2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)達(dá)標(biāo)檢測第04講基本不等式教師版

《基本不等式》達(dá)標(biāo)檢測[A組]—應(yīng)知應(yīng)會1．若，則的最小值為A． B． C．1 D．【分析】由，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，故選：．2．已知，，且，則的最小值為A．100 B．81 C．36 D．9【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可干脆求解的最小值．【解答】解：，，且，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號，解可得，即的最小值36．故選：．3．如圖，矩形花園的邊靠在墻上，另外三邊是由籬笆圍成的．若該矩形花園的面積為4平方米，墻足夠長，則圍成該花園所須要籬笆的A．最大長度為8米 B．最大長度為米 C．最小長度為8米 D．最小長度為米【分析】依據(jù)已知條件建立關(guān)于籬笆長度的關(guān)系式，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：設(shè)米，米，則，所以圍成矩形花園所須要的籬笆長度為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號．故選：．4．坐標(biāo)滿足，且，，則的最小值為A．9 B．6 C．8 D．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：由題意可得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值9故選：．5．已知實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為A．21 B．24 C．25 D．27【分析】依據(jù)題意，將變形可得，據(jù)此可得，設(shè)，則有，，結(jié)合基本不等式性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：依據(jù)題意，實(shí)數(shù)，滿足，變形可得，則有，則，設(shè)，則有，，又由，則有，即的最小值為27，此時(shí)，即；故選：．6．已知實(shí)數(shù)、，，則的最大值為A． B． C． D．6【分析】干脆利用關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由于，所以，故：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）．故選：．7．在中，點(diǎn)為線段上任一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為A．1 B．8 C．2 D．4【分析】由向量共線定理可得，然后利用1的代換，結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：由于點(diǎn)在線段上，由向量共線定理可得，則，故選：．8．已知，，，若不等式對已知的，及隨意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【分析】先結(jié)合基本不等式求出的范圍；再依據(jù)不等式恒成立結(jié)合二次函數(shù)即可求解【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，即，．故選：．9．《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長．由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是①由圖1和圖2面積相等可得；②由可得；③由可得；④由可得．A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③【分析】依據(jù)題意求出，，，然后可推斷②③④對，依據(jù)面積相等，可推斷①對．【解答】解：由圖1和圖2面積相等，可得，①對；由題意知圖3面積為，，，圖3設(shè)正方形邊長為，由三角形相像，，解之得，則；可以化簡推斷②③④對，故選：．10．（多選）若正實(shí)數(shù)，滿足，則下列說法正確的是A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值【分析】由已知結(jié)合基本不等式及其變形形式分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可推斷．【解答】解：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故正確；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最大值為，故正確；，即有最小值4，故錯誤；，結(jié)合可知有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故錯誤；故選：．11．（多選）設(shè)正實(shí)數(shù)、滿足，則下列說法正確的是A．的最小值為 B．的最大值為 C．的最小值為2 D．的最小值為2【分析】，，，利用“乘1法”可得：，再利用基本不等式的性質(zhì)可得其最小值．利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)而推斷出的正誤．【解答】解：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．，解得．，，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．綜上可得：正確．故選：．12．已知，則的最小值為．【分析】由，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，故答案為：513．為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：隨時(shí)間（單位：的變更關(guān)系為，則經(jīng)過后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．因此經(jīng)過后池水中藥品的濃度達(dá)到最大．故答案為：2．14．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．【分析】干脆利用關(guān)系式的變換和不等式的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：已知正實(shí)數(shù)，滿足，整理得：，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ┕实淖钚≈禐?．故答案為：215．已知，則的最小值為．【分析】依據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，據(jù)此由基本不等式的性質(zhì)分析可得的最小值，即可得答案．【解答】解：依據(jù)題意，，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則原式，又由，則，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，綜合可得：的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立故答案為：4．16．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】先利用乘1法，配湊基本不等式的應(yīng)用條件求的最小值，然后由恒成立，可得，解不等式可求．【解答】解：正實(shí)數(shù)，滿足，則．當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，此時(shí)取得最小值16，因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，則，解可得．故答案為：17．已知．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【分析】（1）由，可知，即可求解；（2），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：（1），所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號，則的最大值為；（2），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．18．有一批材料，可以建成長為240米的圍墻如圖，假如用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場地，中間用同樣材料隔成三個(gè)相等面積的矩形，怎樣圍法才可取得最大的面積？并求此面積．【分析】結(jié)合已知條件，利用基本不等式即可求解面積的最大值及取得的條件．【解答】解：設(shè)每個(gè)小矩形的長為，寬為，依題意可知，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以時(shí)，當(dāng)面積相等的小矩形的長為30時(shí)，矩形面積最大，19．若，，且．（1）求的最小值；（2）是否存在、，使得？并說明理由．【分析】依據(jù)基本不等式求解的值域，然后求解（1）（2）．【解答】解：（1）由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以的最小值為4．（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)成立，因?yàn)椋煌瑫r(shí)成立，所以，不存在，使成立．20．已知，均為正實(shí)數(shù)，且．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若對隨意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可求解最小值；結(jié)合中最小值的求解及含確定值不等式的求法即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?，得，所以（?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號）．所以，所以成立．故的最小值為1（Ⅱ）由（Ⅰ）知對隨意的，恒成立，或或，，或，或．故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．21．已知正實(shí)數(shù)，滿足．（1）求的最小值．（2）證明：．【分析】（1）由已知可得，，綻開后利用基本不等式可求；（2）由，綻開后結(jié)合基本不等式可求范圍，然后由即可證明．【解答】解：（1）正實(shí)數(shù)，滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取得最小值；（2）證明：，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）[B組]—強(qiáng)基必備1．已知正數(shù)，滿足，且，則的最大值為A． B． C．2 D．4【分析】依據(jù)題意，分析可得，由基本不等式的性質(zhì)求出的最小值，即可得的最小值，據(jù)此分析可得答案．【解答】解：依據(jù)題