第三章 勾股定理（畢達(dá)哥拉斯數(shù)和趙爽弦圖擴(kuò)展）-蘇科版八年級(jí)《數(shù)學(xué)》上學(xué)期單元精講速記巧練（解析版）

第第頁第三章勾股定理畢達(dá)哥拉斯樹（勾股樹）是由

畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的圖形。又因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達(dá)哥拉斯樹。直角三角形兩個(gè)直角邊平方的和等于斜邊的平方。兩個(gè)相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個(gè)大正方形的面積。而同一次數(shù)的所有小正方形面積之和等于最大正方形的面積，直角三角形兩個(gè)直角邊平方的和等于斜邊的平方。典例1如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則正方形E的面積是（

）

A．47 B．37 C．34 D．13【答案】A【詳解】解：由勾股定理得：正方形F的面積正方形A的面積正方形B的面積，同理，正方形G的面積正方形C的面積正方形D的面積，∴正方形E的面積正方形F的面積正方形G的面積．

故選：A．典例2如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”．經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖①中共有3個(gè)正方形，圖②中共有7個(gè)正方形，圖③中共有15個(gè)正方形，照此規(guī)律“生長”下去，圖⑤中共有正方形的個(gè)數(shù)是（

）

A．31 B．32 C．63 D．64【答案】C【詳解】解：由圖可得，第①個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為：，第②個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為：，第③個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為：，…則第⑤個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)為：，故選：C．典例3“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為．

【答案】2024【詳解】解：設(shè)第一代勾股樹中間三角形的兩直角邊長為a和b，斜邊長為c，根據(jù)勾股定理可得：，∵,∴第一代勾股樹中所有正方形的面積為；同理可得：第二代勾股樹中所有正方形的面積為；第三代勾股樹中所有正方形的面積為；第n代勾股樹中所有正方形的面積為；∴第2023代勾股樹中所有正方形的面積為2024．故答案為：2024．

跟蹤訓(xùn)練1畢達(dá)哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形A、B、C、D的邊長分別是2，3，1，2，則正方形G的邊長是．

【答案】【詳解】解：設(shè)E、F兩個(gè)正方形和最大正方形G的邊長分別為x，y，z，則由勾股定理得：；；；即最大正方形G的面積為：，∴最大正方形G的邊長為．故答案為：．跟蹤訓(xùn)練2在如圖所示的“勾股樹”圖案中，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知最大正方形的邊長為10，則圖中所有正方形的面積之和為．

【答案】300【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：，即四個(gè)正方形A，B，C，D的面積之和為100；正方形F，G的面積之和為100；正方形E的面積為100；∴圖中所有正方形的面積之和為

故答案為：300．跟蹤訓(xùn)練3回看古人數(shù)學(xué)成就，領(lǐng)略數(shù)學(xué)先賢智慧．認(rèn)真閱讀并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被稱為“幾何學(xué)的基石”．在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這個(gè)結(jié)論就是勾股定理．在古時(shí)候，我國數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．成書于公元前世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》中有“勾三股四弦五”的記載，意思是在一個(gè)直角三角形中，如果較短直角邊的長度為，較長直角邊的長度為，斜邊的長度則為（如圖），可根據(jù)勾股定理計(jì)算得出．材料二：在西方，最早提出并證明勾股定理的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯，因此也被稱為畢達(dá)哥拉斯定理．他根據(jù)勾股定理，在初始的大正方形上，做出了兩個(gè)相鄰的小正方形，兩個(gè)相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個(gè)大正方形的面積（如圖），再以此類推，無限重復(fù)地做出各種大小不一的正方形，就形成了茂密的“畢達(dá)哥拉斯樹”（如圖）．

(1)在一個(gè)直角三角形中，如果兩條直角邊的長度分別為厘米和厘米，根據(jù)勾股定理：（

），得到這個(gè)直角三角形的斜邊的長度為（

）厘米；(2)如圖4所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的邊長是厘米，則正方形、、、的面積和是（

）平方厘米．【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1），故答案為：，；（2）根據(jù)材料二可得：，，，

∴，故答案為：．趙爽弦圖典例4如圖，2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)其原型是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股弦圖》，它是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面積是16，直角三角形的直角邊長分別為a，b，且，那么圖中小正方形的面積是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】解：∵大正方形的面積是16，∴，∴，∵，∴，∵小正方形的邊長為：，∴．故選C跟蹤訓(xùn)練4圖1為“弦圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就．根據(jù)該圖，趙爽用兩種不同的方法計(jì)算正方形的面積，通過正方形面積相等，從而證明了勾股定理．現(xiàn)有4個(gè)全等的直角三角形（圖2中灰色部分），直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，將它們拼合為圖2的形狀．

(1)小誠同學(xué)在圖2中加了相應(yīng)的虛線，從而輕松證明了勾股定理，請(qǐng)你根據(jù)小誠同學(xué)的思路寫出證明過程；(2)當(dāng)，時(shí)，求圖2中空白部分的面積．【答案】(1)見解析(2)13【詳解】（1）解：圖2中圖形的總面積可以表示為：以c為邊的正方形的面積+兩個(gè)直角三角形的面積，即，也可以表示為：以a和b為邊的兩個(gè)小正方形的面積+兩個(gè)直角三角形的面積，即，∴，即．（2）解：當(dāng)時(shí)，，由圖可知，空白部分面積=以c為邊的正方形的面積-兩個(gè)直角三角形的面積，即：空白部分面積為：．典例5勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請(qǐng)判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．跟蹤訓(xùn)練5如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形、正方形、正方形的面積分別為，，．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)中，，∴，∴，∴，∴．故選：D1．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【答案】B【詳解】解：如圖所示，由勾股定理，得，故選：B．

2．畢達(dá)哥拉斯樹也叫“勾股樹”，是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹狀圖形，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如圖，若正方形，，，的邊長分別是2，3，1，2，則正方形的邊長是（

）A．8 B． C． D．5【答案】C【詳解】解：設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，則由勾股定理得：；；；即最大正方形E的面積為：，∴最大正方形E的邊長為．故選：C．3．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】∵勾，弦，∴∴小正方形的面積為．故選：A．4．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙炎弦圖“是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為，則小正方形的面積為（

）

A．9 B．6 C．4 D．3【答案】A【詳解】解：∵，∴每個(gè)直角三角形的面積是：，∵大正方形的面積為，∴小正方形的面積為：．故選：A．5．在如圖所示的“勾股樹”圖案中，所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，已知最大正方形的邊長為10，則圖中所有正方形的面積之和為．

【答案】300【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：，即四個(gè)正方形A，B，C，D的面積之和為100；正方形F，G的面積之和為100；正方形E的面積為100；∴圖中所有正方形的面積之和為

故答案為：300．6．“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”，……，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長”2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積之和為．

【答案】2024【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，

由勾股定理得，正方形B的面積與正方形C的面積和為1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024．故答案為：2024．7．“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為．【答案】【詳解】解：由題意可知第一代勾股樹中正方形有（個(gè)），第二代勾股樹中正方形有（個(gè)），第三代勾股樹中正方形有（個(gè)），由此推出第五代勾股樹中正方形有（個(gè)）故答案為：．8．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就如圖，小穎同學(xué)把圖中長和寬分別和的兩個(gè)全等矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中小正方形的面積為．

【答案】【詳解】解：由圖可知，圖中正方形的邊長為，∴圖中小正方形的面積為，故答案為：．9．下圖是我國數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中給出的圖案，人們稱它為“趙爽弦圖”．圖中四個(gè)全等的直角三角形可以圍成一個(gè)大正方形，直角三角形兩直角邊長分別為，斜邊長為，中間的部分是一個(gè)小正方形．若大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，求的值．

【答案】196【詳解】解：由圖可知，，．小正方形的面積是4，，，，．10．公元3世紀(jì)初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)三點(diǎn)共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．與是一樣的直角三角板，兩直角邊長為，，斜邊是．請(qǐng)用此圖1證明勾股定理．

擴(kuò)展應(yīng)用1：如圖2，以的邊和邊為邊長分別向外作正方形和正方形，過點(diǎn)分別作的垂線段，那么的數(shù)量關(guān)系是