(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))重難點(diǎn)題型精講專題2.11圓的方程(原卷版+解析)

專題2.11圓的方程-重難點(diǎn)題型精講1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).4．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn).6．與圓有關(guān)的對(duì)稱問題(1)圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱.

(2)圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).

(3)圓關(guān)于直線對(duì)稱

①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.7．與圓有關(guān)的最值問題(1)與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題

①形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；

②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；

③形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.(2)與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題①記C為圓心，r為圓的半徑，則圓外一點(diǎn)A到圓上距離的最小值為|AC|-r，最大值為|AC|+r；②過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為圓的直徑，最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；

③記圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d+r，最小距離為d-r；

④過(guò)兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.【題型1圓的方程的求法】【方法點(diǎn)撥】(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法①直接代入法：已知圓心坐標(biāo)和半徑大小，直接代入求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.???????②待定系數(shù)法：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參變量，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定出圓的方程.當(dāng)已知曲線為圓時(shí)，一般用待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a,b,r的方程組，求出a,b,r.(2)圓的一般方程的求法待定系數(shù)法：①設(shè)：根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程；②列：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于D,E,F的方程組；③解：解方程組，求出D,E,F的值.【例1】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A(0,0),B(23,0),C(0,?2)的圓的方程為（A．x?32+C．x?32+【變式1-1】(2023·江蘇省高二階段練習(xí)）以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．x2+yC．x?22+y?2【變式1-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與圓x2+y2?4x+6y+3=0A．x2+yC．x2+y【變式1-3】(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A1,1，B4,2，C3,0，則△ABCA．x2+yC．x2+y【題型2二元二次方程表示圓的條件】【方法點(diǎn)撥】判斷一個(gè)二元二次方程是否表示圓，可以從以下幾個(gè)方面入手：①看系數(shù)：與的系數(shù)應(yīng)相等；②看形式：表達(dá)式中不應(yīng)含有xy項(xiàng)；③在比較：要大于0.【例2】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲：實(shí)數(shù)a<3；乙：方程x2+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線C：x2+y2+2ax?4ay?10a=0A．?2,0 B．?C．?2,0 D．?【變式2-2】(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若方程x2+y2?4x+2y+5k=0A．(1,+∞) B．(?∞,1) C．【變式2-3】(2023·內(nèi)蒙古·高一期中）若方程x2+y2+6x+m=0A．?∞,9 B．?∞,?9 C．【題型3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.根據(jù)具體條件，可以通過(guò)幾何法或代數(shù)法進(jìn)行判斷.【例3】(2023·四川省高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值有關(guān)【變式3-1】（2023·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）兩個(gè)點(diǎn)M2,?4、N?2,1與圓C:xA．點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C外B．點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C內(nèi)C．點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C內(nèi)D．點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C外【變式3-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx?2y+2=0A．?3,?2∪2,+∞C．?2,+∞ D．【變式3-3】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)(a,2)在圓x2+yA．?∞,94 B．94,+【題型4圓有關(guān)的軌跡問題】【方法點(diǎn)撥】求曲線的軌跡方程，常用以下幾種方法：直接法、代入法、定義法等.①“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別，“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.②求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.【例4】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M(?2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A．x2+yC．x2+y【變式4-1】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（3，3），點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（

）A．(x?2)2+(y?2)C．(x?3)2+(y?3)【變式4-2】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B為圓C:x2+y2?2x?4y+3=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦A．(x?1)2+(y?2)C．(x+1)2+(y+2)【變式4-3】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?4,0)，B(2,0)，點(diǎn)M滿足|MA||MB|=2，則點(diǎn)M的軌跡方程為（A．(x+4)2+y2=16 B．(x?4)2【題型5與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】(1)圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).(2)圓關(guān)于直線對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關(guān)于某直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【例5】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓(x+2)2+y2=5A．(x?2)2+yC．(x+2)2+(y+2)【變式5-1】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若圓x2?2x+y2=0與圓C關(guān)于直線x+y=0A．x2+2x+y2=0 B．x2【變式5-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓(x?1)2+(y?2)2=1A．(x+5)2+(y?4)C．(x?5)2+(y+4)【變式5-3】（2023·廣東·高二階段練習(xí)）若圓C1:(x?1)2+y2=9和圓A．y=?2x?3 B．y=?2x+3C．y=?12x?【題型6與圓有關(guān)的最值問題】【方法點(diǎn)撥】與圓有關(guān)的最值問題主要有兩類：①與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題；②與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題；解題時(shí)，根據(jù)具體題目分析是哪類最值問題，再進(jìn)行求解即可.【例6】(2023·山西·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓x2+y2=9上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P(1,1)，且PA⊥PBA．3?2 B．3+2 C．4?2【變式6-1】(2023·河南·高二階段練習(xí)）若x，y滿足x2+y2?2x+4y?20=0A．5 B．5?5 C．30?105【變式6-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)m,n在過(guò)?2,0點(diǎn)且與直線2x?y=0垂直的直線上，則圓C：x?352+y+12A．1 B．2 C．5 D．3【變式6-3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+mk≠0與x軸和y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，AB=22，若CA⊥CB，則當(dāng)k，m變化時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)1,1A．42 B．32 C．22 專題2.11圓的方程-重難點(diǎn)題型精講1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).4．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是5．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn).6．與圓有關(guān)的對(duì)稱問題(1)圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱.

(2)圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).

(3)圓關(guān)于直線對(duì)稱

①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.7．與圓有關(guān)的最值問題(1)與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題

①形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；

②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；

③形如t=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題.(2)與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題①記C為圓心，r為圓的半徑，則圓外一點(diǎn)A到圓上距離的最小值為|AC|-r，最大值為|AC|+r；②過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為圓的直徑，最短弦是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦；

③記圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，直線與圓相離，則圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為d+r，最小距離為d-r；

④過(guò)兩定點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.【題型1圓的方程的求法】【方法點(diǎn)撥】(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法①直接代入法：已知圓心坐標(biāo)和半徑大小，直接代入求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.???????②待定系數(shù)法：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參變量，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定出圓的方程.當(dāng)已知曲線為圓時(shí)，一般用待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a,b,r的方程組，求出a,b,r.(2)圓的一般方程的求法待定系數(shù)法：①設(shè)：根據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程；②列：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于D,E,F的方程組；③解：解方程組，求出D,E,F的值.【例1】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A(0,0),B(23,0),C(0,?2)的圓的方程為（A．x?32+C．x?32+【解題思路】根據(jù)三點(diǎn)在坐標(biāo)系的位置，確定出△ABC是直角三角形，其中BC是斜邊，則有過(guò)三點(diǎn)的圓的半徑為BC的一半，圓心坐標(biāo)為BC的中點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【解答過(guò)程】由已知得，A(0,0),B(23,0),C(0,?2)分別在原點(diǎn)、x軸、∴AB⊥AC，∴經(jīng)過(guò)三點(diǎn)圓的半徑為r=1圓心坐標(biāo)為BC的中點(diǎn)23+02∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?3故選：C.【變式1-1】(2023·江蘇省高二階段練習(xí)）以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．x2+yC．x?22+y?2【解題思路】根據(jù)題意直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【解答過(guò)程】以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2故選：B.【變式1-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與圓x2+y2?4x+6y+3=0A．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)所求圓的方程為x2+y2?4x+6y+m=0【解答過(guò)程】依題意，設(shè)所求圓的方程為x2由于所求圓過(guò)點(diǎn)1,?1，所以1+1?4?6+m=0，解得m=8，所以所求圓的方程為x2故選：B.【變式1-3】(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A1,1，B4,2，C3,0，則△ABCA．x2+yC．x2+y【解題思路】利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】設(shè)圓的一般方程為x2因?yàn)锳1,1，B4,2，所以有12故選：B.【題型2二元二次方程表示圓的條件】【方法點(diǎn)撥】判斷一個(gè)二元二次方程是否表示圓，可以從以下幾個(gè)方面入手：①看系數(shù)：與的系數(shù)應(yīng)相等；②看形式：表達(dá)式中不應(yīng)含有xy項(xiàng)；③在比較：要大于0.【例2】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲：實(shí)數(shù)a<3；乙：方程x2+yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得a的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.【解答過(guò)程】若方程x2+y2?x+3y+a=0∵a<3?a<52，∴甲是乙的必要不充分條件.故選：B.【變式2-1】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若曲線C：x2+y2+2ax?4ay?10a=0A．?2,0 B．?C．?2,0 D．?【解題思路】根據(jù)圓的一般式變形為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.【解答過(guò)程】由x2得x+a2由該曲線表示圓，可知5a解得a>0或a<?2，故選：B.【變式2-2】(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若方程x2+y2?4x+2y+5k=0A．(1,+∞) B．(?∞,1) C．【解題思路】根據(jù)圓的一般式方程需滿足的條件即可直接求出答案.【解答過(guò)程】因?yàn)榉匠蘹2所以?42+2故選：B.【變式2-3】(2023·內(nèi)蒙古·高一期中）若方程x2+y2+6x+m=0A．?∞,9 B．?∞,?9 C．【解題思路】運(yùn)用配方法，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】由x2得x+32+y故選：A.【題型3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.根據(jù)具體條件，可以通過(guò)幾何法或代數(shù)法進(jìn)行判斷.【例3】(2023·四川省高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)P(m，3)與圓(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．與m的值有關(guān)【解題思路】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，看結(jié)果即可判斷選項(xiàng)是哪個(gè).【解答過(guò)程】將點(diǎn)P(m，3)坐標(biāo)代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，有：(m?2)2+4>2恒成立，故點(diǎn)故選：A.【變式3-1】（2023·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）兩個(gè)點(diǎn)M2,?4、N?2,1與圓C:xA．點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C外B．點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C內(nèi)C．點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C內(nèi)D．點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C外【解題思路】本題可將點(diǎn)M、N代入方程左邊，通過(guò)得出的值與0的大小關(guān)系即可判斷出結(jié)果.【解答過(guò)程】將M2,?4代入方程左邊得2則點(diǎn)M在圓C內(nèi)，將N?2,1代入方程左邊得?2則點(diǎn)N在圓C外，故選：D.【變式3-2】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx?2y+2=0A．?3,?2∪2,+∞C．?2,+∞ D．【解題思路】由x2+y2+mx?2y+2=0表示圓可得m2+【解答過(guò)程】由題意，x2故m2+(?2)2點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2故12+故實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>2或?3<m<?2即m∈故選：A.【變式3-3】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)(a,2)在圓x2+yA．?∞,94 B．94,+【解題思路】由點(diǎn)在圓外以及方程表示圓得到不等式組，解不等式組即可.【解答過(guò)程】由點(diǎn)在圓外知a2+22?2a?a?3×2+又x2+y解得a<94，故故選：D.【題型4圓有關(guān)的軌跡問題】【方法點(diǎn)撥】求曲線的軌跡方程，常用以下幾種方法：直接法、代入法、定義法等.①“軌跡”與“軌跡方程”有區(qū)別，“軌跡”是圖形，要指出形狀、位置、大小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.②求動(dòng)點(diǎn)的軌跡往往先求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程研究軌跡圖形；求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.【例4】(2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M(?2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)P(x,y)，根據(jù)kMP【解答過(guò)程】設(shè)P(x,y)，由條件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP即yx+2?y因?yàn)镻為直角三角形的直角頂點(diǎn)，所以x≠±2，故所求軌跡方程為x2故選：C.【變式4-1】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（3，3），點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（

）A．(x?2)2+(y?2)C．(x?3)2+(y?3)【解題思路】通過(guò)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用M的坐標(biāo)表示B，把B的坐標(biāo)代入圓的方程，整理可得點(diǎn)M的軌跡方程.【解答過(guò)程】設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），B（a，b），因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，所以a＝3x﹣6，b＝3y﹣6，又點(diǎn)B是圓x2+y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，所以B的坐標(biāo)適合圓的方程，即x?2故選：A.【變式4-2】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知A，B為圓C:x2+y2?2x?4y+3=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦A．(x?1)2+(y?2)C．(x+1)2+(y+2)【解題思路】在直角三角形中利用幾何關(guān)系即可獲解【解答過(guò)程】圓C即(x?1)2+因?yàn)镃A⊥CB,所以AB=又P是AB的中點(diǎn),所以CP=所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x?1)故選：B.【變式4-3】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(?4,0)，B(2,0)，點(diǎn)M滿足|MA||MB|=2，則點(diǎn)M的軌跡方程為（A．(x+4)2+y2=16 B．(x?4)2【解題思路】直接設(shè)Mx,y，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式|AB|=【解答過(guò)程】∵|MA||MB|=2設(shè)Mx,y，則x+42故選：B．【題型5與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】【方法點(diǎn)撥】(1)圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).(2)圓關(guān)于直線對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.②若兩圓關(guān)于某直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【例5】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓(x+2)2+y2=5A．(x?2)2+yC．(x+2)2+(y+2)【解題思路】求出已知圓的圓心和半徑，求出圓心A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圓的圓心B的坐標(biāo)，即可得到對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答過(guò)程】解：圓(x+2)2+y2=5圓心A(?2,0)關(guān)于原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的圓的圓心B(2,0)，故對(duì)稱圓的方程為(x?2)2故選：A．【變式5-1】(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若圓x2?2x+y2=0與圓C關(guān)于直線x+y=0A．x2+2x+y2=0 B．x2【解題思路】由對(duì)稱性得出的圓C圓心坐標(biāo)，進(jìn)而寫出方程.【解答過(guò)程】圓x2?2x+y2=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)?1,0)關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的點(diǎn)為(0,?1)，所以圓C的方程為x即x故選：C.【變式5-2】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）圓(x?1)2+(y?2)2=1A．(x+5)2+(y?4)C．(x?5)2+(y+4)【解題思路】求出圓心(1,2)關(guān)于(?2,3)的對(duì)稱點(diǎn)，即為對(duì)稱圓的圓心，對(duì)稱圓的半徑為1.【解答過(guò)程】圓(x?1)2+(y?2)因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)關(guān)于點(diǎn)(?2,3)對(duì)稱的點(diǎn)為(?5,4)，所以對(duì)稱圓的圓心為(?5,4)，又因?yàn)榘霃讲蛔儯运髨A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+5)2故選：A.【變式5-3】（2023·廣東·高二階段練習(xí)）若圓C1:(x?1)2+y2=9和圓A．y=?2x?3 B．y=?2x+3C．y=?12x?【解題思路】由題意可知直線l即為線段C1C2的中垂線，求出線段C1C【解答過(guò)程】解：因?yàn)閳AC1:(x?1)2+所以直線l即為線段C1C1則線段C1C2的中點(diǎn)坐標(biāo)為?1,?1所以直線l的斜率k=?2，所以直線l的方程是y+1=?2x+1，即y=?2x?3故選：A.【題型6與圓有關(guān)