人教A版新教材高中數(shù)學(xué)第二冊學(xué)案2：6. 2 . 4 向量的數(shù)量積

6.2.4向量的數(shù)量積

『課標(biāo)要求』

課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過物理中功等實例,理解平面向所數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量:積.2.通過幾何直

觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.

教學(xué)重點：1.平面向量數(shù)呈積的含義與幾何意義.2.向星數(shù)呈積的性質(zhì)與運算律及其應(yīng)用.

教學(xué)難點:1.平面向量數(shù)量積的概念.2.平面向量數(shù)量積的運算律的證明.

『知識導(dǎo)學(xué)J

知識點一向量的夾角

條件兩個回非零向量:。和匕

。是平面上的任意一點，作QA

產(chǎn)生

=a.O^=b,則=/AO8叫做

過程

向量a與b的夾角

范圍

0=0a與b畫同向

特殊

a與b眄1垂直，記作畫aj_b

情況

0=na與b啦!反向

知識點二向量數(shù)量積的概念

已知條件兩個非零向量a與b.它們的夾角為。

晅數(shù)量1al1b|cos。叫做向量a與8的數(shù)量積

定義

（或內(nèi)積）

記法a?b=\a\\b\cos。

規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為靶

知識點三投影向量

如圖1,設(shè)a,》是兩個非零向量，AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換：過A8的起點A

和終點B,分別作C。所在直線的垂線，垂足分別為Ai，Bi，得到48,我們稱上述變換為

向量a向向量題:，481叫做向量。在向量力上的陛」

?

如圖2,我們可以在平面內(nèi)任取一點。，作OM=a,0N=8.過點M作直線ON的垂線，垂

足為例I,則0M就是向量”在向量入上的投影向量.

知識點四向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律

（1）向量的數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量，它們的夾角是仇e是與b方向相同的單位向量，則

①Q(mào).e=e.a=笆.

②笆.

③當(dāng)“與5同向時，4力=因.

當(dāng)a與6反向時，ab=^.

@a-a=^\^\a\=yf（ra=yla^.

⑤cosO=笆.

@|?-Z>|S|a||Z>|.

（2）向量數(shù)量積的運算律

①西（交換律）.

②（加）仍=西=時（結(jié)合律）.

③日（分配律）.

『新知拓展』

1.對數(shù)量積的理解

（1）求a,b的數(shù)量積需知道三個量，即⑷，向及a,方的夾角，這三個量有時并不是直接給出

來的，需根據(jù)題意去巧妙求解.

(2)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的運算，其結(jié)果不再是向量，而是數(shù)量，它的符號由

夾角確定，當(dāng)夾角為銳角或。時，符號為正；當(dāng)夾角為鈍角或兀時，符號為負(fù)；當(dāng)夾角為直

角時，其值為零.

向量的投影是一個數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零.

(3)兩個向量a,?的數(shù)量積與代數(shù)中兩個數(shù)a,6的乘積油是兩碼事，但表面看來又有點相

似，因此要注意兩個向量a,方的數(shù)量積是記作。仍，中間的實心小圓點不能省略，也不能把

實心小圓點用乘號“X”代替，寫成aXD.

2.要靈活掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)

(l)a±Z>?a&=0,既可以用來證明兩向量垂直，也可以由垂直進行有關(guān)計算.

(2)?-a=a2=|ap與⑷=胸=而也用來求向量的模，以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)

化.

(3)用8$。=儒求兩向量的夾角，且夾角的取值與ab的符號有關(guān).

設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為仇則

當(dāng)6=0時，cos0=1,a-6=|a||Z>|；

當(dāng)6"為銳角時，cos(9>0,ab>0；

當(dāng)6為鈍角時，cos6?<0,ab<0；

當(dāng)6為直角時，cos0=O,ab=O；

當(dāng)6=兀時,cos(9=—1,ab=—\a\\b\.

(4)|a0W|a|⑸可以用來通過構(gòu)造向量來證明不等式問題或解決最值問題.

(5)①向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a,b,c均為非零向量，Kac=bc,但得不至l]a=Z>.

②(a彷)CWQS-C).

『評價自測』

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若a力=ac且aWO,則，=c.()

(2)若=0,則?=0或5=0.()

(3)若a-Lb,則a力=0.()

(4)向量。在入上的投影向量是一個模等于|acos呢。是a與》的夾角)，方向與b相同或相反

的一個向量.()

2.做一做

(1)若向量a,力的夾角為30。，則向量一。，一6的夾角為()

A.60°B.30°C.120°D.150°

(2)已知向量a和向量6的夾角為30。，|a|=2,制=/，則向量a和向量〃的數(shù)量積〃力=

(3)已知向量滿足向=2,a與b的夾角為60。,設(shè)方在@上的投影向量是c,則|c|=.

(4)若向量a,〃的夾角為120。，同=1,向=3,則|5a一加=.

『題型探究』

題型一平面向量數(shù)量積的概念

例1(1)己知a,b,c是三個非零向量，則下列命題中真命題的個數(shù)是()

①H創(chuàng)=|a||b|Qa〃b；

②a,b反向oeb=一回回；

③aJ_)o|a+6|=|〃一b|；

④|a|=步|=|〃-c|=\bx\.

A.1B.2C.3D.4

(2)已知⑷=5,網(wǎng)=2,若：(l)a//b；②aJ_6③。與b的夾角為30。.分別求〃力.

『規(guī)律方法」

⑴求平面向量的數(shù)量積的一般步驟

(2)。與b垂直當(dāng)且僅當(dāng)。力=0.

(3)非零向量。與b共線當(dāng)且僅當(dāng)。力=±|a||b|.

「跟蹤訓(xùn)練1J

(1)已知下列命題：

①若°2+'2=0,則4=力=0；②已知a,b,c是三個非零向量，若a+b=O,則|a?c|=|"d；

③⑷步|<a?岳④aaa=|03；⑤若向量a,6滿足。5>0,則。與的夾角為銳角.

其中判斷正確的是.

⑵給出下列命題：

—?—?

①在AABC中，若AB8C<0,則△ABC是銳角三角形；

—?―?

②在△ABC中，若AB-BCO,則△ABC是鈍角三角形；

③△ABC是直角三角形=AaBC=O.

其中，正確命題的序號是.

題型二投影向量

例2如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZABC=30°,。為BC的中點.

(1)求BA在CZ)上的投影向量;

—?—?

(2)求CD在BA上的投影向量.

「規(guī)律方法」

求一個向量在另一個向量上的投影向量時，關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，根據(jù)題意確定向量的模

及兩向量的夾角.

『跟蹤訓(xùn)練2J

—?—?―?—?—?—?—?

在△ABC中，已知|A劇=|AC|=6,且ABAC=18,則84在BC上的投影向量為(用BC

表示).

題型三平面向量數(shù)量積的運算

例3(1)已知⑷=4,|*|=5,且向量［與b的夾角為605求(20+3》(30-26)；

—?-?

⑵在RtZXABC中,ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABAC.

「綜合探究」將本例改為：(1)已知?=4,|加=5,且向量a,b的夾角為30°,求(2a+3辦(3a

—2b)；

(2)在Rt/XABC中,ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABBC.

「規(guī)律方法」向量數(shù)量積的求法

(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個向

量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.

(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算.

「跟蹤訓(xùn)練3」

-A-A-A-A

如圖，在△4BC中，。是8c的中點，E,尸是4。上的兩個三等分點，BA-C4=4,BFCF=

-1,貝IJ8ECE的值是

題型四與向量模有關(guān)的計算

例4已知向量”，b的夾角為60°,且⑷=2,步|=1,若c=2a-Z>,d=a+2b,求:

(l)c-rf;

⑵|c+2仇

「規(guī)律方法」求向量的模的常見思路及方法

(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用。2=同2,勿忘記開方.

(2)0.=序=|肝或|a尸而，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.

「跟蹤訓(xùn)練4J

已知|a|=|b|=5,向量Q與1的夾角為多求|a+b|,\a-b\.

題型五兩向量的夾角問題

例5已知同=2,步|=1,a與分的夾角為60。，求向量nj=2.+b與向量"=a—45的夾角

的余弦值.

「規(guī)律方法J求向量a與b夾角的思路

(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計算ab及⑷網(wǎng)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cos0=

箭，最后借助6右『0,?！唬蟪?的值.

(2)在個別含有⑷，物與a力的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cos。的值.

『跟蹤訓(xùn)練5J

已知向量a,〃滿足(a+26)"—》)=—6,且⑷=1,\b\=2,則a與b的夾角為.

題型六兩向量的垂直問題

例6已知向量a,b不共線,且|2a+B|=|a+2臼，求證：(a+B)J_(a—B).

「規(guī)律方法」求(證明)兩向量垂直的基本步驟

(1)計算“力的值；

(2)若為零，則”,否則不垂直.

「跟蹤訓(xùn)練6」

已知⑷=1,步|=2,。一6與a垂直，求當(dāng)左為何值時，(Aa-b)，(a+2b)?

『隨堂達標(biāo)』

1.已知非零向量a，b,若a+23與a—2b互相垂直，則曷=()

A.；B.4C.1D.2

—?-?—A-?—A

2.在△ABC中，若A8BC+AB2=o,則BC在BA上的投影向量為()

―?―?—?—?

A.BAB.2ABC.ACD.gcA

3.已知向量a,。滿足|a|=2,|b|=l,(a—b>b=O,那么向量。與力的夾角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

—?—?—?—?

4.已知△ABC是邊長為陋的等邊三角形，貝!]BCC4+48BC=.

5.已知⑷=1,ab=~,(a+b)-(a—b)—^.

(1)求例的值；

(2)求向量a-b與a+b夾角的余弦值.

★參*考*答*案★

r知識導(dǎo)學(xué)J

知識點三投影向量

投影投影向量

知識點四向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運算律

⑴①⑷cos。

②。Z>=0

③⑷向一⑷網(wǎng)

④HF

⑥w

(I)?a-h=b-a

②K(rb)a(Ab)

③(a+b>c=0c+frc.

『評價自測』

1.『答案J(1)X(2)X(3)V(4)V

2.『答案」(1)B(2)3(3)1(4)7

『題型探究』

題型一平面向量數(shù)量積的概念

例1

11解析」」(1)①?.”力=|。仙IcosO,...由|。加=|。仙|及a,b均為非零向量可得|cos例=1,

.,.9=0或。=兀，且以上各步均可逆，故命題①是真命題；②若Q,〃反向，則a,

b的夾角為n,.,.a-Z>=|a||Z>|cos7i=—|a||Z>|,且以上各步均可逆，故命題②是真命題；③當(dāng)a

時，將向量a，6的起點確定在同一點，則以向量a,5為鄰邊作平行四邊形，則該平行

四邊形一定為矩形，于是它的兩對角線的長度相等，即有|a+勿=|a—用.反過來，若|。+勿=

\a-b\,則以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形，...a，。，因此命題③也是真命題；④當(dāng)⑷

=例但是a與c的夾角和力與c的夾角不等時，就有|a-c|#眇c].反過來，由|0c|=|Z>-c|也推不

出⑷=|臼，故命題④是假命題.故選C.

(2)①當(dāng)a〃b時，若。與b同向，則它們的夾角為0。，

.*.a-6=|a||&|cosO°=5X2X1=10；

若a與方反向，則它們的夾角為180。，

：.ab=|a|網(wǎng)cos180°=5X2X(—1)=一10.

②當(dāng)a_L5時，則它們的夾角為90。，a-6=|a||*|cos90°=5X2X0=0.

③當(dāng)a與b的夾角為30。時，a力=|a||b|cos3(r=5X2X坐=5小.

『「答案」」(1)C⑵見『解析』

「跟蹤訓(xùn)練11

「答案」⑴①②⑵②

「解析」(1)對于①，'.,。2+析=0,，|呼+向2=0,二|3=網(wǎng)=0,；.。=6=0,故①正確；

對于②，..,。+白=0,與白互為相反向量，設(shè)Q與c的夾角為仇則b與c的夾角為兀一

6,貝ija-c=|a||c|cos。，"c=|b||c|cos(7t—。)=一|b||c|cos仇\a-c\=\b-c\,故②正確；對于③，

由于|a0|=|a||b||cosJ|W|M|b|，故③錯誤；對于④,由于aaa=HFa,其結(jié)果為向量，故④錯

誤；對于⑤，當(dāng)。與》為同向的非零向量時，ab=|a||^|cos0=|a||6|>0,但夾角不是銳角，故

⑤錯誤.

(2)利用向量數(shù)量積的符號，可以判斷向量的夾角是銳角、直角，還是鈍角.

—?―?—>—?—>―?

@'：ABBC<0,：,BABC=-ABBOO,

是銳角，但并不能斷定其余的兩個角也是銳角.

所以推不出△ABC是銳角三角形.故命題①是假命題.

—?-A-A-A-A-A

：.BABC=-ABBC<Q,

是鈍角，因而AABC是鈍角三角形.故命題②是真命題.

③若△ABC是直角三角形，則直角可以是/A,也可以是/B,ZC.

而A?8C=0僅能保證是直角.故命題③是假命題.

題型二投影向量

例2

「解」(1)如圖，連接AD

?.,￡)為BC的中點，AB=AC,：.AD±BC.

設(shè)與CO同方向的單位向量為e.

—?-?

又BD=DC=4且BA與CO的夾角為150。，

―?

―?—?―?—?—?

CD

3A在CD上的投影向量為|BA|cosl5(re=一小e=一/==-CO=BD

|CD|

(2)如圖，延長CB至點M,使BM=CD,

過點M作AB延長線的垂線MN,并交AB的延長線于點N.

A

3

易知5M=CD3N=,CD在84上的投影向量即為身依BA上的投影向量.

-A-A

3

又MN1.BN,BN=],8M與H4的夾角為150。，

―?—?—?―?

3

故氏依氏4上的投影向量為5N=—a%,

―?―?—?

3

即C。在84上的投影向量為一：84

『跟蹤訓(xùn)練2」

-A

「答案」\BC

—?—?—?—?

「解析」設(shè)/A=。，'：ABAC=|AB||Aqcos6?=18,：.cosd=y,/.6?=60°.

—?-?

又?.?|A8|=|AC1，.?.△ABC為等邊三角形.

過點A作AD1BC交BC于點。.則BD=DC.

—?—?―?-A

故8A在BC上的投影向量為8￡>,即為會仁

題型三平面向量數(shù)量積的運算

例3

「解」(1)(2。+3b)-(3a—2b)=6a2—4ab+9ab—6b2

=6X4?+5X4X5義cos600-6X52=-4.

-A-A-?—>

4

(2)48AC=\AB^AQcosZBAC=5X4X--16.

[綜合探究」

解(1)(2。+3用?(3a—25)=6a2+5eb—6小

=6X42+5X5X4XCOS300-6X52=50V3-54.

(2)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,故BC=3,

-A-A

3

且COSNABC=5,AB與3。的夾角。=180。一/43。，

―?—?—?-?

3

故AB-BC=一依劇|BC]cos/A8C=-5X3Xg=-9.

f跟蹤訓(xùn)練3J

「答案」f7

-?-?—>?-?—?-?

「解析」解法一：設(shè)8O=a,DF=b,則BACA=(a+3力-(一。+3㈤=9|肝一⑷2=4,BFCF

-A-A

135

=(o+方>(—a+b)=|5F—1。|2=—1，解得|aF=k，|肝=『貝ijBECE=(a+2bx—a+2b)=4步F

OO

7

-|a|2=g-

解法二：設(shè)AB=a,AC=b,根據(jù)題意有

84cA=。仍=4,〃。彷=4,

—2(a2+ft2)+5a-ft=-9,

<B/C/一多)?0?一|。=一1,整理得j一一

—5(.+b2)+26ab

BE?CE=-----------宗-----,

I36

邛CE=&-|a)&-汕

527

-f5X(—9)+亍義4

于是BECE=----------文------=p.

題型四與向量模有關(guān)的計算

例4

「解」因為向量。與〃的夾角為60。，⑷=2,例=1,

所以。b=|a||b|cos60°=l,因為c=2a-Z>,d=a+2b.

(I)cd=(2a-/>>(a+23=2a2+3a力-2/=2|aF+3Xl—2|bF=2X22+3-2X12=9.

(2)因為c+2d=(2a—6)+2(a+2b)=4a+3b,

(c+2d￥=(4a+3b)2=16/+24“0+9於=16⑷2+24X1+9|例2=16X22+24X1+9X1=97,

所以匕+2肝=97,所以|c+2rf|=順.

r跟蹤訓(xùn)練4」

例5

「解」a2=2XlXcos60°=l,

|闌2=|20+加2=4|aF+4Q0+的2=4X22+4X1+1=21,

|/i|2=\a-4bF=|a|2-8a-Z>+16|6|2=22-8Xl+16X1=12,

\m\=-\[2\,|〃|=2小，

，"〃=(2a+b>(a-4))=2|aF-70b-4|bF=2X22-7Xl-4Xl=-3.

設(shè)m,”的夾角為仇

—3=-x/2lX2"\/§Xcos。，即cos6>=—率.

「跟蹤訓(xùn)練5j

「答案Jf

『解析」設(shè)a與b的夾角為仇依題意有(a+2b>(a—6)=/+〃力一2於=-7+2COS6=一

6,所以cos6=,因為0W。，，故

題型六兩向量的垂直問題

例6

『證明」9：\2a+b\=\a+2b\,：.(2a+b)2=(a+2b)2,

222222

即4a+4ab+b=a+4ah+4bf