湖北省新高考協(xié)作體2024屆高三統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)試題（一）

【新結(jié)構(gòu)】2024屆湖北省新高考協(xié)作體高三統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)試題（一）?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則(

)A.1 B. C. D.22.已知集合太平洋，大西洋，集合，則集合A與集合B的關(guān)系為(

)A. B. C. D.3.一個容量為10的樣本，6，7，8，9，10，13，14，15，17，18，則該組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為(

)A.8 B. C. D.154.已知直線l：與圓C：交于A、B兩點，，則(

)A.1 B. C. D.5.考慮以為樣本空間的古典概型．設(shè)X和Y定義在上，取值于的成對分類變量，則“與獨立”是“與獨立”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件6.若，，，則的最小值為(

)A. B. C. D.67.已知數(shù)列，通項公式為，，將數(shù)列，的公共項從小到大排列得到數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則(

)A. B. C. D.8.一個半徑為1的小球在一個內(nèi)壁棱長為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個方向自由運動，則該小球表面永遠不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.四個實數(shù)1，，a，b按照一定的順序構(gòu)成一個等比數(shù)列，則ab的可能取值有(

)A. B. C.128 D.10.已知函數(shù)，，且滿足，，對任意的，恒有，且為的極值點，則下列等式成立的是(

)A. B.

C. D.11.已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為若雙曲線的離心率，則下列說法正確的是(

)A.雙曲線的漸近線方程： B.以為直徑的圓與直線AB相切

C.內(nèi)切圓半徑最小值是 D.的范圍是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.函數(shù)的對稱中心為__________.13.拋物線E：的焦點為F，直線AB，CD過F分別交拋物線E于點A，B，C，D，且直線AD，BC交x軸于N，M，其中，則M點坐標為__________.14.對于任意的實數(shù)，函數(shù)在上至少3個零點，至多4個零點，則的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路，是應(yīng)對氣候變化推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措．隨著國務(wù)院《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃》的發(fā)布，我國自主品牌汽車越來越具備競爭力．國產(chǎn)某品牌汽車對市場進行調(diào)研，統(tǒng)計了該品牌新能源汽車在某城市2023年前幾個月的銷售量單位：輛，用y表示第x月份該市汽車的銷售量，得到如下統(tǒng)計表格：123456728323745475260經(jīng)研究，x、y滿足線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程、按四舍五入精確到整數(shù)；該市某4S店為感謝客戶，決定針對該品牌的汽車成交客戶開展抽獎活動，設(shè)“一等獎”、“二等獎”和“祝您平安”三種獎項，“一等獎”獎勵5千元；“二等獎”獎勵3千元；“祝您平安”獎勵紀念品一份．在一次抽獎活動中獲得“二等獎”的概率為，獲得一份紀念品的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩個客戶參與抽獎活動，假設(shè)他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲獎金總額千元的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)及公式：，，16.本小題15分在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若求角A的大小；若D為BC上一點，且AD為的角平分線，，求AD的最大值．17.本小題15分如圖，在直三棱柱中，，求證：；若E為的中點，三棱錐的體積為1，線段CE上是否存在點P，使得二面角的大小為，若存在，求的值，若不存在，請說明理由．18.本小題17分已知若，，求；設(shè)，，證明：；在的條件下，若，ⅰ證明：數(shù)列和數(shù)列均為等比數(shù)列；ⅱ求的通項公式．19.本小題17分如圖，已知圓錐PO的軸PO與母線所成的角為，過的平面與圓錐的軸所成的角為，該平面截這個圓錐所得的截面為橢圓C，橢圓C的長軸為，短軸為，長半軸長為3，C的中心為N，再以為弦且垂直于PO的圓截面，記該圓與直線交于，與直線交于，設(shè)求橢圓C的焦距；橢圓C左右焦點分別為，，C上不同兩點A，B，滿足，設(shè)直線，交于點Q，，求四邊形的面積．

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)模長的計算，屬于基礎(chǔ)題.

先將復(fù)數(shù)z化簡，然后求出其模，最后代入求出答案即可.【解答】解：由已知得，所以，所以故選：2.【答案】B

【解析】【分析】本題考查元素與集合，集合與集合的關(guān)系等，屬于基礎(chǔ)題．

由題意太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，從而確定關(guān)系．【解答】

解：已知集合太平洋，大西洋，集合，

集合B為集合A的子集組成的集合，

太平洋，大西洋，太平洋，大西洋，

則

故選：3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)分位數(shù)的求法求解即可.【解答】

解：上四分位數(shù)就是分位數(shù)，

因為容量為10的樣本，，

故第處的數(shù)字為第八個數(shù)

故選：4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

利用為等腰直角三角形，得到，計算即可.【解答】

解：圓C的圓心為，半徑，

由題意可知，為等腰直角三角形，

則C到AB的距離為，

則，解得

故選：5.【答案】A

【解析】【分析】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查條件概率的計算，屬于中檔題.

根據(jù)條件概率的計算以及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答】

解：由題意可知，，，

若與獨立，

則，，

，

與獨立，反之亦然，

故為充要條件.

故選：6.【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.

直接利用基本不等式求解．【解答】解：，，，

，

，且，，

，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.

故的最小值為故選：7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬于中檔題.

首先判斷出數(shù)列與

項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構(gòu)成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【解答】

解：因為，

，

所以是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前n項和

故答案為：8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查棱錐、球的結(jié)構(gòu)特征，屬于較難題.

考慮小球與正四面體的一個面相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為，故小三角形的邊長為，求解即可．【解答】

解：如圖甲，考慮小球擠在一個角時的情況，

小球半徑為1，作平面平面ABC，

與小球相切于點D，則小球球心O為正四面體的中心，面，垂足D為的中心.

因

，

故，從而

記此時小球與面PAB的切點為，連接，

則，

考慮小球與正四面體的一個面不妨取為相切時的情況，

易知小球在面PAB上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙.

記正四面體的棱長為a，過作于

因，

有，

故小三角形的邊長，

小球與面PAB不能接觸到的部分的面積參考圖乙，

，

所以，

所以，

由對稱性，且正四面體共4個面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為

故選：9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

對a，b的位置分類討論，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)：

若a，b都在中間或兩端，

則；

若a，b在前兩位，

則或，

且，

當(dāng)時，解得；

當(dāng)時，解得；

若a，b在后兩位，

則或，

且，

當(dāng)時，解得；

當(dāng)時，解得；

綜上，ab的取值為或或

故選：10.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，等差數(shù)列的判定等，屬于中檔題.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，結(jié)合等差數(shù)列逐一判定即可.【解答】

解：，

，

、且滿足，，對任意的，恒有，

與切于點，交于點，

與切于點，交于點，

，為的兩異根，

為極大值點，為極小值點，

令，

則，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以是函數(shù)的極小值點，

，故A正確；

由，則，

則，

由，則，

則，

所以，故B正確；

，故C錯誤；

，故D正確.

故選11.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查雙曲線漸近線、直線與圓位置關(guān)系判斷，直線與雙曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用，屬于較難題.

利用雙曲線的定義、性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長定理、直線與圓的位置關(guān)系等知識對選項逐個判斷即可.

【解答】

解：因為，所以漸近線方程為，所以A錯.

設(shè)，，其中，

設(shè)，，，

對于C，過分別作，，的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)，

由切線長定理有，，，

則，

又因為，所以，

又，所以，同理可得，則，在直線上;

對于A，過作AB的垂線，垂足為G，因為，則，

設(shè)、EG的中點分別為M，N，則，且，

所以，M到AB距離為，

則以為直徑的圓與直線AB相切，故B正確.

對于C，設(shè)，，則，，，

內(nèi)切圓半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C對.

對于D，，故D錯.

故選：12.【答案】

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．由函數(shù)中心對稱的特點計算可得.【解答】

解：，

，

，

所以對稱中心為

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查幾何與代數(shù)，涉及了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

設(shè)，，，，，設(shè)，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得M的坐標.【解答】

解：F坐標為，

設(shè)，，，，，

設(shè)，聯(lián)立消x得，

所以，

同理：，，，

所以，

所以，所以

故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考正弦函數(shù)的圖象、性質(zhì)，屬于中檔題.

由

，得

，進而可得區(qū)間長度，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得不等式，即可求解.

【解答】

解：令，則，

當(dāng)時，

則，

其區(qū)間長度，

為保證在上至少3零點，至多4零點，

則，

解得，

故

故答案為：15.【答案】解：由題意可得，，，，，故線性回歸方程為由題意可得，獲得“一等獎”的概率為，X的所有可能取值為0、3、5、6、8、10，，，，，，，故X的分布列為：X0356810P故

【解析】本題考查概率統(tǒng)計，涉及回歸直線方程的求解，離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

計算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回歸直線方程；由題意可知，隨機變量X的可能取值有0、3、5、6、8、10，計算出隨機變量X在不同取值下的概率，可得出隨機變量X的分布列，進而可求得的值.16.【答案】解：因為，

由正弦定理得

，

即，

，

所以，

又，所以

因為，

因為，

所以，

即，

所以，又，

所以，

所以，

設(shè)，則，

所以，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以AD的最大值為

【解析】本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，三角形面積公式，基本不等式，屬于中檔題.

利用正弦定理與余弦定理結(jié)合角度范圍可得答案；

利用三角形面積公式可得，進而可得，設(shè)，即可利用基本不等式求解最值.17.【答案】解：

證明：在直三棱柱中，，

平面ABC，

平面ABC，

，

，，平面，平面，

平面，

平面，；

，平面BAC，，BA，兩兩垂直，

以B為坐標原點，，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

設(shè)，則，

解得

由題意知平面ABE的一個法向量為

，

設(shè)平面ABP的一個法向量為，

，，，，

，設(shè)，，

則，令，得，

二面角的大小為，

，解得，

存在點P，當(dāng)時，二面角的大小為

【解析】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查平面與平面所成角的向量求法，屬于中檔題.

推導(dǎo)出平面ABC，，從而平面，由此能證明；

以B為坐標原點，，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點P，當(dāng)時，二面角的大小為18.【答案】解：由題意可得：，，

其中，即，①

，

，

又，

，②

聯(lián)立①②解得：，

證明：，，

則，

故

，

證明：由題意可得：時，結(jié)合可知：

，，

，

又，

，

，

，

所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，

數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列;

由，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，可得：

，

，

即，

故

【解析】本題考查函數(shù)，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，等比數(shù)列的判定與證明，數(shù)列通項公式的求解等，屬于較難題.

利用，得到