高中數(shù)學選擇性必修三課件：§8 2 一元線性回歸模型及其應用(人教A版)

§8.2一元線性回歸模型及其應用第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析學習目標XUEXIMUBIAO1.結合實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計

意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計

方法.3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測.內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE稱

為Y關于x的一元線性回歸模型.其中Y稱為_______或

，x稱為

或

，

稱為截距參數(shù)，

稱為斜率參數(shù)；e是

與

之間的隨機誤差，如果e＝

，那么Y與x之間的關系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述.知識點一一元線性回歸模型因變量響應變量自變量解釋變量abYbx＋a0知識點二最小二乘法思考1

經(jīng)驗回歸方程一定過成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點嗎？答案

不一定.思考2

點(

)在經(jīng)驗回歸直線上嗎？答案在.知識點三殘差與殘差分析1.殘差對于響應變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為

，通過經(jīng)驗回歸方程得到的

稱為

，

減去

稱為殘差.2.殘差分析

是隨機誤差的估計結果，通過對

的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析.觀測值預測值觀測值預測值殘差殘差知識點四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1.殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以

，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系.2.殘差平方和法殘差平方和

越小，模型的擬合效果越好.橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內知識點四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1.殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以

，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關系.2.殘差平方和法殘差平方和

越小，模型的擬合效果越好.橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內3.R2法大小思考利用經(jīng)驗回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實值嗎？答案不一定，他只是真實值的一個預測估計值.1.求經(jīng)驗回歸方程前可以不進行相關性檢驗.(

)2.在殘差圖中，縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號.(

)3.利用經(jīng)驗回歸方程求出的值是準確值.(

)4.殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(

)5.R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×××2題型探究PARTTWO一、求經(jīng)驗回歸方程例1某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；解散點圖如圖所示：一、求經(jīng)驗回歸方程例1某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；解散點圖如圖所示：(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程

；(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力.即預測記憶力為9的同學的判斷力為4.反思感悟求經(jīng)驗回歸方程可分如下四步來完成(4)寫：寫出經(jīng)驗回歸方程.跟蹤訓練1

隨著我國經(jīng)濟的發(fā)展，居民儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20152016201720182019時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(2)用所求經(jīng)驗回歸方程預測該地區(qū)2021年(t＝7)的人民幣儲蓄存款.年份20152016201720182019時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810所以預測該地區(qū)2021年的人民幣儲蓄存款為12千億元.例2已知某種商品的價格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關系有如下一組數(shù)據(jù)：二、線性回歸分析x1416182022y1210753求y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并借助殘差平方和和R2說明回歸模型擬合效果的好壞.列出殘差表：所以回歸模型的擬合效果很好.反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內說明選用的模型比較合適.跟蹤訓練2為研究重量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同重量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求經(jīng)驗回歸方程；解散點圖如圖.(2)求出R2;

x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解殘差表如下：所以回歸模型的擬合效果很好.(3)進行殘差分析.x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8解由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有，則需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與重量成線性關系.三、非線性回歸例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關系；x21232527293235y711212466115325解作出散點圖如圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關關系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)型曲線y＝c1

的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù).(2)建立x與y的關系，預報回歸模型并計算殘差；x21232527293235y711212466115325解對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系，令z＝lny，則有變換后的樣本點應分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用經(jīng)驗回歸模型來建立y與x之間的非線性經(jīng)驗回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差表如下：yi7112124661153256.44311.10119.12532.95056.770128.381290.3250.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)利用所得模型，預測x＝40時y的值.x21232527293235y711212466115325反思感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓練3為了研究甲型H1N1中的某種細菌隨時間x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個數(shù)y612254995190求y關于x的非線性經(jīng)驗回歸方程.解作出散點圖如圖(1)所示.由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型曲線y＝cebx的周圍，則lny＝bx＋lnc.令z＝lny，a＝lnc，則z＝bx＋a.x123456z1.792.483.223.894.555.25相應的散點圖如圖(2)所示.從圖(2)可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗回歸方程來擬合.x123456z1.792.483.223.894.555.253隨堂演練PARTTHREE1.(多選)以下四個散點圖中，兩個變量的關系適合用線性回歸模型刻畫的是12345解析AC中的點分布在一條直線附近，適合線性回歸模型.√√2.甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：哪位同學建立的回歸模型擬合效果最好A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

甲乙丙丁R20.980.780.500.85√解析決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.123453.已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分數(shù)y的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.577x－0.448，如果某人36歲，那么這個人的脂肪含量A.一定是20.3%B.在20.3%附近的可能性比較大C.無任何參考數(shù)據(jù)D.以上解釋都無道理√解析將x＝36代入經(jīng)驗回歸方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故這個人的脂肪含量在20.3%附近的可能性較大，故選B.123456312345123451.知識清單：(1)一元線性回歸模型.(2)最小二乘法、經(jīng)驗回歸方程的求法.(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法.2.方法歸納：數(shù)形結合、轉化化歸.3.常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關關系，盲目求解經(jīng)驗回歸方程致誤.課堂小結KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.如果兩個變量之間的線性相關程度很高，則其R2的值應接近于A.0.5 B.2 C.0 D.1基礎鞏固123456789101112131415√16解析R2越接近于1，相關程度越高，故選D.2.對變量x，y進行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是√12345678910111213141516解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高.123456789101112131415163.工人工資y(元)與勞動生產(chǎn)率x(千元)的相關關系的經(jīng)驗回歸方程為

＝50＋80x，下列判斷正確的是A.勞動生產(chǎn)率為1000元時，工人工資為130元B.勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元C.勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高130元D.當月工資為250元時，勞動生產(chǎn)率為2000元解析因為經(jīng)驗回歸方程的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元.√123456789101112131415164.兩個變量的散點圖如圖，可考慮用如下函數(shù)進行擬合比較合理的是A.y＝a·xb B.y＝a＋blnxC.y＝a·ebx D.y＝a·解析由散點圖可知，此曲線類似對數(shù)函數(shù)型曲線，因此可用函數(shù)y＝a＋blnx模型進行擬合.√12345678910111213141516√√解析經(jīng)驗回歸方程是一個模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有些散點不一定在經(jīng)驗回歸直線上.√1234567891011121314151612.1123456789101112131415167.若經(jīng)驗回歸直線方程中的回歸系數(shù)

＝0，則樣本相關系數(shù)r＝____.0123456789101112131415168.某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(件)與平均氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了連續(xù)四旬的銷售量與當旬平均氣溫，其數(shù)據(jù)如表：

(1)表中數(shù)據(jù)m＝____；40時間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x(℃)381217旬銷售量y(件)55m332412345678910111213141516(2)氣象部門預測三月中旬的平均氣溫約為22℃，據(jù)此估計，該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為____件.14時間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x(℃)381217旬銷售量y(件)55m3324故三月中旬的銷售量約為14件.123456789101112131415169.已知變量x，y有如下對應數(shù)據(jù)：

(1)作出散點圖；解散點圖如圖所示.x1234y134512345678910111213141516(2)用最小二乘法求關于x，y的經(jīng)驗回歸方程.x1234y134512345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)①判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；②當使用年限為8年時，試估計支出的維修費是多少？解由(1)知，當x＝8時，

＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限為8年時，支出的維修費約是9.8萬元.12345678910111213141516綜合運用√1234567891011121314151612.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.據(jù)某機構預測，n(n≥10)個城市職工購買食品的人均支出y(千元)與人均月消費支出x(千元)具有線性相關關系，且經(jīng)驗回歸方程為

＝0.4x＋1.2，若其中某城市職工的人均月消費支出為5千元，則該城市職工的月恩格爾系數(shù)約為A.60% B.64% C.58% D.55%√1234567891011121314151613.(多選)設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為

＝0.85x－85.71，則下列結論中正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.經(jīng)驗回歸方程過樣本點的中心(

)C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可判定其體重必為58.79kg√√√解析A，B，C均正確，是經(jīng)驗回歸方程的性質，D項是錯誤的，經(jīng)驗回歸方程只能預測學生的體重，應為大約58.79kg.1234567891011121314151614.某數(shù)學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm,182cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為_____cm.18512345678910111213141516解析因為兒子的身高與父親的身高有關，所以設兒子的身高為Y(單位：cm)，父親身高為X(單位：cm)，根據(jù)數(shù)據(jù)列表：X173170176Y170176182于是兒子身高與父親身高的關系式為Y＝X＋3，當X＝182時，Y＝185.故預測該老師的孫子的身高為185cm.12345678910111213141516拓廣探究x1234yee3e4e6若x＝5，則預測y的值可能為A.e5 B. C.e7 D.√12345678910111213141516列出x，z的取值對應的表格如下：x1234z1346123456789101112131415161234567891011121314151616.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元