2024遼寧中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 微專題 二次函數(shù)與等腰三角形問題（課件）

例1題圖微技能——分類討論思想確定動點位置一階一題多設(shè)問例1

已知拋物線交x軸于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C.連接AC.微專題：二次函數(shù)與等腰三角形問題探究1：在拋物線對稱軸上找一點P使得△ACP為等腰三角形．(1)若AC為等腰三角形的底邊時，AP＝PC；在圖①中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡)；例1題解圖①解：探究1：(1)滿足條件的點P如解圖①所示.(2)若AC為等腰三角形的腰時，AC＝________或AC＝________；在圖②中畫出所有滿足條件的點P的示意圖(保留作圖痕跡)；PCAP(2)滿足條件的點P如解圖②、③所示.例1題解圖②例1題解圖③探究2：在拋物線上找一點E使得△BCE為等腰三角形．在圖③中畫出所有滿足條件的點E的示意圖(保留作圖痕跡).例1題圖④探究2：滿足條件的點E如解圖④、⑤所示.例1題圖⑤【作圖依據(jù)】______________________________________________線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．【方法總結(jié)】等腰三角形的存在性一般要分情況討論：常以已知邊為______或______討論；以探究1為例，已知邊AC為底時，可以作已知邊的______________________，所找點即為＿＿＿＿______________的交點；若已知邊AC為腰時，作圖方法為：__＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿___________________，所找點即為____________________腰底邊垂直平分線(中垂線）垂直平分線和對稱軸圓與對稱軸的交點．AC的長為半徑畫圓分別以點A、C為圓心，三點共線時，不能構(gòu)成三角形，須忽略．●易錯警示【思考】若動點在y軸上、x軸上時，確定動點位置有什么不同呢？一題多設(shè)問二階一題多設(shè)問例2

如圖①，已知拋物線y＝－

x2＋bx＋c與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C，頂點為M，對稱軸與x軸交于點N.例2題圖①(1)求拋物線的表達式及頂點M的坐標；

∴拋物線的表達式為y＝-x2+x+2∴拋物線的對稱軸為直線x＝=當(dāng)x＝1時，y＝∴頂點M的坐標為(1,);解：(1)將點A(－1，0)，B(3，0)代入拋物線y＝－x2＋bx＋c中，得

解得

例2題圖①例2題圖②(2)如圖②，點P是拋物線上一點，當(dāng)△PCO是以O(shè)C為底邊的等腰三角形時，請直接寫出點P的橫坐標；【思維教練】由于點P在拋物線上，△PCO是以O(shè)C為底邊的等腰三角形，所以點P在OC的垂直平分線與拋物線的交點上．例2題圖②令x＝0，則y＝2，∴C(0，2)，∴OC＝2，∵△COP是以CO為底的等腰三角形，∴CD＝DO＝1，∴點P，P′的縱坐標為1，當(dāng)y＝1時，－

x2＋

x＋2＝1，PP′D【解法提示】如解圖①，作CO的垂直平分線交拋物線于點P和點P′，交CO于點D.連接CP、OP，OP′，CP′，△POC和△P′CO是以O(shè)C為底的等腰三角形．解得x＝1＋

或x＝1－.∴點P的橫坐標為1＋

，點P′的橫坐標為1－.即存在點P使△PCO是以O(shè)C為底邊的等腰三角形，點P的橫坐標為1＋

或1－.(2)點P的橫坐標為1+或1-例2題圖②PP′D例2題圖③(3)如圖③，點E是x軸上一點，當(dāng)△ACE是等腰三角形時，請直接寫出點E的坐標；【思維教練】由于△ACE是等腰三角形，可分AC為底邊，AC為腰兩種情況分類討論．【解法提示】∵點E在x軸上，∴設(shè)點E的坐標為(m，0)．由(1)易得點C的坐標為(0，2)，∴AC＝

，∵△ACE是等腰三角形，①當(dāng)AE＝AC時，ⅰ.當(dāng)點E在點A的右側(cè)時，∵AE＝AC＝

，則EO＝

－1，例2題圖③∴E的橫坐標為－1；∴E(－1，0)；ⅱ.當(dāng)點E在點A的左側(cè)時，∵AE＝AC＝

，則EO＝

＋1，∴點E的橫坐標是－

－1；∴E(－

－1，0)；②當(dāng)AC＝CE時，∵CO⊥AE，∴點E在AO的延長線上，且AO＝EO，∴點E的橫坐標為1；∴E(1，0)；例2題圖③③當(dāng)AC為底時，則AE＝CE時，則點E為AC的垂直平分線與x軸的交點．∵AE＝1＋m，OE＝m，∴AE2＝(1＋m)2.∵點C的坐標為(0，2)，∴OC＝2.∴CE2＝m2＋22.∵CE＝AE，∴22＋m2＝(1＋m)2，解得m＝例2題圖③∴E(

，0)，綜上所述，點E的坐標為(－1，0)或(－

－1，0)或(1，0)或(，0)．(3)點E的坐標為(

－1，0)或(－

－1，0)或(1，0)或(，0)；例2題圖③例2題圖④(4)如圖④，對稱軸MN上一點是否存在點G，使得△CGB是等腰三角形，若存在，請直接寫出點G的縱坐標；若不存在，請說明理由；【思維教練】未明確說等腰三角形的腰和底，故要分類討論：①CG＝CB，②CG＝BG，③BG＝BC求解即可．【解法提示】∵點G在對稱軸上，∴設(shè)點G的坐標為(1，m)，∵點C(0，2)，B(3，0)，∴BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(m－2)2，BG2＝22＋m2，當(dāng)△CGB是等腰三角形時，可分以下三種情況：①當(dāng)CG＝CB時，1＋(m－2)2＝13，解得m＝2＋2或m＝2－2，∴G(1，2＋2)或(1，2－2)；②當(dāng)CG＝BG時，1＋(m－2)2＝22＋m2，解得m＝

，∴G(1，)；③當(dāng)BG＝BC時，22＋m2＝13，解得m＝3或m＝－3，∴G(1，3)或(1，－3)；綜上所述，當(dāng)△CGB是等腰三角形時，點G的縱坐標為2＋2或2－2或

或3或－3.(4)存在，點G的縱坐標為2＋2

或2－2

或

或3或－3；例2題圖⑤(5)如圖⑤，點D的坐標為(4，0)，動點Q從點A開始沿AC方向以每秒

個單位長度的速度運動，動點P從點C開始，沿CD方向以每秒

個單位長度的速度運動，當(dāng)點Q到達終點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t，當(dāng)△NPQ是等腰三角形時，請直接寫出t的值．【思維教練】根據(jù)題意用含t的式子表示出QN，PQ，PN，由于不確定△NPQ的底和腰．所以分下列三種情況討論：①NQ＝NP，②NQ＝PQ，③NP＝PQ求解即可．例2題圖⑤【解法提示】由點的坐標易得AC＝

，CD＝2，AD＝5.由勾股定理逆定理得AC2＋CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°.根據(jù)題意可知，AQ＝

t，CP＝

t，∴CQ＝

－

t，∴PQ2＝CQ2＋CP2＝(－

t)2＋(t)2＝

t2－5t＋5，QGHP易得AG＝

t，QG＝t，∴NG＝2－

t，則NQ2＝QG2＋NG2＝

t2－2t＋4，同理可得NP2＝5t2－8t＋5，其中t的取值范圍是0≤t≤2.如解圖②，過點Q作QG⊥x軸于點G，過點P作PH⊥x軸于點H，當(dāng)△NPQ是等腰三角形時，則分以下幾種情況：①當(dāng)NQ＝NP時，

t2－2t＋4＝5t2－8t＋5，整理得15t2－24t＋4＝0，解得t＝

或t＝

；②當(dāng)NQ＝PQ時，

t2－2t＋4＝

t2－5t＋5，整理得5t2－3t＋1＝0，此方程無解，則此時t不存在；例2題圖⑤QGHP③當(dāng)NP＝PQ時，5t2－8t＋5＝

t2－5t＋5，整理得5t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝－

(舍去)．綜上所述，當(dāng)△NPQ是等腰三角形時，t的值為

或

或0.(5)t的值為

或

或0.例2題圖⑤QGHP綜合訓(xùn)練三階1.(2023撫順新?lián)釁^(qū)一模)如圖，直線y＝－

x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，P為x軸上的動點，P與A，O不重合，PC∥OB交拋物線于C，交直線AB于D，連接BC.(1)求拋物線的解析式；第1題圖備用圖解:(1)∵直線y＝－

x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，當(dāng)y＝0時，x＝4，∴點A的坐標是(4，0)，當(dāng)x＝0時，y＝2，∴點B的坐標是(0，2)，又∵拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點，∴

，解得，∴拋物線的解析式是y＝－x2＋

x＋2；第1題圖(2)當(dāng)∠BCD＝45°時，求點P的坐標；(2)設(shè)點C的坐標是(x，y)，當(dāng)點C在第一象限時，∵∠BCD＝45°，∴y－2＝x，∴y＝－x2＋

x＋2＝x＋2，∴x1＝

，x2＝0(不合題意，舍去)，∴點P的坐標是(，0)，當(dāng)點C在第四象限時，2－y＝x，∴y＝－x2＋

x＋2＝－x＋2，∴x1＝

，x2＝0(不合題意，舍去)，∴點P的坐標是(，0)，綜上所述，點P的坐標是(，0)或(，0)；第1題圖(3)當(dāng)△BCD為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．E則點E是等腰三角形△BCD的邊DC中點，則有yE＝(yC＋yD)，即2＝(－m2＋

m＋2－

m＋2)，解得m1＝3，m2＝0(不合題意，舍去)，此時點P的坐標是(3，0)；【解法提示】設(shè)點P的坐標是(m,0)，則點D的坐標是(m,－

m＋2)，當(dāng)0＜m＜4時，若△BCD為等腰三角形時，則有以下情況：①如解圖①，當(dāng)BC＝BD時，過點B作BE⊥CD交CD于點E，②當(dāng)BC＝CD時，BC＝

，==CD＝y(tǒng)C－yD＝(－m2＋

m＋2)－(－

m＋2)＝－m2＋4m，∵BC2＝CD2，∴m2(m2－7m＋)＝m2(m2－8m＋16)，解得m1＝

，m2＝0(不合題意，舍去)，∴此時點P的坐標是(，0)；第1題圖E第1題解圖②③當(dāng)BD＝CD時，BD＝

＝

，CD＝y(tǒng)C－yD＝(－m2＋

m＋2)－(－

m＋2)＝－m2＋4m，∴m＝－m2＋4m，解得m1＝

，m2＝0(不合題意，舍去)，∴此時點P的坐標是(，0)，當(dāng)m＞4時，只有BD＝CD，才能使△BCD為等腰三角形，如解圖②，則有CD=yD－yC=(－

m＋2)－(－m2＋

m＋2)＝m2－4m，解之得：m1＝

，m2＝0(舍去)，∴此時點P的坐標是(，0)；綜上所述，點P的坐標是(3，0)或(，0)或(，0)或P4(，0)．(3)點P的坐標為(3，0)或(，0)或(

，0)或(，0)．∴

m＝m2－4m，第1題解圖②第2題圖2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2－x＋c(a≠0)與x軸交于A(－1，0)、B(3，0)兩點，直線AC與y軸交于點C，與拋物線交于點D，OA＝OC.(1)求該拋物線與直線AC的解析式；備用圖解：(1)把A(－1，0)、B(3，0)代入y＝ax2－x＋c，得解得∴拋物線的解析式為y＝

x2－x－

；∵OC＝OA＝1，∴C(0，1)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋1(k≠0)，則－k＋1＝0，解得k＝1，∴直線AC的解析式為y＝x＋1設(shè)E(x，

x2－x－)(－1＜x＜3)，則G(x，x＋1)，∴EG＝x＋1－(x2－x－)＝－

x2＋2x＋.∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，∴∠OCA＝45°，AC＝

＝

，第2題圖(2)若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE.求△ACE面積的最大值及此時點E的坐標；(2)如解圖①，作EG⊥x軸交直線AC于點G，作EH⊥AD于點H.GH∵∠HGE＝∠OCA＝45°，∴EH＝EG·sin45°＝(－

x2＋2x＋)，第2題圖GH∴S△ACE＝

＝

＝∵＜0，且－1＜2＜3，∴當(dāng)x＝2時，S△ACE最大＝

，此時E(2，)．∴△ACE面積的最大值為

，此時點E的坐標為(2，)；(3)將原拋物線沿射線AD方向平移2

個單位長度，得到新拋物線：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新拋物線與原拋物線交于點F，在直線AD上是否存在點P，使以點P、D、F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．第2題圖備用圖第2題解圖②【解法提示】如解圖②，在直線AC上取一點A′，使它的橫坐標為1，則A′(1，2)，AA′＝

＝

，∴點A′即為拋物線平移后點A的對應(yīng)點，可知拋物線向右、向上各平移2個單位長度．∵∴平移后的拋物線為

，其頂點坐標為(3，0)；∵原拋物線與新拋物線都經(jīng)過點B(3，0)，∴點B即為新拋物線與原拋物線的交點F.作A′K⊥x軸于點K，則∠AKA′＝∠FKA′＝90°，AK＝A′K＝FK＝2，∴∠AA′K＝∠FA′K＝45°，∴∠AA′F＝90°.由

，解得

或

(不符合題意，舍去）∴D(5，6)，∴FD＝.①當(dāng)FP1＝FD時，則點P1與點D關(guān)于點A′對稱，∴P1(－3，－2)；②當(dāng)P2D＝FD＝

時，∵CD＝×5＝5，∴CP2＝

－

，∴xp＝

，yp＝

，P2(，)；第2題解圖②③當(dāng)DP3＝FP3時，∵∠P3DF＝∠FDP1，∠DFP3＝∠DP1F，∴△P3DF∽△FDP1，∴，∵DP1＝×(5＋3)＝8，∴，∴CP3＝

，∴xp＝

，yp＝

，∴P3(,)；第2題解圖②④當(dāng)P4D＝FD＝2時,則CP4＝

，∴xp＝

，yp＝

，∴P4(，)．綜上所述，點P的坐標為(－3，－2)或(，)或(

，)或(,)．(3)存在，點P的坐標為(－3，－2)或(，)或(，)或(，)．第3題圖3.如圖，拋物線y＝ax2＋x＋c與x軸交于A，B(4，0)兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，4)，直線BC經(jīng)過B，C兩點，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接PB，PC.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；解：(1)由題意，將B(4，0)，C(0，4)代入拋物線y＝ax2＋x＋c，得

解得∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－

x2＋x＋4；第3題圖第3題圖(2)設(shè)點P的橫坐標為n，四邊形OBPC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；(2)如解圖①，過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F.∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB＝OC＝4.易得直線BC的表達式為y＝－x＋4.∵點P的橫坐標為n，∴P(n，－

n2＋n＋4)，F(xiàn)(n，－n＋4)．∴PF＝－

n2＋n＋4－(－n＋4)＝－

n2＋2n，EF∴S四邊形OBPC＝S△BOC＋S△PBF＋S△PCF＝

＝

＝

＝

×4×4+×(

n2+2n)×4＝－n2+4n+8=－(n－2)2＋12∵－1＜0，0＜n＜4.∴當(dāng)n＝2時，S有最大值，S最大＝12，此時－

n2＋n＋4＝－×22＋2＋4＝4，∴此時點P的坐標為(2，4)；第3題圖EF第3題圖(3)在(2)的條件下，當(dāng)S取最大值時，在PC的垂直平分線上是否存在一點M，使△BPM是等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解法提示】∵P(2，4)，C(0，4)，∴PC∥x軸，PC＝2，∴PC的垂直平分線⊥x軸且為直線x＝1，∴點M的橫坐標為1，∴可設(shè)點M的坐標為(1，y)．又∵B(4，0)，P(2，4)，∴PM2＝(1－2)2＋(y－4)2＝y(tǒng)2－8y＋17，MB2＝(1－4)2＋y2＝y(tǒng)2＋9，PB2＝(4－2)2＋(0－4)2＝20.當(dāng)△BPM是等腰三角形時，如解圖②，可分三種情況進行討論：①當(dāng)PM＝MB，即PM2＝MB2時，y2－8y＋17＝y(tǒng)2＋9，解得y1＝1，∴此時點M的坐標為(1，1)；第3題解圖②②當(dāng)PM＝PB，即PM2＝PB2時，y2－8y＋17＝20，解得y2＝4＋

，y3＝4－

，∴此時點M的坐標為(1，4＋)或(1，4－)；③當(dāng)MB＝PB，即MB2＝PB2時，y2＋9＝20，解得y4＝

，y5＝－

，∴此時點M的坐標為(1，)或(1，－)．第3題解圖②綜上所述，在PC的垂直平分線上存在一點M，使△BPM是等腰三角形，此時點M的坐標為(1，1)或(1，4＋)或(1，4－)或(1，)或(1，－)．第3題解圖②(3)存在，點M的坐標為(1，1)或(1，4＋)或(1，4－)或(1，)或(1，－)．第4題圖4.

如圖，拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于A點，其中A、B、C三點構(gòu)成直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4.(1)求經(jīng)過點A、B、C的拋物線的解析式；解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝10，∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AO，即2×4＝10×AO，∴AO＝4，則OC＝

＝8，BO＝2，即B(－2，0)，C(8，0)，A(0，4)，設(shè)經(jīng)過點A、B、C的拋物線的解析式為y＝a(x＋2)(x－8)，將A(0，4)代入得，4＝a(0＋2)(0－8)，解得a＝－

，故y＝－(x＋2)(x－8)＝－

x2＋

x＋4；第4題圖(2)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，設(shè)所得△PAC的面積為S，求S等于多少時，相應(yīng)的點P有且只有2個？(2)設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，∴，解得

，∴直線AC對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－

x＋4，設(shè)P(m，－m2＋m＋4)，則Q(m，－m＋4)．如解圖①，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點Q，連接PC、PA.第4題圖HPQ①當(dāng)0＜m＜8時，PQ＝

＝