高中數(shù)學(xué)選擇性必修三課件：§6 1 第2課時(shí) 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(人教A版)

第六章

§6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.進(jìn)一步理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別.2.會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)針對(duì)的是“分類”問題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步.(1)分類要做到“

”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理

，得到總數(shù).(2)分步要做到“

”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù).分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)

，得到總數(shù).知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用不重不漏求和步驟完整相乘思考分類“不重不漏”的含義是什么？答案“不重”即各類之間沒有交叉點(diǎn)，“不漏”即各類的并集是全集.預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法___種，若從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有不同的選派方法____種.9解析根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有5＋4＝9(種)選派方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽，共有4×5＝20(種)選派方法.202.有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是____.81解析每個(gè)信號(hào)顯示窗都有3種可能，故有3×3×3×3＝34＝81(種)不同信號(hào).2.有一排四個(gè)信號(hào)顯示窗，每個(gè)窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號(hào)顯示窗所發(fā)出的信號(hào)種數(shù)是____.81解析每個(gè)信號(hào)顯示窗都有3種可能，故有3×3×3×3＝34＝81(種)不同信號(hào).4.多項(xiàng)式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展開式共有____項(xiàng).103.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有____種行車路線.12解析起點(diǎn)為4種可能性，終點(diǎn)為3種可能性，則行車路線共有4×3＝12(種).解析共有3×2＋2×2＝10(項(xiàng)).2題型探究PARTTWO一、組數(shù)問題解三位數(shù)字的電話號(hào)碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個(gè)).例1

用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字.(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼？解三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個(gè)).(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？解被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？延伸探究由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個(gè)，從剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個(gè)).延伸探究由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個(gè)位，只能從1,3中任取一個(gè)，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個(gè)，從剩下的3個(gè)中任取一個(gè)，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個(gè)).反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.跟蹤訓(xùn)練1

用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解完成這件事可分為三類：第一類是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48.第二類是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個(gè)數(shù)字之后，還有4個(gè)數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為3×4×3＝36.第三類是個(gè)位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類.對(duì)以上三類用分類加法計(jì)數(shù)原理，得所求無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120(個(gè)).二、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例2

(1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？解要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報(bào)名方法.(2)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？解每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此跑步項(xiàng)目有4種選法，跳高項(xiàng)目有3種選法，跳遠(yuǎn)項(xiàng)目只有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有4×3×2＝24(種).(3)4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果.反思感悟在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次.解題時(shí)一般選擇具有“唯一性”的對(duì)象進(jìn)行分解.跟蹤訓(xùn)練2某市汽車牌照號(hào)碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個(gè)號(hào)碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個(gè)號(hào)碼可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)).若某車主第1個(gè)號(hào)碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號(hào)碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號(hào)碼的所有可能情況有A.180種 B.360種 C.720種 D.960種√解析按照車主的要求，從左到右第1個(gè)號(hào)碼有5種選法，第2個(gè)號(hào)碼有3種選法，其余3個(gè)號(hào)碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況.三、涂色問題例3將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.延伸探究本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？解依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色.第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成.第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時(shí)，分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(種).第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成.第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種).綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種).反思感悟解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法.解由題意知，四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法.當(dāng)S，A，B染色確定時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，剩余2種顏色分別為4和5.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，當(dāng)S，A，B染法確定時(shí)，C，D有7種染法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的染色方法有60×7＝420(種).四、種植問題例4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有____種.42

解析分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法，①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.反思感悟種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).跟蹤訓(xùn)練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種).3隨堂演練PARTTHREE123451.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)是A.56 B.65C. D.6×5×4×3×2√解析每位同學(xué)都有5種選擇，共有5×5×5×5×5×5＝56(種).2.如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是A.5 B.12 C.15 D.412345√解析當(dāng)x＝1時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況；當(dāng)x＝2時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況；當(dāng)x＝3時(shí)，y的取值可能為0,1,2,3，有4種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的(x，y)的個(gè)數(shù)為6＋5＋4＝15.123453.已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，則從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)√解析可分兩步，第一步，集合S中a1對(duì)應(yīng)到集合T中的元素有2個(gè)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第二步，集合S中a2對(duì)應(yīng)到集合T中的元素，有2個(gè)不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，從集合S到T的對(duì)應(yīng)關(guān)系共有2×2＝4(個(gè))，故選D.4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有_____種.(用數(shù)字作答)12345750解析首先給最左邊的一個(gè)格子涂色，有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，第三個(gè)格子有5種選擇，第四個(gè)格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有6×5×5×5＝750(種)涂色方法.123455.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有____個(gè).40解析滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有8個(gè)；第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有8×4＝32(個(gè))，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個(gè)).課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE1.知識(shí)清單：(1)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系.(2)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用：組數(shù)問題、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇、涂色問題及種植問題.2.方法歸納：分類討論、正難則反.3.常見誤區(qū)：分類標(biāo)準(zhǔn)不明確，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)或遺漏問題.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有A.24種 B.4種 C.43種 D.34種解析第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法，只要把這3封信投完，就完成了這件事情.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有43種方法，故選C.基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√123456789101112131415162.由數(shù)字1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為A.15 B.12 C.10 D.5解析分三類，第一類組成一位整數(shù)，偶數(shù)有1個(gè)；第二類組成兩位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè)；第三類組成三位整數(shù)，其中偶數(shù)有2個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有偶數(shù)5個(gè).√123456789101112131415163.一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線不重復(fù)，則不同的參觀路線共有A.6種 B.8種C.36種 D.48種√12345678910111213141516解析如圖所示，由題意知在A點(diǎn)可先參觀區(qū)域1，也可先參觀區(qū)域2或3，選定一個(gè)區(qū)域后可以按逆時(shí)針參觀，也可以按順時(shí)針參觀，所以第一步可以從6個(gè)路口任選一個(gè)，有6種結(jié)果，參觀完第一個(gè)區(qū)域后，選擇下一步走法，有4種結(jié)果，參觀完第二個(gè)區(qū)域，只剩下最后一個(gè)區(qū)域，有2種走法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×4×2＝48(種)不同的參觀路線.123456789101112131415164.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有A.360種 B.50種 C.60種 D.90種√12345678910111213141516解析①甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)，②甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法.故選B.123456789101112131415165.有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有A.4320種 B.2880種C.1440種 D.720種解析第1個(gè)區(qū)域有6種不同的涂色方法，第2個(gè)區(qū)域有5種不同的涂色方法，第3個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第4個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法，第5個(gè)區(qū)域有4種不同的涂色方法，第6個(gè)區(qū)域有3種不同的涂色方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6×5×4×3×4×3＝4320(種)不同的涂色方法.√123456789101112131415166.如圖所示，在A，B間有4個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有____種.13解析4個(gè)焊接點(diǎn)共有24種情況，其中使A，B之間線路通的情況是1,4都通，2和3至少有一個(gè)通，此時(shí)共有3種可能，故焊接點(diǎn)脫落的情況有24－3＝13(種).123456789101112131415167.有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有_____種不同的取法.242解析分三類：第一類，取數(shù)學(xué)書和語文書，有10×9＝90(種)；第二類，取數(shù)學(xué)書和英語書，有10×8＝80(種)；第三類，取語文書和英語書，有9×8＝72(種).故共有90＋80＋72＝242(種).123456789101112131415168.某運(yùn)動(dòng)會(huì)上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有_______種.2880解析分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員.第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，所以共有4×3×2＝24(種)方法；第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120(種)方法.所以安排這8人的方式共有24×120＝2880(種).123456789101112131415169.(1)有8本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人1本，有多少種不同的分法？解分三步：每位同學(xué)取1本書，第1,2,3位同學(xué)分別有8,7,6種取法，因而由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的分法共有8×7×6＝336(種).(2)4位旅客到3個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？解每位旅客都有3種不同的住宿方法，因而不同的住宿方法共有3×3×3×3＝81(種).1234567891011121314151610.用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求在A，B，C，D四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的涂色方法？解方法一

分類，第一類，A，D涂同色，有6×5×4＝120(種)涂法，第二類，A，D涂異色，有6×5×4×3＝360(種)涂法，共有120＋360＝480(種)涂法.方法二

分步，先涂B區(qū)，有6種涂法，再涂C區(qū)，有5種涂法，最后涂A，D區(qū)域，各有4種涂法，所以共有6×5×4×4＝480(種)涂法.11.從集合{1,2,3,4，…，10}中，選出5個(gè)元素組成子集，使得這5個(gè)元素中任意兩個(gè)元素的和都不等于11，則這樣的子集有A.32個(gè) B.34個(gè) C.36個(gè) D.38個(gè)綜合運(yùn)用12345678910111213141516解析先把集合中的元素分成5組：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于選出的5個(gè)元素中，任意兩個(gè)元素的和都不等于11，所以從每組中任選1個(gè)元素即可，故共可組成2×2×2×2×2＝32(個(gè))滿足題意的子集.√12.某公司新招聘進(jìn)8名員工，平均分給甲、乙兩個(gè)部門，其中2名英語翻譯人員不能分給同一個(gè)部門，另外3名電腦編程人員也不能分給同一個(gè)部門，則不同的分配方案種數(shù)是A.18 B.24 C.36 D.7212345678910111213141516√12345678910111213141516解析由題意可得，分兩類：①甲部門要2名電腦編程人員，則有3種方法；翻譯人員的分配有2種方法；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人中選1人，有3種方法，共3×2×3＝18(種)分配方案.②甲部門要1名電腦編程人員，則有3種方法；翻譯人員的分配有2種方法；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人中選2人，方法有3種，共3×2×3＝18(種)分配方案.由分類加法計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(種).解析由題意知b≤4≤c<b＋4，當(dāng)b＝1時(shí)，c＝4；當(dāng)b＝2時(shí)，c＝4,5；當(dāng)b＝3時(shí)，c＝4,5,6；當(dāng)b＝4時(shí)，c＝4,5,6,7，故共有10個(gè)這樣的三角形.1234567891011121314151613.若三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，其中一邊長(zhǎng)為4，另外兩邊長(zhǎng)分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有A.10個(gè) B.14個(gè) C.15個(gè) D.21個(gè)√1234567891011121314151614.古人用天干、地支來表示年、月、日、時(shí)的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成_____組.60解析分兩類：第一類：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果.第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得到30＋30＝60(組).拓廣探究1234567891011121314151615.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為____.解析因?yàn)檎麛?shù)m，n滿足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(種)，其中m，n都取到奇數(shù)的情況有4×5＝20(種)，1234567891011121314151616.一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n(n≥3，n∈N*)等份，種植紅、黃、藍(lán)三種顏色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.(1)如圖①，圓環(huán)分成3等份，分別為a1，a2，a3，則有多少種不同的種植方法？解先種植a1部分，有3種不同的種植方法，再種植a2，a3部分.因?yàn)閍2，a3與a1的顏色不同，a2，a3的顏色也不同，