第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法-高考一輪復(fù)習(xí)人教A版(適用于新高考新教材)

第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點(diǎn)2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.等差數(shù)列模型第14題第15題第17題第17題

第3題第7題第20題第18題2.等比數(shù)列模型第18題第18題

第8題3.等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯模型

第17題

4.數(shù)列求和問(wèn)題第18題第18題第16題

第17題

第18題優(yōu)化備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對(duì)本章考查多為“一大一小”的形式,有時(shí)也只考一道解答題.從內(nèi)容上看,小題主要考查等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算,等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系等.解答題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、等差(等比)數(shù)列的判斷與證明、數(shù)列求和等綜合問(wèn)題.復(fù)習(xí)策略:1.熟記公式:要熟練記憶等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)等,并要注意各個(gè)公式應(yīng)用的條件.2.重視提高運(yùn)算正確率:本單元中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)無(wú)處不在,需要加強(qiáng)訓(xùn)練,如乘公比錯(cuò)位相減法求和等,要掌握方法,規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn),不但要會(huì)做,還要做對(duì).3.注重歸納規(guī)律:本章知識(shí)結(jié)構(gòu)清晰,題型規(guī)律明顯,要通過(guò)題目總結(jié)方法,并了然于胸,如什么情況下選擇什么樣的方法求數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和,要對(duì)癥下藥,事半功倍.4.關(guān)注數(shù)學(xué)文化背景的數(shù)列試題:數(shù)列非常適宜與數(shù)學(xué)文化結(jié)合命題,尤其是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中涉及的一些常見(jiàn)數(shù)列題,解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意,轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列等模型.課標(biāo)解讀1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法.2.能利用an與Sn的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破目錄索引

1強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分知識(shí)梳理1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義數(shù)列按照

排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的

數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和并非每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式,數(shù)列有通項(xiàng)公式時(shí)也不一定是唯一的

確定的順序

每一個(gè)數(shù)微點(diǎn)撥1.從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列{an}可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí),所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.2.對(duì)于一個(gè)數(shù)列,如果只知道它的前幾項(xiàng),而沒(méi)有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個(gè)數(shù)列的.微思考數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5與函數(shù)y=3x+5有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

數(shù)列的通項(xiàng)公式an=3n+5是特殊的函數(shù),其定義域?yàn)镹*,而函數(shù)y=3x+5的定義域是R,an=3n+5的圖象是離散的點(diǎn),且排列在y=3x+5的圖象上.2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n,an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表示遞推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示數(shù)列的方法給出了數(shù)列相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系

數(shù)列的圖象是坐標(biāo)系中的一些孤立的點(diǎn)

3.an與Sn的關(guān)系

誤區(qū)警示1.切記公式an=Sn-Sn-1成立的條件是n≥2,當(dāng)n=1時(shí),只能用a1=S1求解,根據(jù)Sn求an時(shí)一定要注意檢驗(yàn)a1的值是否適合an=Sn-Sn-1.2.類(lèi)比an與Sn的關(guān)系,若設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為T(mén)n(Tn≠0),則有S1Sn-Sn-14.數(shù)列的分類(lèi)

分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1>ann∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)微思考數(shù)列的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性相同嗎?提示

不同.數(shù)列作為特殊的函數(shù),也具有單調(diào)性,但其單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性又有所不同,由于數(shù)列中項(xiàng)數(shù)n只能取正整數(shù),所以當(dāng)函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)時(shí),數(shù)列{f(n)}也是單調(diào)數(shù)列,但當(dāng)數(shù)列{f(n)}是單調(diào)數(shù)列時(shí),函數(shù)f(x)不一定是單調(diào)函數(shù),例如函數(shù)f(x)=(x-)2在[1,+∞)上不單調(diào),但數(shù)列{an}(an=f(n))是遞增數(shù)列.常用結(jié)論

自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)1.根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).(

)2.1,1,1,1,…,不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(

)3.相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列.(

)4.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對(duì)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√××√題組二回源教材5.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)4.1節(jié)第8頁(yè)練習(xí)第4題改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=-2n2,則{an}的通項(xiàng)公式是

.

6.(人教A版選擇性必修第二冊(cè)4.1節(jié)第8頁(yè)練習(xí)第2(2)題改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an=+1(n≥2),則a12=

.

an=-4n+2

解析

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2.當(dāng)n

=1時(shí),a1=S1=-2,適合上式,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-4n+2.3

題組三連線高考

B8.(2007·廣東,文13)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2-9n,則其通項(xiàng)公式an=

;若它的第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k=

.

2n-108

解析

當(dāng)n=1時(shí),a1=1-9=-8,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí),也滿足上式,因而an=2n-10.由5<ak=2k-10<8,得7.5<k<9,k∈N*,所以k=8.2研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一

由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式(多考向探究預(yù)測(cè))考向1已知Sn求an例1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=3n2+2n,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

6n-1

解析

由題知Sn=3n2+2n,則Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).變式探究(變條件)本例中將“Sn=3n2+2n”改為“Sn=3n2+2n+1”,其余不變,則{an}的通項(xiàng)公式an=

.

解析

由題知Sn=3n2+2n+1,則Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)+1=3n2-4n+2(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=6,不符合上式.所以an=[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·四川成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,則{an}的通項(xiàng)公式為(

)B解析

當(dāng)n=1時(shí),有2a1=1·21,所以a1=1.由2a1+22a2+23a3+…+2nan=n·2n,2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=(n-1)·2n-1,n≥2,兩式相減得2nan=n·2n-(n-1)2n-1考向2已知Sn與an的關(guān)系式求an例2數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,an+1=5Sn(n≥1),則an=(

)A.5×6n

B.5×6n+1C

變式探究(變條件)在本例中,若其他條件不變,將“an+1=5Sn(n≥1)”改為“an+1=5Sn+1(n≥1)”,再求an.解

由已知an+1=5Sn+1(n≥1),得當(dāng)n≥2時(shí),an=5Sn-1+1,兩式相減得an+1-an=5an,即an+1=6an,因此數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為6的等比數(shù)列,因此其通項(xiàng)公式為an=6n-1.考點(diǎn)二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(多考向探究預(yù)測(cè))例3(1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),則an等于(

)A.2+ln

n B.2+(n-1)ln

nC.2+nln

n D.1+n+ln

nA解析

因?yàn)閍n+1-an==ln(n+1)-ln

n,所以a2-a1=ln

2-ln

1,a3-a2=ln

3-ln

2,a4-a3=ln

4-ln

3,…,an-an-1=ln

n-ln(n-1)(n≥2).把以上各式分別相加得an-a1=ln

n-ln

1,則an=2+ln

n,n≥2.又a1=2也符合上式,因此an=2+ln

n.(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=1,=n+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

.

考向2累乘法例4(2024·遼寧葫蘆島模擬)在數(shù)列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

.

2n(n+1)

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)數(shù)列{an}的前五項(xiàng)分別是下列各數(shù):1,3,6,10,15,則{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為(

)C解析

依題意a2-a1=3-1=2,a3-a2=6-3=3,a4-a3=10-6=4,a5-a4=15-10=5,(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn=(n+1)2an-3,則{an}的通項(xiàng)公式為

.

考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究預(yù)測(cè))考向1數(shù)列的周期性

A

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入,故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列{an}可以用如下方法定義:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{bn},則數(shù)列{bn}的前2022項(xiàng)和為(

)A.2698 B.2697 C.2696 D.2695C解析

∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴數(shù)列{an}為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列{bn}為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,所以數(shù)列{bn}是以6為周期的周期數(shù)列,考向2數(shù)列的單調(diào)性例6(2024·北京