分別為，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面積．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圓半徑為，且，求的面積．19．(2023·北京昌平·高一期末）設向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求證：A，，三點共線.20．（2023·天津·南開中學高三階段練習）在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，，.(1)求角C的大小；(2)求的值；(3)求的值.21．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底邊上的中線，若動點滿足．（1）求的最大值；（2）若，求的范圍．22．（2023·河南新鄭·高二階段練習（文））鉸鏈又稱合頁，是用來連接兩個固體并允許兩者之間做相對轉動的機械裝置.鉸鏈可由可移動的組件構成，或者由可折疊的材料構成.合頁主要安裝于門窗上，而鉸鏈更多安裝于櫥柜上.如圖所示，就是一個合頁的抽象圖，可以在變化，其中，正常把合頁安裝在家具上時，的變化范圍是.根據合頁的安裝和使用經驗可知，要使得安裝的家具門開關并不受影響，在以為邊長的正三角形區(qū)域內不能有障礙物.（1）若時，求的長；（2）當是多大時，求面積的最大值.第六章平面向量及其應用單元綜合測試卷一、單選題1．(2023·廣西·鹿寨縣鹿寨中學高二階段練習（文））已知平面向量，的夾角為45°，且，，則（）A．3 B．1 C． D．2答案：B【解析】分析：給兩邊平方化簡可求得答案【詳解】因為，所以，因為，平面向量，的夾角為45°，所以，化簡得，解得或（舍去）.故選：B2．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是邊上一點，，則（）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根據向量的加法、減法、數乘運算求解即可.【詳解】故選：A3．（2023·貴州金沙·高二階段練習）的內角，，的對邊分別為，，，已知，則的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形答案：A【解析】分析：根據正弦定理進行邊角互化，再利用三角函數公式化簡可得，即可得到答案.【詳解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形狀一定是等腰三角形，故選：A．4．（2023·浙江義烏·高一期末）設向量與的夾角為，，，則（）A． B．1C． D．答案：D【解析】分析：根據題意先求出，再利用數量積關系即可求出.【詳解】設，則，所有，解得，所以.故選：D.5．(2023·廣西河池·高二期末（文））若向量，則向量與的夾角為銳角的充要條件是（）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：依題意可得且與不共線，根據向量數量積的坐標表示及向量共線的充要條件得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因為且向量與的夾角為銳角，所以且與不共線，所以，解得且，所以；故選：D6．(2023·北京朝陽·高三期末）已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：設，根據與的夾角為120°，得到，再根據，得到的終點在直線AB上求解.【詳解】設，如圖所示：則，因為與的夾角為120°，所以，因為，且的起點相同，所以其終點共線，即在直線AB上，所以當時，最小，最小值為，無最大值，所以的取值范圍為，故選；A7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，滿足，，D為線段OA上一點，E為△AOB的外心，則的值為（）A． B． C． D．2答案：D【解析】分析：以O為原點，OA邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設，，利用數量積的坐標運算可得的值.【詳解】由得，以O為原點，OA邊所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則，設，，，則，∴，∴.故選：D.8．（2023·湖北·武鋼三中高一期中）在銳角中，若，則的范圍（）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由正弦定理得，再由三角形是銳角三角形和已知角的關系得出，根據余弦函數的單調性可得選項.【詳解】由正弦定理得，∵是銳角三角形，∴三個內角均為銳角，即有，，解得，余弦函數在此范圍內是減函數．故．∴.故選：A．【點睛】本小題主要考查正弦定理、二倍角公式和余弦函數的性質，考查學生分析問題、解決問題的能力和數形結合思想的應用，解決本題時要注意到三角形是銳角三角形要求每個角都是銳角，屬于中檔題.二、多選題9．（2023·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）已知平面向量，且，則（）A． B．向量與的夾角為C． D．答案：BD【解析】分析：由條件可得，，然后根據向量的運算逐一判斷即可.【詳解】由得，由得，，選項A錯誤.向量與的夾角為，選項B正確；，而，，選項C錯誤；，選項D正確.故選：BD.10．（2023·河北·武安市第一中學高一階段練習）△ABC中，，A=60°，AC=4，則邊AC上的高是（）A． B． C． D．答案：AB【解析】分析：先用余弦定理求出的長，再求出邊AC上的高.【詳解】由余弦定理得：，解得：或3，經檢驗均符合，設邊AC上的高是，當時，；當時，故選：AB11．（2023·全國·高三階段練習）人民英雄紀念碑位于北京天安門廣場中心，是中華人民共和國政府為紀念中國近現代史上的革命烈士而修建的紀念碑．正面鐫刻著毛澤東同志所題寫的“人民英雄永垂不朽”八個金箔大字．在中國共產黨百年華誕到來之際，某學校計劃組織學生去瞻仰人民英雄紀念碑，并用學到的數學知識測量其高度．現準備了三種工具：測角儀（可測量仰角與俯角）、米尺（可測量長度）、量角器（可測量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小組設計了如下不同的測量方案，其中一定能測量出紀念碑高度的方案有（）A．在水平地面上任意尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離B．在水平地面上尋找兩點，分別測量紀念碑頂端的仰角，，再測量，兩點間距離和兩點相對于紀念碑底部的張角C．在紀念碑正東方向找到一座建筑物（低于紀念碑），測得建筑物的高度為，在該建筑物頂部和底部分別測得紀念碑頂端的仰角和D．在紀念碑的正前方處測得紀念碑頂端的仰角，正對紀念碑前行5米到達處再次測量紀念碑頂端的仰角答案：BCD【解析】分析：根據各選項的描述，結合正余定理的邊角關系判斷所測數據是否可以確定紀念碑高度即可.【詳解】A：如果，兩點與紀念碑底部不在一條直線上時，就不能測量出紀念碑高度，故不正確．B：在直角三角形△和△中用來表示，，在△中用余弦定理就可以計算出紀念碑高度，故正確．C：如下圖，△中由正弦定理求，則紀念碑高，正確；D：如下圖，△中由正弦定理求，則紀念碑高，正確；故選：BCD.12．（2023·全國·模擬預測）在中，D，E分別是線段BC上的兩個三等分點（D，E兩點分別靠近B，C點），則下列說法正確的是（）A．B．若F為AE的中點，則C．若，，，則D．若，且，則答案：ACD【解析】分析：取的中點，則也是的中點，根據向量的加法運算即可判斷A；根據平面向量基本定理及線性運算即可判斷B；根據平面向量數量積的運算律即可判斷C；根據平面向量基本定理及線性運算結合等腰三角形的性質即可判斷D.【詳解】解：對于A，取的中點，則也是的中點，則有，所以，故A正確；對于B，若F為AE的中點，則，故B錯誤；對于C，因為D，E分別為線段BC上的兩個三等分點，所以，，，故C正確；對于D，由A選項得，，由，因為，所以，即，因為，所以，平分，在中，，所以，所以為等邊三角形，所以，故選：D.故選：ACD.三、填空題13．(2023·廣西玉林·模擬預測（文））已知，則____________.答案：【解析】分析：已知，可借助兩邊平方帶入、即可完成求解.【詳解】將兩邊平方，得，得.故答案為：.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，則在方向上的投影向量的模為__________.答案：【解析】分析：由得到，再根據得到，即得解.【詳解】解：在中，即所以，故，即，故解得或，B為直角的內角，故，又，故在方向上的投影向量的模為.故答案為：15．（2023·湖北·公安縣教學研究中心高三階段練習）如圖，在矩形中，為邊的中點，若為折線段上的動點，則的最小值為___________.答案：【解析】分析：如圖，以點為坐標系原點，所在直線為軸，DA所在直線為軸，建立平面直角坐標系，根據對稱性，只需求解點在線段上運動時的最小值即可.【詳解】以點為坐標系原點，所在直線為軸，DA所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，設，則，所以因為，所以，所以的最小值為.故答案為：16．（2023·陜西·西安市鐵一中學高三階段練習（理））在銳角中，內角所對的邊分別是，，則的取值范圍是________.答案：【解析】分析：由正弦定理可以把表示為角的函數，由銳角三角形得出角的取值范圍，進而可得的取值范圍.【詳解】因為，則由正弦定理，可得，，所，由是銳角三角形，可得，，則，所以，.所以.故答案為：四、解答題17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的對邊分別為，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解析】(1)由，而，，，由余弦定理得：．(2)由（1）知，，又，則．而，得，．．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圓半徑為，且，求的面積．【解析】(1)由已知及正弦定理得，又，∴，∴，∴，∴，即，∴，又，∴．(2)∵的外接圓半徑，∴，∴，由余弦定理得，即，則，∴的面積．19．(2023·北京昌平·高一期末）設向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求證：A，，三點共線.【解析】(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因為，所以，所以A，，三點共線.20．（2023·天津·南開中學高