初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽定理

歐拉(Euler)線:

同一三角形的垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，這條直線稱為三角

形的歐拉線;

且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半。

外心重心重心垂心

2.00厘米4.00厘米

九點(diǎn)圓：

任意三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足及三頂點(diǎn)與垂心間線段的中點(diǎn)，共九個(gè)

點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱為三角形的九點(diǎn)圓；

其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點(diǎn)，其半徑等于三角形外接圓半徑

的一半。

OA=1.07厘米

08=1.07厘米

0Kl=243厘米

BD=4.87厘米

費(fèi)爾馬點(diǎn)：

已知P為銳角4ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)NAPB=/BPC=NCPA=120°時(shí),

PA+PB+PC的值最小，這個(gè)點(diǎn)P稱為4ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。

C

BP+CP+AP8E+CE+AE

10.90厘米1151厘米

BE=3.45厘米

爾馬點(diǎn))荽-720。CE=5.00厘米

=720。AE=3.06厘米

-120°BP=4.93厘米

CP=3.63厘米

ETAAP=2.33厘米

海倫(Heron)公式：

海倫(Heron)公式：

1

在Zk/lSC中，邊BC、CA.A8的長分別為a、b、(；,若p=,(a+b+c),

,A8C的面積S=Jp(p-a)(p-b)(p—c)

AB=4.00^/

BC=6.09厘米/

1CA=5.00厘米/

—(AB+SC+CA)=7.54MBKDC

P=7.54厘米

AD=3.27厘米

y/p(p-AB)(p-BC)(p-CA)=9.94厘興—BC-AD=9.94厘米

塞瓦(Ceva)定理：

在4ABC中，過4ABC的頂點(diǎn)作相交于一點(diǎn)P的直線，分別

交邊BC、CA、AB與點(diǎn)D、E、F,則(BD/DC)?(CE/EA)?(AF/FB)=1；其逆亦真。

A

F/\\E票偌)偌A。。

DC=3.79厘米

-------------/_______—CE=2.73隆米

BDJEA=2.8。厘米

AF=3.41厘米

FB=3.60厘米

密格爾(Miquel)點(diǎn)：

若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，

構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是AABF、AAED>ABCE>ADCF,

則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)。

密格爾(Miquel)飛

葛爾剛(Gergonne)點(diǎn):

△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,

則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)。

西摩松(Simson)線：

已知P為4ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD±BC,PE±ACPF±AB,D、

E、F為垂足，

則D、E、F三點(diǎn)共線，這條直線叫做西摩松線。

CB

P(托動(dòng))

黃金分割：

把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)

與較小線段(BC)的比例中項(xiàng)，這樣的分割稱為黃金分割。

AC2=14.0厘米

7--------------g-----------CB-AB=14.0厘米

AB

帕普斯(Pappus)定理：

已知點(diǎn)Ai、A2、A3在直線11上，已知點(diǎn)Bi、B2、B3在直線12上，

且AlB2與A2B1交于點(diǎn)X,A1B3與A3B1交于點(diǎn)Y,A2B3于A3

B2交于

點(diǎn)Z,則X、Y、Z三點(diǎn)共線。

笛沙格(Desargues)定理：

已知在△ABC與△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三線相交于點(diǎn)0,

BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點(diǎn)X、Y、Z,則X、Y、

Z三點(diǎn)共線；其逆亦真

BX

摩萊(Morley)三角形:

在已知4ABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BC、CA、AB相鄰的每兩

線相交于點(diǎn)D、E、F,則4DEF是正三角形，

這個(gè)正三角形稱為摩萊三角形。

DE=1.24厘米

EF=1.24厘米

FD=124厘米

帕斯卡(Paskal)定理：

已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點(diǎn)G,邊BC、EF

延長線交于點(diǎn)H,邊CD、FA延長線交于點(diǎn)K,則H、G、K三點(diǎn)共線。

在圓內(nèi)接四邊形中，AB?CD+AD?BC=AC?BD

斯圖爾特(Stewart)定理：

設(shè)P為4ABC邊BC上一點(diǎn)，且BP：PC=n：m,貝ij

m,(AB2)+n,(AC2)=m,(BP2)+n,(PC2)+(m+n)(AP2)

A

AC=7.72厘米

AP=4.75厘米

梅涅勞斯(Menelaus)定理：

在^ABC中，若在BC、CA、AB或其延長線上被同一條直線

截于點(diǎn)X、Y、Z,貝MBX/XC)?(CY/YA)?(AZ/ZB)=1

阿波羅尼斯(Apollonius)圓

一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m:n,則點(diǎn)P的軌跡，是以

定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這個(gè)圓被稱為阿波

布拉美古塔(Brahmagupta)定理：

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC1BD,自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線,

其延長線必平分對(duì)邊。

D

A(托動(dòng))

BF=4.27厘米

CF=4.27厘米

GD=4.15厘米

GC=4.15厘米

(托動(dòng))

F

B（：

廣勾股定理:

在任一三角形中，

⑴銳角對(duì)邊的平方，等于兩夾邊之平方和,減去某夾邊和另一夾邊在

此邊上的影射乘積的兩倍.

⑵鈍角對(duì)邊的平方，等于兩夾邊的平方和,加上某夾邊與另一夾邊在

此邊延長上的影射乘積的兩倍.

加法原理：

做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有Ml種不同的方法，在

第二類辦法中有M2種不同的方法，……，在第N類辦法中有M(N)種不同的

方法，那么完成這件事情共有M1+M2++M(N)種不同的方法。

比如說：從北京到上海有3種方法可以直接到達(dá)上海，

1：火車ki

2：飛機(jī)k2

3：輪船k3,那么從北京-上海的方法N=ki+k2+ks

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，

做第一步有ml種不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有不同的方法.那么完成這件

事共有N=ml?m2?m3…mn種不同的方法.

正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一個(gè)三角形中是恒量，是此三角形

外接圓的直徑)

這一定理對(duì)于任意三角形ABC,都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為三角形外接圓半徑)

余弦定理：

對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩

邊與他們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c三角為A,B,C,則滿足

性質(zhì)：

a2=b2+c2-2bc,CosA

b2=a2+c2-2ac,CosB

C2=a2+b2-2ab,CosC

CosC=(a2+b2-C2)/2ab

CosB=(a2+c2-b2)/2ac

CosA=(c-2+b-2-a'2)/2bc

解析幾何中的基本公式

1、兩點(diǎn)間距離：若A（x,y）,B（x,y）,則|ABI=4（馬一七）？+（為一/）?

2、平行線間距離：若4：Ax+By+C=O,Z2:Ax+By+C=O

nlC,-C21

貝U：d=Y

注意點(diǎn):X,y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等。

3、點(diǎn)到直線的距離：P(x0,y0),1:Ax+By+C=O

則P到1的距離為一二勺針

y=kx+b

4、直線與圓錐曲線相交的弦長公式:)(x,y)=O

消y：ax1+bx+c=Q,務(wù)必注意A”0

若1與曲線交于A（X[,%）,B（X2,y2）

則：囚3|=，(1+12)(%2—()2

5、若A(xt,%),B(X2,y2),P(x,y)oP在直線AB上，且P分有向線

段AB所成的比為;I,

_%]+AX2Y_/+超

X—

1+2.一2

則…特別地：2=1時(shí)，P為AB中點(diǎn)且＜

、,_%+儀

1+22

變形后：幾=二二土或幾=）工

工2-％y2-y

6、若直線L的斜率為ki,直線12的斜率為k2,則h到12的角為a,ae（O,乃）

適用范圍：ki,k2都存在且kik2w—1,tana=—~~—

1+kJ?

若li與12的夾角為，貝肚an9=勺二"