中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題題位訓(xùn)練及押題預(yù)測(cè)專題36中考命題核心元素含45°角的問(wèn)題的幾種解題思路(原卷版+解析)

專題36含45°角的問(wèn)題的幾種解題思路（原卷版）模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練思路1：套用半角模型常用結(jié)論．模型解讀：常用結(jié)論：如圖①，BM＋DN＝MN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周長(zhǎng)＝2AB.常用證明方法：如圖②，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABN′，證明△AMN≌△AMN′.常用結(jié)論：如圖③，BP2＋QD2＝PQ2.常用證明方如圖④，在正方形ABCD中，AD＝a，點(diǎn)M，N分別在BC，CD邊上，且∠MAN＝45°.拓展結(jié)論：(1)BM＋DN＝MN；(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；(3)△CMN的周長(zhǎng)＝2a(為定值)；(4)S△ABM＋S△ADN＝S△AMN；(5)eq\f(MN,AB)的最小值為2eq\r(2)－2；(6)S△AMN的最小值為(eq\r(2)－1)a2；(7)S△CMN的最大值為(3－2eq\r(2))a2；(8)BP2＋QD2＝PQ2；(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；(10)BQ·DP＝AB·AD＝a2(定值)；(11)△APQ∽△ANM(相似比為1∶eq\r(2))；(12)S△AMN＝2S△APQ；(13)P，M，N，Q四點(diǎn)共圓；(14)△AMC∽△AQD(相似比為1∶eq\r(2))；(15)CM·CN＝2BM·DN；(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；(17)△APN與△AQM均為等腰直角三角形；(18)A，B，M，Q四點(diǎn)共圓；(19)A，P，N，D四點(diǎn)共圓．法：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADP′，證明△AQP≌△AQP′.思路2：作垂直，將45°角置于直角三角形中，構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題．思路3：利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，構(gòu)造直角三角形，解決問(wèn)題．思路4：利用兩角和或差的正切公式；典例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（盡可能用多種方法解題）針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=k（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，5），若在該圖象上有一點(diǎn)P，使得∠AOP＝45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是2．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面積．

典例2(2023?東莞市校級(jí)一模）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°．（1）小聰同學(xué)通過(guò)將△BAF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．①請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系：（用等式表示）；②若AB＝2，E為CD邊中點(diǎn)，求AF．（2）如圖2，將正方形ABCD改為矩形，且AB＝2，BC＝3，其他條件不變，即：E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°．③記EF＝y(tǒng)，CE+AF＝x，試探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；④當(dāng)BF⊥EF時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?泗水縣二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE＝AF時(shí)，BEEC=22；④BE+A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且EG與FH的夾角為45°，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)H的長(zhǎng)為52，求EG典例3(2023秋?寧化縣月考）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)EF，AG．①判定AE和AG關(guān)系，并證明；②證明：EF＝FG；（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的長(zhǎng)．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?太倉(cāng)市期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，則△ABC的面積為．

模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)1．（2023秋?潛江校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)F是正方形ABCD的邊BC和邊CD上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝45°，有下列結(jié)論：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是2；其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023?天河區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若將AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接OE，則在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE的最小值為．3．如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0）和（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，并且滿足∠APB＝45°，滿足條件的點(diǎn)P有多少個(gè)？畫(huà)出這一些點(diǎn)．4．(2023秋?銅山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，點(diǎn)D、E是BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對(duì)稱．求證：（1）∠FAE＝∠BAE；（2）CD2+BE2＝DE2．5．(2023??？谀M）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，（1）求證：EG＝FH；（2）如果把題目中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”，若AB＝3，BC＝4（如圖②），求FHEG（3）如果把題目中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”（如圖③），若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)H的長(zhǎng)為5，求EG的長(zhǎng)．6．（2023秋?寧德期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，以BE為斜邊在正方形ABCD內(nèi)部構(gòu)造等腰直角三角形BEF，連接CF．（1）求證：∠DEF+∠CBF＝90°；（2）若AB＝3，△BCF的面積為32，求△BEF（3）求證：DE=2CF專題36含45°角的問(wèn)題的幾種解題思路（解析版）模塊一典例剖析+針對(duì)訓(xùn)練思路1：套用半角模型常用結(jié)論．模型解讀：常用結(jié)論：如圖①，BM＋DN＝MN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周長(zhǎng)＝2AB.常用證明方法：如圖②，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABN′，證明△AMN≌△AMN′.常用結(jié)論：如圖③，BP2＋QD2＝PQ2.常用證明方如圖④，在正方形ABCD中，AD＝a，點(diǎn)M，N分別在BC，CD邊上，且∠MAN＝45°.拓展結(jié)論：(1)BM＋DN＝MN；(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；(3)△CMN的周長(zhǎng)＝2a(為定值)；(4)S△ABM＋S△ADN＝S△AMN；(5)eq\f(MN,AB)的最小值為2eq\r(2)－2；(6)S△AMN的最小值為(eq\r(2)－1)a2；(7)S△CMN的最大值為(3－2eq\r(2))a2；(8)BP2＋QD2＝PQ2；(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；(10)BQ·DP＝AB·AD＝a2(定值)；(11)△APQ∽△ANM(相似比為1∶eq\r(2))；(12)S△AMN＝2S△APQ；(13)P，M，N，Q四點(diǎn)共圓；(14)△AMC∽△AQD(相似比為1∶eq\r(2))；(15)CM·CN＝2BM·DN；(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；(17)△APN與△AQM均為等腰直角三角形；(18)A，B，M，Q四點(diǎn)共圓；(19)A，P，N，D四點(diǎn)共圓．法：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADP′，證明△AQP≌△AQP′.思路2：作垂直，將45°角置于直角三角形中，構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題．思路3：利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，構(gòu)造直角三角形，解決問(wèn)題．思路4：利用兩角和或差的正切公式；典例1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠BCA＝45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：由于本題沒(méi)有交代點(diǎn)C在y軸正半軸上還是負(fù)半軸上，因此這道題點(diǎn)C的位置需要分兩種情況討論，這兩個(gè)位置正好關(guān)于x軸對(duì)稱，因此我們只需求解點(diǎn)C在y軸正半軸上的情況，然后由對(duì)稱性求出點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上的情況．方法1：如圖①，以45°角為基礎(chǔ)，構(gòu)造等腰直角三角形，由△BCF與△BDE全等，設(shè)法求出OC的長(zhǎng)．方法2：如圖②，同方法1構(gòu)造等腰直角三角形BCD，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，其實(shí)這一方法與前一方法類似，因?yàn)椤鰾OC與圖①中的△CFB全等，△BDH與圖②中的△DBE全等，求OC長(zhǎng)的時(shí)候，可利用△AOC與△ADH相似來(lái)解決．方法3：如圖③，構(gòu)造等腰直角三角形，還可以過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AC于點(diǎn)K來(lái)解決．方法4：過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，解題方法同方法3.方法5：如圖④，利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，將45°角轉(zhuǎn)化為90°角來(lái)解決問(wèn)題．方法6：利用兩角和的正切公式容易輕松求解。例1圖選擇方法5和方法6解方法5解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為E，∵點(diǎn)A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB＝10，E（﹣1，0），（1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)E在第二象限作EP⊥AB，且EP=12AB＝5，則△PBA為等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5以點(diǎn)P為圓心，PA（或PB）長(zhǎng)為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，∵∠BCA為⊙P的圓周角，∴∠BCA=12∠BPA＝45°，即則點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸于點(diǎn)F，則OF＝PE＝5，PF＝1，在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝52，由勾股定理得：CF=P∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）；（2）如答圖2所示，在第3象限可以參照（1）作同樣操作，同理求得y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣12）．綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）或（0，﹣12）．總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理，難度較大，由45°的圓周角聯(lián)想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點(diǎn)所在．方法6：當(dāng)C在y軸正半軸上時(shí)，設(shè)C(0，y)∵tan∠BCA=tan45=1∴tan（∠BCO+∠ACO)=1解得y=12(負(fù)值舍去）C（0，12）當(dāng)C在y軸負(fù)半軸上時(shí)，C（0,-12)綜上所述，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，12）或（0，﹣12）．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，已知反比例函數(shù)y=k（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，5），若在該圖象上有一點(diǎn)P，使得∠AOP＝45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（65，25思路引領(lǐng)：作AE⊥y軸于E，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，作A′F⊥x軸于F，則△AOE≌△A′OF，可得OF＝OE＝4，A′F＝AE＝3，即A′（4，﹣3），求出線段AA′的中垂線的解析式，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：如圖，作AE⊥y軸于E，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OA′，作A′F⊥x軸于F，則△AOE≌△A′OF，可得OF＝OE＝5，A′F＝AE＝4，即A′（5，﹣4）．∵反比例函數(shù)y=k（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A所以由勾股定理可知：OA=4∴k＝4×5＝20，∴y=20∴AA′的中點(diǎn)K（92，1∴直線OK的解析式為y=19由y=19xy=20∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（65，25故答案為（65，25總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考填空題中的壓軸題．2．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面積．思路引領(lǐng)：如圖，過(guò)B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，由∠BAC＝45°可以得到BE＝AE，再根據(jù)已知條件可以證明△AFE≌△BCE，可以得到AF＝BC＝3，而∠FBD＝∠DAC，又∠BDF＝∠ADC＝90°，由此可以證明△BDF∽△ADC，所以FD：DC＝BD：AD，設(shè)FD長(zhǎng)為x，則可建立關(guān)于x的方程，解方程即可求出FD，AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．解：如圖，過(guò)B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，∵∠BAC＝45°，∴BE＝AE，∵∠C+∠EBC＝90°，∠C+∠EAF＝90°，∴∠EAF＝∠EBC，在△AFE與△BCE中，∠EAF=∠EBCBE=AE∴△AFE≌△BCE（ASA），∴AF＝BC＝BD+DC＝3，∠FBD＝∠DAC，又∵∠BDF＝∠ADC＝90°，∴△BDF∽△ADC，∴FD：DC＝BD：AD，設(shè)FD長(zhǎng)為x，則x：1＝2：（x+3），解得x=?3+172（負(fù)值舍去），即∴AD＝AF+FD＝3+?3+∴△ABC的面積=12BC?AD=12×總結(jié)提升：本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．典例2(2023?東莞市校級(jí)一模）如圖1，正方形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°．（1）小聰同學(xué)通過(guò)將△BAF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．①請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CE、EF、AF之間的數(shù)量關(guān)系：EF＝EC+AF（用等式表示）；②若AB＝2，E為CD邊中點(diǎn)，求AF．（2）如圖2，將正方形ABCD改為矩形，且AB＝2，BC＝3，其他條件不變，即：E、F分別是邊CD、AD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°．③記EF＝y(tǒng)，CE+AF＝x，試探究y與x之間的數(shù)量關(guān)系（用等式表示）；④當(dāng)BF⊥EF時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）①由旋轉(zhuǎn)可知△BAF≌△BCG，所以BF＝BG，AF＝CG，BF＝BG，易證△BFE≌△BGE（SAS），所以EF＝EC+CG＝EC+AF；②若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則DE＝EC＝1，設(shè)AF＝x，則CG＝x，DF＝2﹣x，由①可知，EF＝1+x，在Rt△DEF中，∠D＝90°，利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，求解即可；（2）③將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△PBM，延長(zhǎng)BM交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DN于點(diǎn)N，連接EM，由旋轉(zhuǎn)可得，∠BPM＝90°，BF＝BM，BP＝AB＝2，∠ABF＝∠PBM，易證四邊形PMNC是矩形，所以PM＝CH＝AF，所以CE+CH＝x，由（1）中思路易證△BEF≌△BEM（SAS），所以EM＝BF＝y(tǒng)，在Rt△MHE中，由勾股定理可得，MH2+EH2＝EM2，代入數(shù)據(jù)可得結(jié)論；④因?yàn)锽F⊥EF，所以△BFE是等腰直角三角形，則FB＝FE，∠AFB+∠DFE＝90°，易證△ABF≌△DFE（AAS），所以DF＝2，AF＝DE＝1，由勾股定理可得EF=5解：（1）①由題意可知△BAF≌△BCG，∴BF＝BG，AF＝CG，BF＝BG，∵∠EBG＝∠EBF＝45°，BE＝BE，∴△BFE≌△BGE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝EC+CG＝EC+AF，∴EF＝EC+AF，故答案為：EF＝EC+AF．②若點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC＝1，設(shè)AF＝x，則CG＝x，DF＝2﹣x，由①可知，EF＝1+x，在Rt△DEF中，∠D＝90°，由勾股定理可得，（2﹣x）2+12＝（1+x）2，解得x=23，即AF（2）③將△ABF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△PBM，延長(zhǎng)BM交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥DN于點(diǎn)N，連接EM，由旋轉(zhuǎn)可得，∠BPM＝90°，BF＝BM，BP＝AB＝2，∠ABF＝∠PBM，∴∠CPM＝90°，PC＝MH＝1，∵∠BCN＝90°，∴四邊形PMNC是矩形，∴PM＝CH＝AF，∴CE+CH＝x，∵∠FBE＝45°，∴∠ABF+∠EBC＝45°，即∠PBM+∠EBC＝∠EBM＝45°，∵BF＝BF，∠FBE+∠EBM＝45°，BE＝BE，∴△BEF≌△BEM（SAS），∴EM＝BF＝y(tǒng)，在Rt△MHE中，由勾股定理可得，MH2+EH2＝EM2，∴12+x2＝y(tǒng)2，即y=x④∵BF⊥EF，∴△BFE是等腰直角三角形，∴FB＝FE，∠AFB+∠DFE＝90°，∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF≌△DFE（AAS），∴DF＝2，AF＝DE＝1，∴EF=5總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用類比思想作出正確的輔助線，將所求線段放在同一個(gè)三角形中．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?泗水縣二模）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE＝AF時(shí)，BEEC=22；④BE+A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)思路引領(lǐng)：①如圖1，證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，②利用相似三角形的性質(zhì)可得∠NAE＝∠AEN＝45°，則△AEN是等腰直角三角形可作判斷；③先證明CE＝CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE＝x，則BE＝1﹣x，表示AC的長(zhǎng)為AO+OC可作判斷；④如圖3，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH（SAS），則EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判斷．解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，∴△AMN∽△BME，∴AMBM∴AMMN∵∠AMB＝∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正確，∴∠AEN＝∠ABD＝45°∴∠NAE＝∠AEN＝45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正確，在△ABE和△ADF中，∵AB=AD∠ABE=∠ADF=90°∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∵BC＝CD，∴CE＝CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE＝x，則BE＝1﹣x，如圖2，連接AC，交EF于H，∵AE＝AF，CE＝CF，∴AC是EF的垂直平分線，∴AC⊥EF，OE＝OF，Rt△CEF中，OC=12EF=△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，∴OE＝BE，∵AE＝AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），∴AO＝AB＝1，∴AC=2=AO+∴1+22xx＝2?2∴BEEC=1?(2?③如圖3，∴將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，∵∠ABE＝∠ABH＝90°，∴H、B、E三點(diǎn)共線，在△AEF和△AEH中，AE=AE∠FAE=∠HAE∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，故④正確．故選：D．總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，綜合考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且EG與FH的夾角為45°，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)H的長(zhǎng)為52，求EG思路引領(lǐng)：可過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，將△AND繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的長(zhǎng)可在Rt△ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長(zhǎng)）求出．如果設(shè)DN＝x，那么NM＝PM＝BM+x，MC＝BC﹣BM＝1﹣BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△AND中求出AN即EG的長(zhǎng)．解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，∵AB＝1，AM＝FH=5在Rt△ABM中，BM=AM2?AB2=∴AP＝AN．∵EG與FH的夾角為45°，∴∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠MAB＝45，即∠PAM＝∠MAN＝45°，在△APM和△ANM中，有AP=AN∠PAM=∠NAM∴△APM≌△ANM（SAS），∴PM＝NM，設(shè)DN＝x，則NC＝1﹣x，NM＝PM=12在Rt△CMN中，（12+x）2=14+解得x=1∴EG＝AN=1+答：EG的長(zhǎng)為103總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)．通過(guò)輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一對(duì)全等或相似的三角形中是本題的基本思路．典例3（2023秋?寧化縣月考）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)EF，AG．①判定AE和AG關(guān)系，并證明；②證明：EF＝FG；（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）證△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．通過(guò)證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM＝AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN＝EN；最后由勾股定理得到EN2＝EC2+NC2即MN2＝BM2+NC2．（1）①AE＝AG，AE⊥AG證明：在正方形ABCD中，∠B＝∠ADG，AD＝AB，∵DG＝BE∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，∴AE＝AG，AE⊥AG②在△FAE和△GAF中，AE＝AG∠EAF＝∠FAG＝45?AF＝AF，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．∵∠BAM＝∠CAE∴∠MAN＝∠EAN＝45°．∵AN＝AN∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，NE=NC∴MN＝EN=10總結(jié)提升：本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?太倉(cāng)市期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E是斜邊BC上兩點(diǎn)，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，則△ABC的面積為36．思路引領(lǐng)：將△AEC順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△AFB，得出∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，證明△DAE≌△DAF（SAS），由全等三角形的判定與性質(zhì)得出DE＝DF，由勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積可求出答案．解：將△AEC順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△AFB，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AEC≌△ABF，∴∠ABF＝∠ACD＝45°，∠BAF＝∠CAE，AE＝AF，∴∠FBE＝45°+45°＝90°，BF＝CE，∴BD2+BF2＝DF2，∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，∴∠BAD+∠BAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，又∵AD＝AD，∴△DAE≌△DAF（SAS），∴DE＝DF，∴BD2+BF2＝DE2，∵BD＝3，CE＝4，∴DE=3∴BC＝BD+DE+CE＝3+5+4＝12，∴AB＝AC＝12×22=∴△ABC的面積為12故答案為：36．總結(jié)提升：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模塊二2023中考押題預(yù)測(cè)1．（2023秋?潛江校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)F是正方形ABCD的邊BC和邊CD上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠EAF＝45°，有下列結(jié)論：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是2；其中正確的結(jié)論有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4思路引領(lǐng)：由“SAS”可證△AEF≌△AEQ，可得EQ＝EF，∠AEB＝∠AEF，可得BE+BQ＝BE+DF＝EF，故①②正確；由勾股定理可求DF，CF的長(zhǎng)，可得DF：CF＝1：2，故④錯(cuò)誤；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP＝AG，∠PAG＝90°，∠ADP＝∠ABG＝45°，由勾股定理可求BG2+DG2＝2AG2，故③正確；通過(guò)證明△EAF∽△MAG，可得相似比為2，故⑤正確；即可求解．解：如圖，延長(zhǎng)CB至Q，使BQ＝DF，連接AQ，∵BQ＝DF，∠ADF＝∠ABQ，AB＝AD，∴△ADF≌△ABQ（SAS），∴AF＝AQ，∠DAF＝∠BAQ，∵∠EAF＝45°，∴∠EAQ＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠EAQ＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEQ中，AQ=AF∠EAQ=∠EAF=45°∴△AEF≌△AEQ（SAS），∴EQ＝EF，∠AEB＝∠AEF，∴BE+BQ＝BE+DF＝EF，故①②正確；設(shè)AB＝BC＝CD＝2a，當(dāng)BE＝EC＝a時(shí)，∵EF2＝CF2+EC2，∴（a+DF）2＝（2a﹣DF）2+a2，∴DF=23∴CF=43∴DF：CF＝1：2，故④錯(cuò)誤；如圖，將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接PG，∴AP＝AG，∠PAG＝90°，∠ADP＝∠ABG＝45°，∴PG2＝AG2+AP2＝2AG2，∠BDP＝90°，∴DG2+PD2＝PG2，∴BG2+DG2＝2AG2，故③正確；如圖，連接ME，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)M四點(diǎn)共圓，∴∠AEM＝∠ABD＝45°，∴∠AEM＝∠EAM＝45°，∴AM＝EM，∴AE=2AM∵∠DAG＝90°﹣∠BAG，∠AMB＝180°﹣∠ABD﹣∠EAF﹣∠BAG＝90°﹣∠BAG，∴∠DAG＝∠AMB，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠AEB，∵∠AEB＝∠AEF，∴∠AMB＝∠AEF，又∵∠EAF＝∠GAM，∴△EAF∽△MAG，∴相似比為AEAM=2故選：D．總結(jié)提升：本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形或全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023?天河區(qū)一模）如圖，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若將AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接OE，則在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段OE的最小值為2．思路引領(lǐng)：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝∠B＝45°，可得點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)C且垂直BC的直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)OE⊥CE時(shí)，OE的值最小，即可求解．解：在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵將AD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝90°，∴點(diǎn)E在過(guò)點(diǎn)C且垂直BC的直線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)OE⊥CE時(shí)，OE的值最小，∵AO＝1，AC＝3，∴CO＝2，∵OE⊥CE，∠ACE＝45°，∴OE＝CE，∵OE2+CE2＝OC2＝4，∴OE2＝2，∴OE=2故答案為：2．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理等知識(shí)，確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0）和（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，并且滿足∠APB＝45°，滿足條件的點(diǎn)P有多少個(gè)？畫(huà)出這一些點(diǎn)．思路引領(lǐng)：由題意可得AB對(duì)應(yīng)的圓周角為45°，所以它對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，以AB為斜邊做等腰直角三角形，其頂點(diǎn)即為圓的圓心，再將圓做出，則點(diǎn)P可以是優(yōu)弧上任意一點(diǎn)．解：P點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．如圖，以M（3，2）為圓心，以22為半徑作圓，取其在x則P點(diǎn)可以是此圓弧上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），理由如下：∵∠AMB＝90°，在優(yōu)弧AB山任取點(diǎn)P，連接PA、PB，有∠APB＝45°．總結(jié)提升：本題考查圓周角定理，通過(guò)題目條件將其轉(zhuǎn)化為找圓周角為45°的點(diǎn)P的位置是解題關(guān)鍵．4．(2023秋?銅山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，點(diǎn)D、E是BC上的兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對(duì)稱．求證：（1）∠FAE＝∠BAE；（2）CD2+BE2＝DE2．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△AFD≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，∠CAD＝∠FAD，由于AB＝AC，于是得到AF＝AB，證得∠FAE＝∠BAE，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，由已知條件得到AF＝AB，推出△AFE≌△ABE，求得EF＝BE，∠B＝∠EFA，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．證明：（1）∵△ADC與△ADF關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△AFD≌△ADC；∴∠CAD＝∠FAD，∵∠CAB＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAD+∠FAE＝45°，∠CAD+∠EAB＝45°，∴∠FAE＝∠BAE；（2）∵△AFD≌△ADC，∴AC＝AF，CD＝FD，∠C＝∠DFA，又∵AB＝AC，∴AF＝AB，在△AFE與△ABE中，∵AF=AB∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE，∴EF＝BE，∠B＝∠EFA，∴∠DFE＝∠DFA+∠EFA＝∠B+∠C＝90°在Rt△DFE中，DF2+EF2＝DE2，即：CD2+BE2＝DE2．總結(jié)提升：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023??？谀M）如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，（1）求證：EG＝FH；（2）如果把題目中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”，若AB＝3，BC＝4（如圖②），求FHEG（3）如果把題目中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”（如圖③），若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)H的長(zhǎng)為5，求EG的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC交于N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BA交于M，證明△HFN≌△GEM（ASA）即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)H作HQ⊥BC交于Q，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB交于P，由（1）可得△QHF∽△PGE，再由HFGE=HQ（3）過(guò)A作AN∥EG交CD于N，過(guò)A作AM∥HF交BC于M，以A為旋轉(zhuǎn)中心，△ADN繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△PBA，可證明△PAM≌△NAM（SAS），設(shè)DN＝x，則NC＝2﹣x，MN＝PM＝x+1，在Rt△MNC中，（1+x）2＝（2﹣x）2+1，求出DN=23，在Rt△ADN中，求出AN=2103（1）證明：過(guò)點(diǎn)H作HN⊥BC交于N，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BA交于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴MG＝HN，∵HF⊥EG，∴∠MGE＝∠