高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點講解+真題測試專題7.4數(shù)列求和(真題測試)(原卷版+解析)

專題7.4數(shù)列求和（真題測試）一、單選題1．（2023·寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．12．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－1103．(2023·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為d,前n項和為,則“d>0”是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4.（2023·全國·高考真題（理））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A．16 B．8 C．4 D．25．(2023·全國·高考真題（理））設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A． B． C． D．6．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足對任意的，總存在，使得，則可能等于（

）A． B．2022n C． D．7．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和滿足，若數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．8．(2023·河南開封·模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列的前n項和為，，記，若數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C．200 D．400二、多選題9．(2023·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n項和為11．（2023·湖北·高三階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前項和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的有（

）A． B．的前n項和為 C． D．三、填空題13．（2023·北京·高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．14．(2023·河南開封·模擬預(yù)測（理））在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的公比為______．15．（2023·全國·高考真題（理））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．16．(2023·江蘇·高考真題）已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．18.(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．19.（2023·山東·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．20.（2023·天津·高考真題（文））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.21.(2023·山東·高考真題（文））已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且.(I)求數(shù)列{an}通項公式；(II){bn}為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和Sn,已知,求數(shù)列的前n項和.22.(2023·天津·高考真題（文））設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若，求正整數(shù)n的值．專題7.4數(shù)列求和（真題測試）一、單選題1．（2023·寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：A分析：由已知，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列方程組求公差即可.【詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A2．(2023·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．－10 B．－20 C．－120 D．－110答案：C【解析】分析：利用數(shù)列的運算性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項和的公式計算即可.【詳解】，，則.故選：C3．(2023·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為d,前n項和為,則“d>0”是A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：C【解析】【詳解】由，可知當(dāng)時，有，即，反之，若，則，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要條件，選C．4.（2023·全國·高考真題（理））已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A．16 B．8 C．4 D．2答案：C【解析】利用方程思想列出關(guān)于的方程組，求出，再利用通項公式即可求得的值．【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．5．(2023·全國·高考真題（理））設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A． B． C． D．答案：B【解析】【詳解】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.6．(2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足對任意的，總存在，使得，則可能等于（

）A． B．2022n C． D．答案：B【解析】分析：A選項，利用等比數(shù)列求和公式列出方程，令n＝2時，得到，m不存在，A錯誤；B選項，利用等差數(shù)列求和公式進行求解得到方程，取即可，C選項，利用平方和公式得到，當(dāng)n＝2時，，m不存在；D選項，當(dāng)n＝2時，，m不存在.【詳解】對于選項A：當(dāng)時，則是等比數(shù)列，因為所以，當(dāng)n＝2時，，m不存在，A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，是等差數(shù)列，因為，則，取即可，B正確；對于選項C：當(dāng)時，，則，當(dāng)n＝2時，，m不存在，C錯誤；對于選項D：當(dāng)時，，則，當(dāng)n＝2時，，m不存在，D錯誤．故選：B．7．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前n項和滿足，若數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：已知，則有，做差求，再檢驗，求出的通項公式，代入求，裂項法求和計算結(jié)果.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，所以.故，故選：D.8．(2023·河南開封·模擬預(yù)測（理））已知正項數(shù)列的前n項和為，，記，若數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C．200 D．400答案：C【解析】分析：利用關(guān)系及等差數(shù)列的定義求的通項公式，進而可得，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性并討論，求得，即可求.【詳解】由題設(shè)，則，所以，又為正項數(shù)列，則，由，可得，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則，故，當(dāng)且，；當(dāng)且，；當(dāng)且，；當(dāng)且，；則，由.故選：C二、多選題9．(2023·河北滄州·二模）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】分析：由條件可得當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，然后可逐一判斷.【詳解】因為，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.所以，選項錯誤；又因為，所以，選項B正確；故C正確，選項D正確.故選：BCD10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）公差為d的等差數(shù)列滿足，，則下面結(jié)論正確的有（

）A．d＝2 B．C． D．的前n項和為答案：ABD【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷A、B；利用裂項相消求和法即可判斷C、D.【詳解】由題意得，，即，解得，所以，故A、B正確；得，故，故C錯誤；所以數(shù)列的前n項和為，故D正確.故選：ABD.11．（2023·湖北·高三階段練習(xí)）已知是數(shù)列的前項和，且，則（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．答案：AB【解析】分析：由，分別得到，，然后逐項判斷.【詳解】由，得，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則正確；由，得，又，所以數(shù)列是首項為7，公比為4的等比數(shù)列，則正確；，相減可得，所以，則錯誤；，，則錯誤．故選：AB．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．從第1行開始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，記為，的前n項和記為，則下列說法正確的有（

）A． B．的前n項和為 C． D．答案：ABD【解析】分析：由題意分析出數(shù)列為等比數(shù)列，再求其前n項和記為，然后對各選項逐一分析即可.【詳解】從第一行開始，每一行的數(shù)依次對應(yīng)的二項式系數(shù)，所以，為等比數(shù)列，，所以，故A正確；，所以的前n項和為，故B正確；依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的項數(shù)分別為0，1，2，3……構(gòu)成一個等差數(shù)列，項數(shù)之和為，的最大整數(shù)為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，在中去掉，取的就是第12行的第2項，，故C錯誤；，這11行中共去掉了22個1，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．（2023·北京·高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．答案：

0.

-10.【解析】分析：首先確定公差,然后由通項公式可得的值，進一步研究數(shù)列中正項?負項的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,,由等差數(shù)列的性質(zhì)得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為.14．(2023·河南開封·模擬預(yù)測（理））在等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的公比為______．答案：１或.【解析】分析：分和兩種情況討論.【詳解】解：當(dāng)時，滿足，，此時；當(dāng)時，由，，可得：，解得，此時.綜上所述：公比的值為：１或.

故答案為：１或.15．（2023·全國·高考真題（理））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若，則S5=____________．答案：.【解析】分析：本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計算得到．題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以．16．(2023·江蘇·高考真題）已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．答案：27【解析】【詳解】分析：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項數(shù)的最小值.詳解：設(shè)，則由得所以只需研究是否有滿足條件的解，此時，，為等差數(shù)列項數(shù)，且.由得滿足條件的最小值為.點睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如），符號型（如），周期型（如）.四、解答題17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列求解公比即可；（2）根據(jù)題意得，再裂項求和即可.(1)設(shè)數(shù)列公比為，由，，可得，化簡得，即，所以．(2)由（1）得，所以所以.18.(2023·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)，即可得到（），兩式作差即可得解；（2）依題意可得，利用分組求和及裂項相消法求和即可；(1)解：因為，①當(dāng)時，．②①②得，所以．當(dāng)時，，也滿足上式，所以．(2)解：因為，則，則．19.（2023·山東·高考真題）已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）方法一：通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）［方法一］：規(guī)律探索由于，所以對應(yīng)的區(qū)間為，則；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有2個1；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個2；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個3；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個4；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有個5；對應(yīng)的區(qū)間分別為，則，即有37個6．所以．［方法二］【最優(yōu)解】：由題意，，即，當(dāng)時，．當(dāng)時，，則．［方法三］：由題意知，因此，當(dāng)時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，．所以．所以數(shù)列的前100項和．【整體點評】（2）方法一：通過數(shù)列的前幾項以及數(shù)列的規(guī)律可以得到的值，從而求出數(shù)列的前項和，這是本題的通性通法；方法二：通過解指數(shù)不等式可得數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列的前項和，是本題的最優(yōu)解；方法三，是方法一的簡化版．20.（2023·天津·高考真題（文））設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.答案：（I），；（II）【解析】分析：（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法