2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第八章培優(yōu)課8.2　球的切、接問(wèn)題(學(xué)生版+解析)

§8.2球的切、接問(wèn)題球的切、接問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點(diǎn)是確定球心．題型一定義法例1(1)(2023·宣城模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2eq\r(2)，AC＝4，∠BAC＝45°，則三棱錐P－ABC外接球的表面積是()A．14πB．16πC．18πD．20π(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．跟蹤訓(xùn)練1已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)題型二補(bǔ)形法例2(1)(2023·大慶模擬)在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O－DEF，則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為()A.2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過(guò)添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為_(kāi)_______，補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為_(kāi)_______．聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)補(bǔ)形法的解題策略①側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解．(2)正方體與球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(3)若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).跟蹤訓(xùn)練2(1)在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為()A.eq\r(6)π B．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)π D．4eq\r(6)π(2)(2023·焦作模擬)已知三棱錐P－ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．題型三截面法例3(1)四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為()A．12πB．16πC．20πD．32π聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測(cè)量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D.eq\f(32π,3)，3聽(tīng)課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華(1)與球截面有關(guān)的解題策略①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑之比R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng))．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·淮北模擬)半球內(nèi)放三個(gè)半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3) B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7) D.eq\r(3)＋eq\r(7)(2)(2021·天津)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π§8.2球的切、接問(wèn)題球的切、接問(wèn)題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與其他幾何體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關(guān)鍵點(diǎn)是確定球心．題型一定義法例1(1)(2023·宣城模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2eq\r(2)，AC＝4，∠BAC＝45°，則三棱錐P－ABC外接球的表面積是()A．14πB．16πC．18πD．20π答案D解析在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝2eq\r(2)，AC＝4，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos45°＝8＋16－2×4×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝8，則BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形，又△PAC為直角三角形，所以PC是三棱錐P－ABC外接球直徑，設(shè)O是PC的中點(diǎn)，即為球心，又AC＝4，PA＝2，所以PC＝eq\r(AC2＋PA2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以外接球半徑為eq\r(5)，所以所求外接球的表面積S＝4π×(eq\r(5))2＝20π.(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π答案A解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×3eq\r(3)＝3，eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×4eq\r(3)＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2(圖略)，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上．設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OOeq\o\al(2,1)＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OOeq\o\al(2,2)＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4πR2＝100π.綜上，該球的表面積為100π.思維升華到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．跟蹤訓(xùn)練1已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)答案C解析由題意作圖如圖，過(guò)球心O作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，∴球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).題型二補(bǔ)形法例2(1)(2023·大慶模擬)在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AB，BC的中點(diǎn)，連接DE，DF，EF，將△ADE，△CDF，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，得到三棱錐O－DEF，則該三棱錐的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r的比值為()A.2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)答案C解析因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，所以折起后OD，OE，OF兩兩互相垂直，故該三棱錐的外接球，即以O(shè)D，OE，OF為棱的長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則OD＝2，OE＝1，OF＝1，故2R＝eq\r(OD2＋OE2＋OF2)＝eq\r(6)，則R＝eq\f(\r(6),2).設(shè)內(nèi)切球球心為I，由VO－DEF＝eq\f(1,3)·S△OEF·OD＝eq\f(1,3)，三棱錐O－DEF的表面積S＝4，VO－DEF＝VI－ODE＋VI－ODF＋VI－OEF＋VI－DEF＝eq\f(1,3)Sr，所以r＝eq\f(1,4)，則有eq\f(R,r)＝2eq\r(6).(2)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過(guò)添加一個(gè)三棱錐可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為_(kāi)_______，補(bǔ)形后的直三棱柱的外接球的表面積為_(kāi)_______．答案eq\f(1,3)6π解析如圖，添加的三棱錐為直三棱錐E－ADF，可以將該多面體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱ADF－BCE，因?yàn)镃E⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△BCE＝eq\f(1,2)CE×BC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，直三棱柱ADF－BCE的體積V＝S△BCE·AB＝eq\f(1,2)×2＝1，添加的三棱錐的體積為eq\f(1,3)V＝eq\f(1,3).方法一如圖，分別取AF，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，與AE交于點(diǎn)O，因?yàn)樗倪呅蜛FEB為矩形，所以O(shè)為AE，MN的中點(diǎn)，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點(diǎn)O，AO即為球的半徑，因?yàn)锳M＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(\r(2),2)，MO＝1，所以AO2＝AM2＋MO2＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)，所以外接球的表面積為4π·AO2＝6π.方法二因?yàn)镃E，CB，CD兩兩垂直，故將直三棱柱ADF－BCE補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)外接球的半徑為R，則4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面積S＝4πR2＝6π.思維升華(1)補(bǔ)形法的解題策略①側(cè)面為直角三角形，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ秃驼拿骟w，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②直三棱錐補(bǔ)成三棱柱求解．(2)正方體與球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(3)若長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).跟蹤訓(xùn)練2(1)在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為()A.eq\r(6)πB．2eq\r(6)πC．3eq\r(6)πD．4eq\r(6)π答案A解析在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑．設(shè)長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)處的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，由題意得ab＝eq\r(6)，ac＝eq\r(3)，bc＝eq\r(2)，解得a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，c＝1，所以球的直徑為eq\r(\r(3)2＋\r(2)2＋1)＝eq\r(6)，它的半徑為eq\f(\r(6),2)，球的體積為eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.(2)(2023·焦作模擬)已知三棱錐P－ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．答案34π解析根據(jù)題意，三棱錐P－ABC可以嵌入一個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，如圖所示，則a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以該三棱錐的外接球的半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(\r(32＋32＋42),2)＝eq\f(\r(34),2)，所以該三棱錐的外接球的表面積S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(34),2)))2＝34π.題型三截面法例3(1)四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為()A．12πB．16πC．20πD．32π答案B解析如圖，連接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中點(diǎn)E，連接PE.∵四邊形ABCD為矩形，∴G為四邊形ABCD的外接圓圓心；在線段PE上取ME＝eq\f(1,3)PE，∵△PAD為等邊三角形，∴M為△PAD外接圓圓心，過(guò)G，M分別作平面ABCD和平面PAD的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)即為球O的球心O，連接OP，∵△PAD為等邊三角形，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG；同理可得，OM∥EG，∴四邊形OMEG為矩形；∴OM＝EG＝eq\f(1,2)AB＝1，PM＝eq\f(2,3)PE＝eq\f(2,3)×eq\r(9－\f(9,4))＝eq\r(3)，∴OP＝eq\r(OM2＋PM2)＝2，即球O的半徑R＝2，∴球O的表面積S＝4πR2＝16π.(2)如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測(cè)量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個(gè)大小相同的健身手球，則一個(gè)加工所得的健身手球的最大體積及此時(shí)加工成的健身手球的個(gè)數(shù)分別為()A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3C．6π，4 D.eq\f(32π,3)，3答案D解析依題意知，當(dāng)健身手球與直三棱柱的三個(gè)側(cè)面均相切時(shí)，健身手球的體積最大．易知AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10，設(shè)健身手球的半徑為R，則eq\f(1,2)×(6＋8＋10)×R＝eq\f(1,2)×6×8，解得R＝2.則健身手球的最大直徑為4.因?yàn)锳A1＝13，所以最多可加工3個(gè)健身手球．于是一個(gè)健身手球的最大體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).思維升華(1)與球截面有關(guān)的解題策略①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；②作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑之比R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng))．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·淮北模擬)半球內(nèi)放三個(gè)半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3)B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7)D.eq\r(3)＋eq\r(7)答案D解析三個(gè)小球的球心O1，O2，O3構(gòu)成邊長(zhǎng)為2eq\r(3)的正三角形，則其外接圓半徑為2.設(shè)半球的球心為O，小球O1與半球底面切于點(diǎn)A.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，O1，A作半球的截面，則半圓⊙O的半徑為OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于點(diǎn)B.則OA＝O1B＝2.設(shè)該半球的半徑是R，在Rt△OAO1中，由(R－eq\r(3))2＝22＋(eq\r(3))2可得R＝eq\r(3)＋eq\r(7).(2)(2021·天津)兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π答案B解析如圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)D，設(shè)圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1，即AD＝3BD，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3)，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因?yàn)镃D⊥AB，AB為球的直徑，所以△ACD∽△CBD，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD)，所以CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\r(3)，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為eq\f(1,3)π×CD2·(AD＋BD)＝eq\f(1,3)π×3×4＝4π.課時(shí)精練1．(2023·岳陽(yáng)模擬)已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的頂點(diǎn)都在某球面上，則該球體的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)πB．4eq\r(3)πC．8πD．12π答案B解析因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線等于外接球的直徑，且正方體的棱長(zhǎng)為2，故該球的直徑2R＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).所以R＝eq\r(3).故該球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.2．已知在三棱錐P－ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為()A.eq\f(4π,3)B．4πC.eq\f(32π,3)D．4eq\r(3)π答案A解析AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(3)，設(shè)PB＝h，則由PA＝2PB，可得eq\r(3＋h2)＝2h，解得h＝1，可將三棱錐P－ABC還原成如圖所示的長(zhǎng)方體，則三棱錐P－ABC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(12＋\r(2)2＋12)＝2，R＝1，所以其外接球的體積V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3).3．已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，則截面的面積不可以為()A.eq\f(π,2)B．πC．9πD．13π答案A解析三棱錐P－ABC的外接球即為以AB，AC，AP為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，∴2R＝eq\r(62＋22＋2\r(3)2)＝2eq\r(13)，∴R＝eq\r(13)，取BC的中點(diǎn)O1，∴O1為△ABC的外接圓圓心，∴OO1⊥平面ABC，如圖．當(dāng)OD⊥截面時(shí)，截面的面積最小，∵OD＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1D2)＝eq\r(32＋\r(3)2)＝2eq\r(3)，此時(shí)截面圓的半徑為r＝eq\r(R2－OD2)＝1，∴截面面積為πr2＝π，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大為πR2＝13π，故截面面積的取值范圍是[π，13π]．4．若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為()A．πB．2πC．3πD．4π答案C解析過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△ABC及其內(nèi)切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意得⊙O1的半徑為r＝1,∴△ABC的邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，∴圓錐的底面半徑為eq\r(3)，高為3，∴V＝eq\f(1,3)×π×3×3＝3π.5．已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為eq\f(4π,3)的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是()A．6eq\r(3)B．12eq\r(3)C．18eq\r(3)D．24eq\r(3)答案C解析根據(jù)已知可得球的半徑等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形內(nèi)切圓的半徑等于1，即底面三角形的高等于3，邊長(zhǎng)等于2eq\r(3)，所以這個(gè)三棱柱的表面積等于3×2eq\r(3)×2＋2×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝18eq\r(3).6．已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為()①正方體的外接球的表面積為12π；②正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)；③正方體的棱長(zhǎng)為2；④線段MN的最大值為2eq\r(3).A．1B．2C．3D．4答案C解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體外接球的半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即eq\f(\r(3),2)a；內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，即eq\f(a,2).∵M(jìn)，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動(dòng)點(diǎn)，∴MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(3)－1,2)a＝eq\r(3)－1，解得a＝2，即正方體的棱長(zhǎng)為2，∴正方體外接球的表面積為4π×(eq\r(3))2＝12π，內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)，則①②③正確；線段MN的最大值為eq\r(3)＋1，則④錯(cuò)誤．7.(2022·聊城模擬)“阿基米德多面體”也稱(chēng)半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美．如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為1，則該多面體外接球的體積為()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8\r(2),3)πC．4πD．8π答案A解析將該多面體放入正方體中，如圖所示．由于多面體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)，因?yàn)樵摱嗝骟w是由棱長(zhǎng)為eq\r(2)的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，所以該多面體外接球的球心為正方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，其外接球直徑等于正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2)，所以R＝1，所以該多面體外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3).8．(2022·全國(guó)乙卷)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)O組成的圓錐體積最大．設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h，則V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)，令V′＝eq\f(1,3)π(1－3h2)＝0，得h＝eq\f(\r(3),3)，所以V＝eq\f(1,3)π(1－h(huán)2)h在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))上單調(diào)遞減，所以當(dāng)h＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，四棱錐的體積最大，故選C.9.如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，表