高考數(shù)學一輪復習(提升版)(新高考地區(qū)專用)9.4拋物線(精講)(提升版)(原卷版+解析)

9.4拋物線（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一拋物線定義及應用【例1-1】(2023·廣西梧州）已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．【例1-2】（江蘇省百校聯(lián)考2023-2024學年高三上學期第一次考試數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，過點作，交準線于點，若直線的傾斜角為，則點的縱坐標為（

）A．3

B．2

C．1

D．【一隅三反】1．(2023·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線焦點的坐標為，P為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．3．（2023·江西南昌·高三階段練習）若拋物線上的點到焦點的距離比到直線的距離小1，則=（

）A． B． C．6 D．考點二直線與拋物線的位置關系【例2-1】(2023·廣東）已知拋物線的方程為，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【例2-2】(2023·肥城市）設拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線交于點，若，則直線的方程為___________.【一隅三反】1．(2023·云南）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于、兩點，若，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．2(2023·廣東佛山·高三階段練習）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為_____________．3．(2023·廣東高三開學考試）過點的兩條直線與拋物線C：分別相切于A，B兩點，則三角形PAB的面積為（）A． B．3 C．27 D．考點三弦長【例3-1】(2023·全國·高三專題練習）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．8 C．12 D．【例3-2】(2023·廣東·高三階段練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【一隅三反】1．(2023·河南·高三開學考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．2．(2023·山西·太原市外國語學校高三開學考試）已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43（2023·福建高三月考）過拋物線：的焦點的直線交于，兩點，若，則線段中點的橫坐標為______．考點四綜合運用【例4】(2023·全國·高二課時練習）（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【一隅三反】1．(2023·廣東江門）（多選）設拋物線：的焦點為，準線為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點到準線的距離為3 D．拋物線的方程為2．(2023·遼寧朝陽）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則B．若，則直線的斜率為C．若為坐標原點，則三點共線D．3．(2023·海南·瓊海市嘉積第二中學）（多選）已知直線過拋物線的焦點，且斜率為，與拋物線交于兩點（在第一象限），以為直徑的圓分別與軸相切于兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若為拋物線上的動點，，則D．若為拋物線上的點，則9.4拋物線（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一拋物線定義及應用【例1-1】(2023·廣西梧州）已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．答案：D【解析】由題意，拋物線的準線方程為，根據(jù)拋物線的定義，可得點到焦點的距離等于到準線的距離，可得，解得故選：D.【例1-2】（江蘇省百校聯(lián)考2023-2024學年高三上學期第一次考試數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線上一點，過點作，交準線于點，若直線的傾斜角為，則點的縱坐標為（

）A．3

B．2

C．1

D．答案：A【解析】設準線與軸交于點，則，，∴，連接，則，又，所以是正三角形，∴，準線的方程是，∴點縱坐標為3.故選：A【一隅三反】1．(2023·云南民族大學附屬中學模擬預測（理））已知點為拋物線上的動點，設點到的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】直線為拋物線的準線，點到準線的距離等于點到焦點的距離，過焦點作直線的垂線，如下圖所示，此時最小，為點到直線的距離.，則．故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線焦點的坐標為，P為拋物線上的任意一點，，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．答案：A【解析】因為拋物線焦點的坐標為，所以，解得．記拋物線的準線為l，作于，作于，則由拋物線的定義得，當且僅當P為BA與拋物線的交點時，等號成立．故選：A.3．（2023·江西南昌·高三階段練習）若拋物線上的點到焦點的距離比到直線的距離小1，則=（

）A． B． C．6 D．答案：D【解析】由題可知拋物線的準線方程為，所以，即，所以，∴，所以.故選：D.考點二直線與拋物線的位置關系【例2-1】(2023·廣東）已知拋物線的方程為，若過點的直線與拋物線有公共點，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由題意知，直線的斜率存在，設直線的方程為，代入拋物線方程，消去并整理，得．當時（當直線斜率存在時，需要討論斜率是否為），顯然滿足題意；當時，，解得或．綜上，，故選：A．【例2-2】(2023·肥城市）設拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線交于點，若，則直線的方程為___________.答案：【解析】因為拋物線方程為，所以焦點，準線.設，直線方程為，代入拋物線方程消去，得，所以.又過的中點作準線的垂線與拋物線交于點，設，可得，因為，所以，得到，所以.因為，所以，解之得，所以，直線方程為，即.故答案為：.【一隅三反】1．(2023·云南）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線交于、兩點，若，則這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.所以直線不與軸重合，易知拋物線的焦點為，設直線的方程為，聯(lián)立可得，，則，所以，，解得.故滿足條件的直線有且只有一條．故選：B．2(2023·廣東佛山·高三階段練習）已知圓的方程為，拋物線的方程為，則兩曲線的公共切線的其中一條方程為_____________．答案：【解析】設切線方程為：，分別聯(lián)立方程得到和，得和，得和，解得和，解得或，所以，兩曲線的公共切線的其中一條方程可為：故答案為：3．(2023·廣東高三開學考試）過點的兩條直線與拋物線C：分別相切于A，B兩點，則三角形PAB的面積為（）A． B．3 C．27 D．答案：A【解析】拋物線，即，故，設兩點的坐標為，則有，整理得，同理故直線的方程為，由得，故，因為點到直線的距離為，故三角形的面積為故選：.考點三弦長【例3-1】(2023·全國·高三專題練習）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．8 C．12 D．答案：B【解析】依題意可知拋物線焦點為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為．故選：B．【例3-2】(2023·廣東·高三階段練習）已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8答案：C【解析】設，由A，B中點的橫坐標為2，可得，所以．故選：C．【一隅三反】1．(2023·河南·高三開學考試（文））已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．答案：【解析】如圖，分別過點作準線的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，設，易得，則，由拋物線的性質(zhì)可得，，所以，，解得，故．故答案為：2．(2023·山西·太原市外國語學校高三開學考試）已知為拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于兩點，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：D【解析】由題意知的方程為，代入的方程，得，設，則；因為，且，所以32，整理得，所以，結(jié)合，解得.故選：D.3（2023·福建高三月考）過拋物線：的焦點的直線交于，兩點，若，則線段中點的橫坐標為______．答案：【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線為，分別過，作準線的垂線，垂足為，，則有．過的中點作準線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標為．故答案為：．考點四綜合運用【例4】(2023·全國·高二課時練習）（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．答案：ACD【解析】因為焦點到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤則，．又是的中點，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．【一隅三反】1．(2023·廣東江門）（多選）設拋物線：的焦點為，準線為，為上一點，以為圓心，為半徑的圓交于，兩點，若，且的面積為，則（

）A． B．是等邊三角形C．點到準線的距離為3 D．拋物線的方程為答案：BC【解析】根據(jù)題意，作出示意圖,因為以F為圓心，|FA|為半徑的圓交于B，D兩點，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以是等邊三角形，故B正確；所以∠FBD＝30°.因為的面積為|BF|2＝9，所以|BF|＝6.故A錯誤；又點F到準線的距離為|BF|sin30°＝3＝p，故C正確；則該拋物線的方程為y2＝6x.故D錯誤.故選：BC.2．(2023·遼寧朝陽）已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于兩點，分別為在上的射影，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線的傾斜角為，則B．若，則直線的斜率為C．若為坐標原點，則三點共線D．答案：ACD【解析】若直線的傾斜角為，則，令，由消可得，所以，故正確；設1，令，由，消可得，，所以，所以，所以或所以.即，故錯誤；設，令，，消可得，所以，即三點共線，故C正確；設，令，由消可得，，所以，即，故正確.故選：ACD.3．(2023·海南·瓊海市嘉積第二中學）（多選）已知直線過拋物線的焦點，且斜率為，與拋物線交于兩點（在第一象限），以為直徑的圓分別與軸相切于兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若為拋物線上的動點，，則D．若為拋物線上的點，則答案：ABC【解析】設直線PQ的方程為：y（x﹣2），與聯(lián)